福建省20xx屆高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)學(xué)科二輪備考關(guān)鍵問題指導(dǎo)系列六(解析幾何典例剖析及資源推送)-展示頁
2025-04-05 06:07本頁面
【正文】 ：，所以，當(dāng)時(shí)，又，所以，因?yàn)椋?當(dāng)，由（1）可得，故.綜上，.【評(píng)析】本題以雙曲線方程與性質(zhì)和雙曲線與直線的位置關(guān)系為載體，證明角度倍關(guān)系問題，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查理性思維和數(shù)學(xué)探索，對(duì)學(xué)生分析問題和解決問題提出了較高的要求，解題關(guān)鍵（1）圓錐曲線中離心率的計(jì)算，關(guān)鍵是找到一組等量關(guān)系（齊次式）.（2）圓錐曲線中與有角有關(guān)的計(jì)算，注意通過動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)來刻畫角的大小，則，再計(jì)算，利用點(diǎn)在雙曲線上化簡后可得，從而可得結(jié)論成立. 在解答題注意嚴(yán)謹(jǐn)性不丟分，如垂直于軸的討論，角度范圍的限制等。解題關(guān)鍵是第（1）問，曲線與方程互化，由條件知點(diǎn)在線段的中垂線上，設(shè)⊙的方程為，然后根據(jù)圓與直線相切和圓心到直線的距離，半弦長和半徑的關(guān)系建立方程組即可。事實(shí)上本題猜測(cè)與發(fā)現(xiàn)定點(diǎn)在軸上，對(duì)運(yùn)算過程的調(diào)控尤為重要。將直線方程設(shè)為, 不僅避開分類討論的麻煩，而且方便計(jì)算，易得過程分。（四）定點(diǎn)問題【例6】（2017福建省質(zhì)檢）已知點(diǎn)，直線，直線垂直于點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知點(diǎn)，過且與軸不垂直的直線交于兩點(diǎn)，直線分別交于點(diǎn)，求證：以為直徑的圓必過定點(diǎn)．【解析】（1）依題意得，即到直線的距離與到點(diǎn)的距離相等，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)， 為準(zhǔn)線的拋物線．設(shè)拋物線方程為，則，即點(diǎn)的軌跡的方程是． （2）由題意可設(shè)直線，代入，得，設(shè)，則；又，設(shè)直線的斜率分別為，則，設(shè)，令，得；同理，得，從而；．又以為直徑的圓的方程為： ，即，即，令解得或，從而以為直徑的圓恒過定點(diǎn)和．【評(píng)析】該類問題多以直線與圓錐曲線為背景，常與函數(shù)與方程、向量等知識(shí)交匯，形成了過定點(diǎn)、定值等問題的證明．難度較大．定點(diǎn)、定值問題是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個(gè)點(diǎn)、一個(gè)值，就是要求的定點(diǎn)、定值．化解這類問題難點(diǎn)的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量。解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標(biāo)函數(shù)和建立不等關(guān)系，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和不等式求最值、范圍，因此這類問題的難點(diǎn)，就是如何建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系．建立目標(biāo)函數(shù)或不等關(guān)系的關(guān)鍵是選用一個(gè)合適變量，其原則是這個(gè)變量能夠表達(dá)要解決的問題，這個(gè)變量可以是直線的斜率、直線的截距、點(diǎn)的坐標(biāo)等，要根據(jù)問題的實(shí)際情況靈活處理．本題的關(guān)鍵是，代數(shù)化為，利用，構(gòu)建不等關(guān)系。此題的關(guān)鍵是：合理構(gòu)建符合題意的圖像，挖掘幾何性質(zhì)，從中轉(zhuǎn)化抽象出參數(shù)的等量關(guān)系式；注意用好雙曲線中與參數(shù)有關(guān)的幾個(gè)不變量：（1）雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離是；（2）雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離是．（3）本題從特殊值角度令關(guān)聯(lián)基本量，則可大幅度減小計(jì)算量． （三）最值與范圍【例5】（2016年全國卷Ⅱ理20）已知橢圓E:的焦點(diǎn)在軸上，是的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，．（1）當(dāng)，時(shí)，求的面積；（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．解析：（1）解法一：當(dāng)時(shí)，由于，根據(jù)對(duì)稱性可知，所以 得，所以．又，所以，所以．解法二：設(shè)點(diǎn)，且交軸于點(diǎn)． 因?yàn)?，且，所以?．由，得．又，所以，解之得或．所以 ，所以．（2）設(shè)直線，．則，所以； 同理．因?yàn)椋裕?，所以．【評(píng)析】本題主要考查橢圓的方程和性質(zhì)，直線和橢圓的位置關(guān)系，考查推理論證能力和運(yùn)算求解能力。則C的離心率為________．解析：如圖所示，ΔMAN為等腰三角形，因?yàn)椋?，．所以，又因?yàn)椋?，解得．所以．【評(píng)析】本題主要考查以離心率為背景的雙曲線的概念與性質(zhì)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性。具體的解析幾何問題，圓的問題主要是定義和性質(zhì)；圓錐曲線（橢圓、拋物線、雙曲線）主要是曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、曲線性質(zhì)（焦點(diǎn)、離心率、準(zhǔn)線、漸近線）；綜合性問題主要是位置關(guān)系、范圍、面積、定點(diǎn)、定值等?？傮w強(qiáng)調(diào)用代數(shù)方法和數(shù)形結(jié)合思想研究幾何問題，體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性?？疾榈年P(guān)鍵能力主要是邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力。 【例3】（2020屆山東省高考模擬多項(xiàng)選擇題）設(shè)A，B是拋物線上的兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，下列結(jié)論成立的是（ ） A．若，則 B．若，直線AB過定點(diǎn) C．若，到直線AB的距離不大于1 D．若直線AB過拋物線的焦點(diǎn)F，且，則【解析】，可設(shè)直線方程為，將直線方程代入拋物線方程，得，則，解得．于是直線方
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