專題08--猜想與證明(解析版)-展示頁
2025-04-03 02:36本頁面
【正文】 ，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當x為何值時，；（3）猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【解析】（1）證明：∵線段BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到線段BQ，∴BP=BQ，∵四邊形ABCD是正方形，∴BA=BC，∴，∴，即，在△BAP和△BCQ中，∵，∴（SAS），∴CQ=AP．（2）如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴，∴，∵DC=AD=，由勾股定理可得：，∵AP=x，∴PC=4x，∵△PBQ是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，由，∴，得到，得x=3或x=1．當x=3或1時，．（3）結(jié)論：PF=EQ，理由是：如圖，當F在邊AD上時，過P作，交AB于G，則，∵，∴，∴，∵PB=BQ，∴（SAS），∴EQ=PG，∵，∴F、A、G、P四點共圓，連接FG，∴，∴△FPG是等腰直角三角形，∴PF=PG，∴PF=EQ．當F在AD的延長線上時，如圖所示，同理可得：PF=PG=EQ．7．問題提出：（1）同一平面內(nèi)的兩條線段和，已知，則線段最大值是______；最小值是______．問題探究：（2）如圖，四邊形中，且，問是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．問題解決：（自行作圖并解決）（3）在中，以為一邊作正方形，連接，問是否存在最大值或者最小值?若存在，求出相應最值；若不存在，請說明理由．【解析】（1）由題意，分以下兩種情況：①當點不在同一條直線上時，由三角形的三邊關(guān)系定理得：，即；②當點在同一直線上時，點B在點的中間時，則，點C在點的中間時，則，綜上，線段AC的取值范圍為，則線段最大值是5，最小值是1，故答案為：5，1；（2）存在，求解過程如下：如圖，連接AC，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，點A的對應點為點E，連接AE、BE、CE，旋轉(zhuǎn)后點D的對應點為點B，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，是等邊三角形，①當點不在同一條直線上時，即，；②當點在同一條直線上時，，綜上，當點在同一條直線上時，AC有最大值，最大值為6；（3）如圖，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，點E的對應點為點F，連接EF、BF、CF，四邊形ABCD是正方形，旋轉(zhuǎn)后點A的對應點為點C，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，在中，①當點不在同一條直線上時，，即；②當點在同一條直線上時，綜上，當點在同一條直線上時，有最大值，最大值為．8．如圖，在直角中，是邊上的中線，直線，是邊延長線上一點，連接并延長交直線于點，將沿翻折得，射線交直線于點．（1）如圖1，當時，求的長．（2）如圖2，當點在點的上方時，求證：．（3）如果的面積為，求的長．【解析】解：(1)，在中：，是邊上的中線，是等邊三角形，，在中：，在和中，故答案為：4．(2)由(1)可知：為等邊三角形，沿翻折得，，，，又，．(3)過點作于點，過點作于點，如下圖所示
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