【正文】 Ⅱ）點(diǎn)坐標(biāo)為?！唷鰾CD是直角三角形；（3）如圖，∵B（0，﹣3），C（3，0），∴直線BC解析式為y=x﹣3，∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，PM⊥x軸，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，∵點(diǎn)P在直線BC上，點(diǎn)M在拋物線上，∴P（t，t﹣3），M（t，），過點(diǎn)Q作QF⊥PM，∴△PQF是等腰直角三角形，∵PQ=，∴QF=1．①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M上方時(shí)，即0＜t＜3時(shí)，PM=t﹣3﹣（）=，∴S=PMQF==，②如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M下方時(shí)，即t＜0或t＞3時(shí)，PM=﹣（t﹣3）=，∴S=PMQF=（）=．綜上所述，S=．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；分類討論．3．在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，交軸于點(diǎn).（Ⅰ）求該拋物線的解析式及對(duì)稱軸；（Ⅱ）點(diǎn)在軸上，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅲ）拋物線上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（Ⅰ）拋物線的解析式為。20202021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)專題題庫∶二次函數(shù)的綜合題附詳細(xì)答案一、二次函數(shù)1．如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣3）．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，PH⊥x軸于點(diǎn)H，與BC交于點(diǎn)M，連接PC．①求線段PM的最大值；②當(dāng)△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3；（2）①PM最大=；②P（2，﹣3）或（3，2﹣4）．【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；（2）①根據(jù)平行于y軸直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；②根據(jù)等腰三角形的定義，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案．【詳解】（1）將A，B，C代入函數(shù)解析式，得，解得，這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3；（2）設(shè)BC的解析式為y=kx+b，將B，C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得，解得，BC的解析式為y=x﹣3，設(shè)M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣）2+，當(dāng)n=時(shí)，PM最大=；②當(dāng)PM=PC時(shí)，（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，解得n1=0（不符合題意，舍），n2=2，n2﹣2n﹣3=3，P（2，3）；當(dāng)PM=MC時(shí)，（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2，解得n1=0（不符合題意，舍），n2=3+（不符合題意，舍），n3=3，n2﹣2n﹣3=24，P（3，24）；綜上所述：P（2，﹣3）或（3，2﹣4）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及到待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、等腰三角形等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是認(rèn)真分析，弄清解題的思路有方法.2．已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且|m|＜|n|，拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（m，0），B（0，n），如圖所示．（1）求這個(gè)拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)為D，求出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，并判斷△BCD的形狀；（3）點(diǎn)P是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B和點(diǎn)C重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M，點(diǎn)Q在直線BC上，距離點(diǎn)P為個(gè)單位長度，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△PMQ的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．【答案】（1）；（2）C（3，0），D（1，﹣4），△BCD是直角三角形；（3）【解析】試題分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）先解方程求出拋物線與x軸的交點(diǎn)，再判斷出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，從而得到結(jié)論；（3）先求出QF=1，再分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M上方和下方，分別計(jì)算即可．試題解析：解（1）∵，∴，∵m，n是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（m，0），B（0，n），∴，∴，∴拋物線解析式為；（2）令y=0，則，∴，∴C（3，0），∵=，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)D（1，﹣4），過點(diǎn)D作DE⊥y軸，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45176?！唷螩BD=90176。拋物線的對(duì)稱軸為直線。（Ⅲ）存在，點(diǎn)坐標(biāo)為或，理由見解析【解析】【分析】（Ⅰ）將點(diǎn)代入二次函數(shù)的解析式，即可求出a，再根據(jù)對(duì)稱軸的公式即可求解.（Ⅱ）先求出B點(diǎn)胡坐標(biāo)，要求胡最小值，只需找到B關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則直線A與y軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)P，根據(jù)待定系數(shù)法求出AB1的解析式，令y=0，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo).（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并求出△AOQ面積，從而得到△AOQ面積，根據(jù)Q點(diǎn)胡不同位置進(jìn)行分類，用m及割補(bǔ)法求出面積方程，即可求解.【詳解】（Ⅰ）∵經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線的解析式為，∵，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線.（Ⅱ）∵點(diǎn)，對(duì)稱軸為，∴點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為.作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，得，設(shè)直線AB1的解析式為，把點(diǎn)，點(diǎn)代入得，解得，∴.∴直線與軸的交點(diǎn)即為點(diǎn).令得，∵點(diǎn)坐標(biāo)為.（Ⅲ）∵，軸，∴，∴，又∵，∴.設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，如圖情況一，作，交延長線于點(diǎn)，∵，∴，化簡(jiǎn)整理得，解得，.如圖情況二，作，交延長線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，∵，∴，化簡(jiǎn)整理得，解得，∴點(diǎn)坐標(biāo)為或，∴拋物線上存在點(diǎn)，使得.【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，以及求兩邊和的最小值，面積等常見的題型，計(jì)算量較大，但難度不是很大.4．如圖1，在矩形ABCD中，DB＝6，AD＝3，在Rt△PEF中，∠PEF＝90176。用三角函數(shù)計(jì)算可得AF=t=；（3）根據(jù)題意，分三種情況：①當(dāng)0≤t＜時(shí)，②≤t＜3時(shí)，③3≤t≤6時(shí)，根據(jù)三角形、梯形的面積的求法，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式即可.詳解：（1）∵在Rt△PEF中，∠PEF=90176。∵PE∥AD∴∠PAD=300，根據(jù)勾股定理可得PE=3，所以S四邊形PEAD=（3+3）3=； （2）當(dāng)PF經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，PE∥DA，由EF=3，PF=6，得∠EPF=∠ADF=30176。過A39。H垂直x軸于點(diǎn)H，設(shè)二次函數(shù)對(duì)稱軸于x軸交于點(diǎn)G．根據(jù)對(duì)稱與三角形全等，求得A39。C解析式，與拋物線解析式聯(lián)立，求得點(diǎn)E坐標(biāo)；（4）設(shè)F（1，m），分三種情況討論：①當(dāng)BF＝BD時(shí)，②當(dāng)DF＝BD時(shí)，③當(dāng)BF＝DF時(shí)，m＝1，然后代入即可．【詳解】（1）設(shè)拋物線解析式y(tǒng)＝a（x﹣1）2﹣1，將B（2，0）代入，0＝a（2﹣1）2﹣1，∴a＝1，拋物線解析式：y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x，將B（2，0）代入y＝kx+2，0＝2k+2，k＝﹣1，∴直線BC的解析式：y＝﹣x+2；（2）聯(lián)立，解得，∴C（﹣1，3），∵A（1，﹣1），B（2，0），∴AB2＝（1﹣2）2+（﹣1﹣0）2＝2，AC2＝[1﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20，BC2＝[2﹣（﹣1）]2+（0﹣3）2＝18，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形；（3）如圖，作∠BCE＝∠ACB，與拋物線交于點(diǎn)E，延長AB，與CE的延長線交于點(diǎn)A39。作A39?！帱c(diǎn)A與A39。B，可知△AFB≌△A39。H＝1，OH＝3，∴A39。C：，聯(lián)立：，解得或，∴E（，）；（4）