中考數(shù)學(xué)-二次函數(shù)-綜合題含詳細答案-展示頁
2025-03-31 07:09本頁面
【正文】 ﹣30000（2）商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤是8640元．【解析】【分析】（1）利用銷售單價每漲1元，銷售量將減少10個即可表示出y＝600﹣10（x﹣40），再利用w= y?（x﹣30）即可表示出w與x之間的關(guān)系式；（2）先將w＝﹣10x2+1300x﹣30000變成頂點式，找到對稱軸，利用函數(shù)圖像的增減性確定在44≤x≤46范圍內(nèi)當(dāng)x＝46時有最大值，代入求值即可解題.【詳解】解：（1）依題意，易得銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系：y＝600﹣10（x﹣40）＝﹣10x+1000獲得利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系為：w＝y(tǒng)?（x﹣30）＝（1000﹣10x）（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000（2）根據(jù)題意得，x≥14時且1000﹣10x≥540，解得：44≤x≤46w＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250∵a＝﹣10＜0，對稱軸x＝65∴當(dāng)44≤x≤46時，y隨x的增大而增大∴當(dāng)x＝46時，w最大值＝8640元即商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤是8640元．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，難度較大，求解二次函數(shù)與利潤之間的關(guān)系時,需要用代數(shù)式表示銷售數(shù)量和銷售單價，熟悉二次函數(shù)頂點式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.7．如圖甲，直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C，經(jīng)過B、C兩點的拋物線y=x2+bx+c與x軸的另一個交點為A，頂點為P．（1）求該拋物線的解析式；（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點M，使以C，P，M為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出所符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）當(dāng)0＜x＜3時，在拋物線上求一點E，使△CBE的面積有最大值（圖乙、丙供畫圖探究）．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E點坐標(biāo)為（，）時，△CBE的面積最大．【解析】試題分析：（1）由直線解析式可求得B、C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）由拋物線解析式可求得P點坐標(biāo)及對稱軸，可設(shè)出M點坐標(biāo)，表示出MC、MP和PC的長，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三種情況，可分別得到關(guān)于M點坐標(biāo)的方程，可求得M點的坐標(biāo)；（3）過E作EF⊥x軸，交直線BC于點F，交x軸于點D，可設(shè)出E點坐標(biāo)，表示出F點的坐標(biāo)，表示出EF的長，進一步可表示出△CBE的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其取得最大值時E點的坐標(biāo)．試題解析：（1）∵直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，解得，∴拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴拋物線對稱軸為x=2，P（2，﹣1），設(shè)M（2，t），且C（0，3），∴MC=，MP=|t+1|，PC=，∵△CPM為等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三種情況，①當(dāng)MC=MP時，則有=|t+1|，解得t=，此時M（2，）；②當(dāng)MC=PC時，則有=2，解得t=﹣1（與P點重合，舍去）或t=7，此時M（2，7）；③當(dāng)MP=PC時，則有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此時M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；綜上可知存在滿足條件的點M，其坐標(biāo)為（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）如圖，過E作EF⊥x軸，交BC于點F，交x軸于點D，設(shè)E（x，x2﹣4x+3），則F（x，﹣x+3），∵0＜x＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF?OD+EF?BD=EF?OB=3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，∴當(dāng)x=時，△CBE的面積最大，此時E點坐標(biāo)為（，），即當(dāng)E點坐標(biāo)為（，）時，△CBE的面積最大．考點：二次函數(shù)綜合題．8．我們知道，經(jīng)過原點的拋物線解析式可以是。【答案】（1）－1；（2）（3）3，6，9【解析】解：（1）－1；?！遙≠0，∴。對于頂點在在直線上的一點Am（m，m）（m為正整數(shù)，且m≤n），依題意，作的正方形AmBmCmDm邊長為m，點Dm坐標(biāo)為（2 m，m），若點Dm在某一拋物線上，則，化簡，得?！嗨袧M足條件的正方形邊長為3，6，9。當(dāng)頂點坐標(biāo)為（m，m），m≠0時。由于拋物線與直線只有一個公共點，意味著聯(lián)立解析式后得到的一元二次方程，其根的判別式等于0，由此可求出m的值和D點坐標(biāo)。9．如圖1，拋物線經(jīng)過點、兩點，是其頂點，將拋物線繞點旋轉(zhuǎn)，得到新的拋物線．（1）求拋物線的函數(shù)解析式及頂點的坐標(biāo)；（2）如圖2，直線經(jīng)過點，是拋物線上的一點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為（），連接并延長，交拋物線于點，交直線l于點，求的值；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接、在直線下方的拋物線上是否存在點，使得？若存在，求出點的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1），頂點為：；（2）的值為﹣3；（3）存在，點的橫坐標(biāo)為：或．【解析】【分析】（1）運用待定系數(shù)法將、代入中，即可求得和的值和拋物線解析式，再利用配方法將拋物線解析式化為頂點式即可求得頂點的坐標(biāo)；（2）根據(jù)拋物線繞點旋轉(zhuǎn)，可求得新拋物線的解析式，再將代入中，即可求得直線解析式，根據(jù)對稱性可得點坐標(biāo)，過點作軸交直線于，過作軸交直線于，由，即可得，再證明∽，即可得，建立方程求解即可；（3）連接，易證是，可得，在軸下方過點作，在上截取，過點作軸于，連接交拋物線于點，點即為所求的點；通過建立方程組求解即可．【詳解】（1）將、代入中，得解得∴拋物線解析式為：，配方，得：，∴頂點為：；（2）∵拋物線繞點旋轉(zhuǎn)，得到新的拋物線．∴新拋物線的頂點為：，二次項系數(shù)為：∴新拋物線的解析式為：將代入中，得，解得，∴直線解析式為，∵，∴直線的解析式為，由拋物線與拋物線關(guān)于原點對稱，可得點、V關(guān)于原點對稱，∴如圖2，過點作軸交直線于，過作軸交直線于，則，∴，∵∴，∵軸，軸∴∴∽∴，即∴解得：，∵∴的值為：﹣3；（3）由（2）知：，∴，如圖
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