【正文】 x，∵f(x)在R上為增函數(shù)，∴f39。(x)0．ln2=lnxln(a+x)；當x0時，因此G(x)在(0 , +165。)上為增函數(shù)．從而當x=a時，F(xiàn)(x)有極小值F(a)，∵F(a)=0，ba，∴F(b)0，即g(a)+g(b)2g(a+b)0．又設G(x)=F(x)(xa)ln2，則2G39。(x)0，因此F(x)在(0 , a)內(nèi)為減函數(shù)；當xa時，F(xiàn)39。(x)2[g()]39。(x)=lnx+1．在g(a)+g(b)2g(數(shù)，設F(x)=g(a)+g(x)2g(a+b)中以b為主變元構造函2a+xa+xa+x)，則F39。(x)f(x)，則移項后xf162。(x)+f(x)0，從而F(x)在R上為增函數(shù)，∵ab，∴F(a)F(b)，即af(a)bf(b)．【點評】由條件移項后xf162。(x)+f(x)0，∴構造函數(shù)F(x)=xf(x)，則F39。)，則有l(wèi)n(+1)23． nnnn【點評】我們知道，當F(x)在[a , b]上單調(diào)遞增，則xa時，有F(x)F(a)．如果f(a)＝j(a)，要證明當xa時，f(x)j(x)，那么，只要令F(x)＝f(x)－j(x)，就可以利用F(x)的單調(diào)增性來推導．也就是說，在F(x)可導的前提下，只要證明F39。)時，恒有h(x)h(0)=0，即x3x2+ln(x+1)0，∴l(xiāng)n(x+1)x2x3，對任意正整數(shù)n，取x=1111206。)上單調(diào)遞增，∴x206。(0 , +165。)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)=23x的圖象的下方． 3【點評】本題首先根據(jù)題意構造出一個函數(shù)（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設為函數(shù)），并利用導數(shù)判斷所設函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要證的不等式．讀者也可以設F(x)=f(x)g(x)做一做，深刻體會其中的思想方法． 例3．【分析】本題是山東卷的第（2）問，從所證結構出發(fā)，只需令1=x，則問題轉(zhuǎn)化為：當x0n時，恒有l(wèi)n(x+1)x2x3成立，現(xiàn)構造函數(shù)h(x)=x3x2+ln(x+1)，求導即可達到證明．13x3+(x1)2 【解析】 令h(x)=xx+ln(x+1)，則h162。(x)=0，從xxx而F(x)在(1,+165。)是增函數(shù)即可． 【解析】設F(x)=g(x)f(x)，即F(x)=22312xxlnx，321(x1)(2x2+x+1)(x1)(2x2+x+1)則F39。(1 , +165。)上恒成12212x+lnxx3，只需證明在區(qū)間(1,+165。f(a)），那么要證不等式，只要求函數(shù)的最大值不超過0就可得證．例2．【分析】函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)的圖象的下方219。g(0)=0，即ln(x+1)+【點評】如果f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大（?。┲?，則有f(x)163。x． ∴l(xiāng)n(x+1)179。0，x+1111163。)上為增函數(shù)，故函數(shù)g(x)在(1 , +165。(1 , 0)上為減函數(shù)，在x206。)時，g39。(x)0；當x206。(x)=22，x+1(x+1)(x+1)x+1當x206。0，∴l(xiāng)n(x+1)163。)上的最大值為f(x)max=f(0)=0，因此，當x1時，f(x)163。)上為減函數(shù)；故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1 , 0)，單調(diào)遞減區(qū)間(0 , +165。(x)0，即f(x)在x206。(x)0，即f(x)在x+1x+1g(x)=ln(x+1)+x206。f(a)例1【分析】 本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構造函數(shù)11，從其導數(shù)入手即可證明． x+11x1=【解析】由題意得：f162。af(b)C．a(chǎn)f(a)163。0，對任意正數(shù)a、b，若ab，則必有（）A．a(chǎn)f(b)163。)上的非負可導函數(shù)，且滿足xf39。g(x)．2已知函數(shù)f(x)=ln(1+x) xb，求證：對任意的正數(shù)a、b，恒有l(wèi)nalnb179。(x)f(x)恒成立，常數(shù)a、b滿足ab，求證：af(a)bf(b)．五、主元法構造函數(shù)1+x)x，g(x)=xlnx． 【例5】已知函數(shù)f(x)=ln(（1）求函數(shù)f(x)的最大值；（2）設0ab，證明：0g(a)+g(b)2g（a+b)(ba)ln2．2六、構造二階導函數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性（二次求導）【例6】已知函數(shù)f(x)=aex12x． 2（1）若f(x)在R上為增函數(shù)，求a的取值范圍；（2）若a=1，求證：當x0時，f(x)1+x．七、對數(shù)法構造函數(shù)（選用于冪指數(shù)函數(shù)不等式）【例7】證明：當x0時，(1+x)1+xe1+2．（2007年，安徽卷）設a179。x． x+1二、作差法構造函數(shù)證明【例2】已知函數(shù)f(x)=的圖象的下方．2312x+lnx，求證：在區(qū)間(1 ,+165。0時，恒有f(x)﹤0，即第二篇：構造法證明函數(shù)不等式構造法證明函數(shù)不等式利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導數(shù)、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點．解題技巧是構造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結構特征構造一個可導函數(shù)是用導數(shù)證明不等式的關鍵．一、移項法構造函數(shù)【例1】已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)x，求證：當x1時，恒有11163。由上述幾種情況可以看出，能否順利地構造函數(shù)利用其函數(shù)性質(zhì)和使用數(shù)學思想來證明不等式，最重要的是要有扎實的基本功和多種思維品質(zhì)，敢于打破常規(guī)，創(chuàng)造性地思維，才能獨辟蹊徑，使問題獲得妙解。xx(x185。0)，f(x)=＝xxx221212212xxxxx1(12)+x+＝＝f(x).212x212x[]所以f(x)是偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱。0)。評注：利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式和比較大小是常見的方法，特別是在引入導數(shù)后，單調(diào)性的應用將更加普遍。解析：令f(x)=xln(x+1)，∵x﹥0，∴f/(x)=11x= ﹥+1x+1又∵f(x)在x=0處連續(xù)，∴f(x)在[0,+165。R+，求證：﹥ 1+a1+b1+a+b解析：設f(x)=又x1=1，當x﹥0時，f(x)是增函數(shù)，1+x1+xaba+b+aba+b+2aba+b+ab+=f(a+b+ab)，＝﹥＝1+a1+b(1+a)(1+b)(1+a)(1+b)1+a+b+ab而a,b206。(1,1)，∴f(a)﹥0，即：ab+bc+ac+1﹥0 評注：考慮式中所給三個變量的有界性，可以視其為單元函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f(a)1。由于f(1)=(1+