【正文】 30。v182。248。248。248。Dv247。G0247。Dv247。=vv247。247。247。Dr246。230。230。3rr=rx2+ry2+rz2（9）寫成狀態(tài)方程形式：vvamp。為地球引力常數(shù)。rT238。=vDr239。gvv（8）237。Drv239。反映軌道位置和速度誤差的線性化方程如下：vvamp。計(jì)算向月飛行軌道誤差的協(xié)方差迭代方程考慮到軌道參數(shù)的誤差之相對(duì)于軌道參數(shù)的標(biāo)稱值是小量，因此可以將軌道運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行線性化，從而得到能夠反映軌道參數(shù)偏差量的傳播關(guān)系的誤差方程。顯然，只要求出傳遞矩陣 P ,便可確定源誤差與欲求量誤差之間的關(guān)系。xi若自變量dx1LLdxn是隨機(jī)變量，則線性化方程的函數(shù)dy的協(xié)方差矩陣為：EdYdYT=EPdXdXTPT=PEdXdXTPT(6)即 ()()()Cy=PCXPT(7)式中Cx是自變量的協(xié)方差矩陣；Cy是函數(shù)dY的協(xié)方差矩陣。xin或表示為dY=PdX(4)這里 P 是偏導(dǎo)數(shù)矩陣: Pi=182。從而得到線性化方程dy=S182。x1182。f182。由此圖中可看出，改進(jìn)方法提高了著陸的安全性，當(dāng)探測(cè)器的初始質(zhì)量mo=350kg。為實(shí)現(xiàn)著陸的最優(yōu)性，減速度取為其中T如（12）式中所示，m0為探測(cè)器的初始質(zhì)量。另一種方法是考慮制動(dòng)過程由一個(gè)主發(fā)動(dòng)機(jī)和一組小推力發(fā)動(dòng)機(jī)共同完成，通過調(diào)整開啟的小發(fā)動(dòng)機(jī)的數(shù)量，來實(shí)現(xiàn)變推力降落。設(shè)開機(jī)時(shí)刻為到發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間為式，在區(qū)間內(nèi)積分，并考慮將（11）式中的對(duì)數(shù)按泰勒展開，忽略并令消掉T得到切換函數(shù)為由切換函數(shù)（12）式可以看出，速度、位置的誤差和制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)推動(dòng)的將直接影響著陸的效果。根據(jù)定理一和定理二，重力轉(zhuǎn)彎軟著陸最優(yōu)控制程序沒有奇異值狀態(tài)，并且在著陸過程中最多切換一次，其工作方式有4種：1）全開；2）全關(guān)；3）先開有關(guān)；4）先關(guān)后開。對(duì)于最優(yōu)推力控制程序（7），其切換函數(shù)中含有共軛變量，它是一個(gè)關(guān)于狀態(tài)變量的穩(wěn)式表達(dá)式。根據(jù)性質(zhì)4），若嚴(yán)格單調(diào)，因而在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，即至多進(jìn)行一次切換；若，則上為常數(shù)。軟著陸系統(tǒng)（2）在最優(yōu)推力控制程序（7）的作用下，按最后軌跡降落。證明。3），與反證假設(shè)矛又因?yàn)橐虼擞谐闪ⅲ@與此時(shí)（10）式在上根據(jù)定理一，重力轉(zhuǎn)彎軟著陸的最優(yōu)制導(dǎo)律是一種開關(guān)（BangBang）控制，只須控制發(fā)動(dòng)機(jī)開關(guān)，不需要調(diào)節(jié)推力的大小。又因?yàn)椴慌c此時(shí)由（6b）式有反證假設(shè)矛盾。根據(jù)式及性質(zhì)2）可知，由性質(zhì)3）必有根據(jù)是時(shí)間t的斜率非零的線性函數(shù)，）若定，根據(jù)橫截條件有在區(qū)間內(nèi)為常數(shù)。用反證法，假設(shè)存在奇異條件，則在某個(gè)閉區(qū)間設(shè)，并由（5）式得。月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸系統(tǒng)（2）的燃耗最優(yōu)制導(dǎo)或時(shí)間最優(yōu)制導(dǎo)問題不存在奇異條件。又由（9）式可得T（t）=0，4）根據(jù)極大值原理，系統(tǒng)的狀態(tài)變量和共軛變量都是時(shí)間的連續(xù)可微函數(shù)，將切換函數(shù)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，利用（2），（6）式和性質(zhì)2）得 軟著陸最優(yōu)控制中奇異條件的分析對(duì)于月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸問題，最優(yōu)制導(dǎo)律具有兩個(gè)很好的性質(zhì)。此時(shí)如果最優(yōu)解存在，則稱為奇異解，（8）式稱為奇異條件。根據(jù)pontryagin極大值原理，系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)及其對(duì)u的偏導(dǎo)數(shù)為使哈密頓函數(shù)（5）式達(dá)到極大地控制輸入u就是最優(yōu)控制，科表示為。軟著陸燃耗最優(yōu)問題的描述 對(duì)于最終著陸段，可假設(shè)為一小角度。重力轉(zhuǎn)彎過程中，探測(cè)器的高度、速度和姿態(tài)角度可由雷達(dá)高度表、多普勒雷達(dá)及慣性儀表測(cè)得。重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程中探測(cè)器質(zhì)心動(dòng)力學(xué)方程可表示為上式中各變量的物理意義如圖1中所示，其中m0為探測(cè)器質(zhì)量；k0為制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)比沖；u表示制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)的秒耗量可通過一定的機(jī)構(gòu)加以調(diào)節(jié)，故作為軟著陸問題的控制變量。上述結(jié)論對(duì)上注探測(cè)器關(guān)鍵點(diǎn)的選取有著較強(qiáng)的指導(dǎo)意義，比如基于最優(yōu)軌線的斜率對(duì)路徑點(diǎn)合并、基于最優(yōu)軌線簇的對(duì)稱性對(duì)上注軌線進(jìn)行等效延伸、或者嘗試僅將 S 型和 C 型的轉(zhuǎn)折點(diǎn)作為路徑點(diǎn)等，這樣可以大大降低探測(cè)器自主存儲(chǔ)與計(jì)算需求，進(jìn)而有效提升任務(wù)的可靠性。3)當(dāng)探測(cè)器初始水平速度為零時(shí)，圓錐體軸線垂直于火星地表，所有最優(yōu)軌線關(guān)于該軸線中心對(duì)稱。圖 2 各種不同初始速度對(duì)應(yīng)的火星著陸器動(dòng)力下降段燃料最優(yōu)軌跡簇1)對(duì)任意探測(cè)器初始位置，特定初始速度對(duì)應(yīng)的燃料最優(yōu)著陸軌跡在末端必然收斂到一個(gè)固定的近似圓錐體內(nèi)。因此，可行的方案是通過在地面計(jì)算大量的燃料最優(yōu)軌跡，并尋找規(guī)律，選取關(guān)鍵路徑點(diǎn)狀態(tài)存儲(chǔ)到著陸器計(jì)算機(jī)中，通過在線查表或者在利用對(duì)計(jì)算量要求較小的反饋制導(dǎo)律完成安全著陸任務(wù)。此外，通過利用如 TOMLAB 等商業(yè)最優(yōu)控制軟件進(jìn)行復(fù)核計(jì)算，也驗(yàn)證了此計(jì)算結(jié)果的燃料最優(yōu)性能。由優(yōu)化結(jié)果可以看出，探測(cè)器在給定時(shí)間飛行并軟著陸到指定位置，且在整個(gè)下降過程始終與火星地表保持一定的安全距離，驗(yàn)證了下降傾角約束的有效性。二階錐優(yōu)化問題可以通過大量免費(fèi)的優(yōu)化工具求解，如 CSDP、DSDP、OpenOpt、SeDuMi、SDPA、SDPLR等。其中探測(cè)器各參數(shù)分別取為：m0=2000kg,g=[]ms2,c=2kms,T1=,T2=13kN.。0T1vr)p+1vTz(Φky0+Akg4)+z0,z179。rkp 控制上限:(vzΨk+TT[TTv0]T163。R，二階錐約束參數(shù)維數(shù)n(Ai,bi,ci,di)由相應(yīng)約束確定則式(17)～式(23)可最終轉(zhuǎn)換為如下最優(yōu)化問題： 指標(biāo)函數(shù)：min(vpp)滿足：初值約束:MxΨ0p+Mx(Ψ0y0)+A0g4r0末值約束:MxΨ0p+Mx(Ψ0y0)+A0g4控制約束:Murkp163。R，線性約束參數(shù)D206。b+dinTiTi（k=1,L，n）n*pp其中x206。000000Y=Fy0+Yp+Lg4分別定義如下常值矩陣：最終可得離散化后的燃料最優(yōu)化問題如下： 指標(biāo)函數(shù)：式(9)可表示為邊界條件：式(3)可表示為控制約束：式(10)和式(11)分別可表示為狀態(tài)約束：式(5)和式(12)分別可表示為含有 p個(gè)線性約束和 q個(gè)二階錐約束的最優(yōu)化問題的標(biāo)準(zhǔn)形式為 指標(biāo)函數(shù)min(lTx)滿足約束DTx+f179。4(n+1)234。234。234。234。MMA+AB+BL3ABB002B000234。234。0234。234。233。233。235。A234。234。M234。M234。2234。2234。234。1234。0234。Y0249。7(n+1)180。235。1235。1235。235。234。n234。234。234。MM234。234。234。234。234。 Y=234。=234。F=234。 ,p=234。234。234。234。234。234。234。234。234。233。233。233。有系統(tǒng)性質(zhì)可知，整個(gè)控制時(shí)域內(nèi)系統(tǒng)狀態(tài)滿足 y3=Ay2+B(p2+g4)=A3y0+A2B(p0+g4)+AB(p1+g4)+B(p2+g4)Myn=Ayn1+B(pn1+g4)=Any0+An1B(p0+g4)+L+AB(pn2+g4)+B(pn1+g4)y1=Ay0+B(p0+g4)y2=Ay1+B(p1+g4)=A2y0+AB(p0+g4)+B(pn2+g4)+B(p1+g4)為表達(dá)方便，令233。e(Dts)AcBcds=242。4分別為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣12A=eDtAc187。7,B206。c=[tanqaltT000000] 等效燃料最優(yōu)精確著陸問題的離散化首先將整個(gè)飛行時(shí)間均分成 n 段（對(duì)應(yīng) n +1 個(gè)點(diǎn)），每段步長(zhǎng)為Dt，離散化后的著陸器運(yùn)動(dòng)方程為：yk+1=Ayk+B(pk+g4)其中A206。0010000235。S=234。0（12）其中233。d163?？刂萍s束：由文獻(xiàn)[10]可知，控制約束(4)可等效表示為u163。d],g4=[gTTD0]Tt指標(biāo)函數(shù)：min242。a=Acy+Bc(p+g4)（8）d235。234。233。7*7234。235。235。234。234。I0v233。233。v0（5）進(jìn)一步地，若著陸區(qū)域附近表面崎嶇不平，僅僅確保地表約束不能滿足需求時(shí)，可以考慮下降傾角約束，即將著陸器下降軌線約束到以著陸點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓錐體內(nèi) 等效后燃料最優(yōu)精確著陸問題 定義等效變換變量Ttrx2+ry2rh163。min242。190。m(t)dtt0f設(shè)計(jì)主減速段制導(dǎo)控制律 2動(dòng)力下降段燃料最優(yōu)精確著陸問題描述 燃料最優(yōu)精確著陸問題著陸器運(yùn)動(dòng)方程：考慮采用變推力發(fā)動(dòng)機(jī)情況，有r=v.v=g+a(1)a=Tmm=aT..其中r=[rhrxry]T，v=[vhvxvy]T分別表示著陸器相對(duì)期望著陸點(diǎn)的位置和速度矢量；T為推力器提供的推力矢量，幅值為 T，對(duì)應(yīng)控制加速度矢量 a；g為火星的重力加速度矢量，此處認(rèn)為是常值；m為著陸器質(zhì)量，對(duì)應(yīng)推力器質(zhì)量排除系數(shù)a。優(yōu)化變量為制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)推力方向角y(t)。根據(jù)動(dòng)力下降段的起點(diǎn)位置可以確定動(dòng)力學(xué)方程初始條件,由于起點(diǎn)處于霍曼轉(zhuǎn)移軌道的近地點(diǎn),故其初始條件為: r0=rpq0=0v0=0 w0=1rpmrp(2ra)ra+rp其中rp和ra分別為霍曼轉(zhuǎn)移段的近地點(diǎn)半徑和遠(yuǎn)地點(diǎn)半徑。其示意圖如圖1所示,其中o為月球質(zhì)心,x軸方向?yàn)橛稍滦闹赶蛑懫鞯某跏嘉恢?y軸方向?yàn)槌跏嘉恢弥懫魉俣确较颉Ｓ捎谠虑虮砻娓浇鼪]有大氣,所以在飛行器的動(dòng)力學(xué)模型中沒有大氣阻力項(xiàng)。當(dāng)著陸器運(yùn)行到近月點(diǎn)時(shí),制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)開始工作,其主要任務(wù)是抵消著陸器的初始動(dòng)能和勢(shì)能,使著陸器接觸地面時(shí),相對(duì)月面速度為零,即實(shí)現(xiàn)所謂的軟著陸,這一階段稱為動(dòng)力下降段。162。=43by根據(jù)曲率半徑公式有 r=(1+y162。)=0 (9) 將(8)、(9)兩式聯(lián)立得a2b2y2+a4x2 (10) y162。+yy162。=2 (8)by將(7)式再次對(duì)x求導(dǎo)得2a2+2b2(y162。如圖1所示,橢圓的軌跡方程為x2y2+2=1 (5) 2ba將(5)式變形為a2x2+b2y2=a2b2 (6)根據(jù)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則將(6)式對(duì)x求導(dǎo)有2a2x+2b2yy162。眾所周知,太陽系中的八大行星都在按照各自的橢圓軌道繞太陽進(jìn)行公轉(zhuǎn),太陽位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上,行星的運(yùn)動(dòng)遵循開普勒三定律,筆者發(fā)現(xiàn),在各類物理競(jìng)賽中,常會(huì)涉及到天體運(yùn)動(dòng)速度的計(jì)算,本文擬從能量和行星運(yùn)動(dòng)的軌跡方程兩個(gè)不同的角度來探索行星在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度。即近月點(diǎn)位置坐標(biāo)為(,)海拔15km,遠(yuǎn)月點(diǎn)位置坐標(biāo)為(,)海拔100km。t(T22x+Ty2)=7500Nv2=2at180。0232。m242。0231。a247。49012（）=（沿切線方向）v2=，徑向速度vk=0。R0== R0+R1利用能量平衡式求得近地點(diǎn)速度為2180。R0+R1247。 231。231。r0 R0=r1+r2 其中v1：遠(yuǎn)月點(diǎn)速度v2：近月點(diǎn)速度R0：遠(yuǎn)月點(diǎn)月心距R1：近月點(diǎn)月心距（已知月球的半徑為1738千米）R0=1738+100=1838kmR1=1738+15=1753km 在t1時(shí)刻處v2= k=2m230。R0232。= 231。m231。三、符號(hào)說明四、模型假設(shè)對(duì)于問題一：忽略月球的自傳和太陽、地球?qū)︽隙鹑?hào)衛(wèi)星的引力攝動(dòng) 月球近似為一個(gè)質(zhì)量均勻的標(biāo)準(zhǔn)球體 將嫦娥三號(hào)是為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)主減速忽略動(dòng)作調(diào)整所產(chǎn)生的燃料消耗段不考慮太陽風(fēng)的影響五、模型建立與求解 解法一： 假設(shè)嫦娥三