山西省呂梁市20xx屆高三上學(xué)期第一次摸底數(shù)學(xué)試卷理科word版含解析-文庫吧資料
2024-12-08 19:25本頁面
【正文】 三、解答題（本題共 5 小題，共 70 分） 17．設(shè)函數(shù) f（ x） = ? ，其中向量 =（ 2cosx， 1）， =（ cosx， sin2x）， x∈ R． （ 1）求 f（ x）的最小正周期； （ 2）在 △ ABC 中， a， b， c 分別是角 A， B， C 的對邊， f（ A） =2， a= ， b+c=3（ b＞ c），求 b， c 的值． 【考點】 余弦定理；平面向量數(shù)量積的運算． 【分析】 （ 1）利用平面向量的數(shù)量積運算法則列出 f（ x）解析式，利用二倍角的余弦函數(shù)公式變形后，再利用兩角和與 差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，找出 ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期； （ 2）由 f（ A） =2，以及 f（ x）解析式，求出 A的度數(shù)，利用余弦定理列出關(guān)系式，并利用完全平方公式變形后，將 cosA， a， b+c 的值代入求出 bc 的值，與 b+c=3 聯(lián)立即可確定出b 與 c 的值． 【解答】 解：（ 1） f（ x） =2cos2x+ sin2x=cos2x+ sin2x+1=2sin（ 2x+ ） +1， ∵ ω=2， ∴ T=π； （ 2）由 f（ A） =2，得到 2sin（ 2A+ ） +1=2，即 sin（ 2A+ ） = ， ∴ 2A+ = ，即 A= ， 由余弦定理得： cosA= ，即 = ， 整理得： bc=2①， 由 b+c=3②， b＞ c， 聯(lián)立 ①②，解得： b=2， c=1． 18．如圖，已知矩形 ABCD 中， AB=2 ， AD= ， M 為 DC 的中點，將 △ ADM 沿 AM折起，使得平面 ADM⊥ 平面 ABCM． （ 1）求證 AD⊥ BM．； （ 2）若 E 是線段 DB 的中點，求二面角 E﹣ AM﹣ D 的余弦值． 【考點】 二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系． 【分析】 （ 1）推導(dǎo)出 BM⊥ AM， BM⊥ 面 ADM，由此能證明 BM⊥ AD． （ 2）以 AM 中點 O 為原點， OA為 x軸， OD 為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角 E﹣ AM﹣ D 的余弦值． 【解答】 證明：（ 1） ∵ 長方形 ABCD 中， AB=2 ， AD= ， M 為 DC 的中點， ∴ AM=BM=2， ∴ BM⊥ AM， ∵ 面 ADM⊥ 面 ABCM， ∴ BM⊥ 面 ADM， ∵ AD?面 ADM， ∴ BM⊥ AD． 解：（ 2）以 AM 中點 O 為原點， OA 為 x軸， OD 為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則 A（ 1， 0， 0）， E（﹣ ， 1， ）， =（ ，﹣ 1，﹣ ）， =（﹣ 2， 0， 0）， 平面 AMD 的法向量 =（ 0， 1， 0）， 設(shè)平面 EAM 的法向量 =（ x， y， z）， 則 ，取 y=1，得 =（ 0， 1，﹣ 2）， 設(shè)二面角 E﹣ AM﹣ D 的平面角為 θ， 則 cosθ=| |= ． ∴ 二面角 E﹣ AM﹣ D 的余弦值為 ． 19．近年來我國電子商務(wù)行業(yè)迎來篷布發(fā)展的新機遇， 2021 年雙 11 期間，某購物平臺的銷售業(yè)績高達 918 億人民幣．與此同時，相關(guān)管理部門推出了針對電商的商品和服務(wù)的評價體系．現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出 200 次成功交易，并對其評價進行統(tǒng)計，對商品的好評率為 ，對服務(wù)的好評率為 ，其中對商品和服務(wù)都做出好評的交易為 80 次． （ 1）是否可以在犯錯誤概 率不超過 %的前提下，認為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)？ （ 2）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的 5 次購物中，設(shè)對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)為隨機變量 X： ①求對商品和服務(wù)全好評的次數(shù) X 的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）； ②求 X 的數(shù)學(xué)期望和方差． P（ K2≥ k） k （ ，其中 n=a+b+c+d） 【考點】 獨立 性檢驗的應(yīng)用． 【分析】 （ 1）由題意列出 2 2 列聯(lián)表，計算觀測值 K2，對照數(shù)表即可得出正確的結(jié)論； （ 2）根據(jù)題意，得出商品和服務(wù)都好評的概率，求出 X 的可能取值，計算對應(yīng)的概率值，寫出期望與方差． 【解答】 解：（ 1）由題意可得關(guān)于商品和服務(wù)評價的 2 2 列聯(lián)表為： 對服務(wù)好評 對服務(wù)不滿意 合計 對商品好評 80 40 120 對商品不滿意 70 10 80 合計 150 50 200 計算觀測值 ， 對照數(shù)表知，在犯錯誤概率不超過 %的前提下，認為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)； （ 2）每次購物時，對 商品和服務(wù)都好評的概率為 ，且 X 的取值可以是 0， 1， 2， 3， 4， 5； 其中 ； ； ； ； ； ； 所以 X 的分布列為： X 0 1 2 3 4 5 P 由于 X～ B（ 5， ）， 則 ； ． 20．已知圓心為 H的圓 x2+y2+2x﹣ 15=0 和定點 A（ 1， 0）， B 是圓上任意一點，線段 AB 的中垂線 l和直線 BH 相交于點 M，當(dāng)點 B 在圓上運動時，點 M 的軌跡記為曲線 C． （ 1）求 C 的方程； （ 2）設(shè)直線 m與曲線 C 交于 P， Q 兩點， O為坐標(biāo)原點，若 ∠ POQ=90176。 D． 90176。 B． 105176。 11．已知直線 l1： 4x﹣ 3y+6=0和直線 l2： x=﹣ 1，拋物線 y2=4x上一動點 P 到直線 l1和直線l2的距離之和的最小值是（ ） A． B． 2 C． D． 3 12．已知函數(shù) f（ x） = ，若關(guān)于 x的不等式 f（ x2﹣ 2x+2） ＜ f（ 1﹣ a2x2）的解集中有且僅有三個整數(shù)，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A． [﹣ ，﹣ ） ∪ （ ， ] B．（ ， ] C． [﹣ ，﹣ ） ∪ （ ， ] D． [﹣ ，﹣ ） ∪ （ ， ] 二、填空題（本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分） 13．已知 | |=1， | |= ，且 ⊥ （ ﹣ ），則向量 與向量 的夾角是 ． 14．（ x﹣ ） 6的展開式中常數(shù)項為 ． 15．若不等式（﹣ 1） na＜ 2+ （﹣ 1） n+1對 ? n∈ N*恒成立，則實數(shù) a 的取 值范圍是 ． 16．設(shè)實數(shù) x， y 滿足 ，則 Z=max{2x+y﹣ 1， x+2y+2}的取值范圍是 ． 三、解答題（本題共 5 小題，共 70 分） 17．設(shè)函數(shù) f（ x） = ? ，其中向量 =（ 2cosx， 1）， =（ cosx， sin2x）， x∈ R． （ 1）求 f（ x）的最小正周期； （ 2）在 △ ABC 中， a， b， c 分別是角 A， B， C 的對邊， f（ A） =2， a=
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