山西省呂梁市20xx屆高三上學(xué)期第一次摸底數(shù)學(xué)試卷（理科） word版含解析(文件)
【正文】 C． [﹣ ，﹣ ） ∪ （ ， ] D． [﹣ ，﹣ ） ∪ （ ， ] 【考點(diǎn)】 根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷． 【分析】 函數(shù) f（ x）的圖象關(guān)于直線 x=1 對(duì)稱，且當(dāng) x＞ 1 時(shí)，函數(shù)遞增，所以不等式 f（ x2﹣ 2x+2） ＜ f（ 1﹣ a2x2）可化為：（ a2﹣ 1） x2+2x﹣ 1＞ 0，分 a＜ 0 和 a＞ 0 兩種情況，可得滿足條件的實(shí)數(shù) a 的取值范圍． 【解答】 解：由解析式得：函數(shù) f（ x）的圖象關(guān)于直線 x=1 對(duì)稱，且當(dāng) x＞ 1 時(shí)，函數(shù)遞增， 所以不等式 f（ x2﹣ 2x+2） ＜ f（ 1﹣ a2x2）可化為： |x2﹣ 2x+2﹣ 1|＜ |1﹣ a2x2﹣ 1|， 即 x2﹣ 2x+1＜ a2x2，即（ a2﹣ 1） x2+2x﹣ 1＞ 0， 若原不等式的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)， 則 a＜ 0 時(shí)，（ ， ）有且僅有三個(gè)整數(shù)，解得： a∈ [﹣ ，﹣ ）， a＞ 0 時(shí)，（ ， ）有且僅有三個(gè)整數(shù)，解得： a∈ （ ， ]， 綜上可得： x∈ [﹣ ，﹣ ） ∪ （ ， ]， 故選： A 二、填空題（本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分） 13．已知 | |=1， | |= ，且 ⊥ （ ﹣ ），則向量 與向量 的夾角是 ． 【考點(diǎn)】 數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角． 【分 析】 由條件利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)、兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義求得 cosθ的值，可得向量 與向量 的夾角 θ的值． 【解答】 解：設(shè)向量 與向量 的夾角是 θ，則由題意可得 ?（ ﹣ ） = ﹣ =1﹣ 1 cosθ=0， 求得 cosθ= ，可得 θ= ， 故答案為： ． 14．（ x﹣ ） 6的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 ﹣ ． 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)． 【分析】 利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出二項(xiàng)展開式的第 r+1 項(xiàng)，令 x的指數(shù)為 0 得常數(shù)項(xiàng)． 【解答】 解：展開式的通項(xiàng)公式為 Tr+1=（﹣ ） rC6rx6﹣ 2r， 令 6﹣ 2r=0 得 r=3， 得常數(shù)項(xiàng)為 C63（﹣ ） 3=﹣ ． 故答案為：﹣ ． 15．若不等式（﹣ 1） na＜ 2+ （﹣ 1） n+1對(duì) ? n∈ N*恒成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 [﹣ 2，] ． 【考點(diǎn)】 函數(shù)恒成立問題． 【分析】 若 n 為正奇數(shù)，﹣ a＜ 2+ 恒成立 ?﹣ a＜ （ 2+ ） min，可解得： a≥ ﹣ 2；若 n 為正偶數(shù)， a＜ 2﹣ 恒成立 ?﹣ a＜ （ 2﹣ ） min，利用函數(shù)的單調(diào)性可得 a≤ ．從而可得答案． 【解答】 解：若 n 為正奇數(shù)，則﹣ a＜ 2+ 恒成立 ?﹣ a＜ （ 2+ ） min，由于 y=2+ 為減函數(shù)，當(dāng) n→+∞時(shí)， y→0，故﹣ a≤ 2，解得： a≥ ﹣ 2； 若 n 為正偶數(shù)，則 a＜ 2﹣ 恒成立 ?﹣ a＜ （ 2﹣ ） min，由于 y=2﹣ 為增函數(shù)，當(dāng) n=2時(shí)， y=2﹣ 取得最小值（ 2﹣ ） = ，故 a≤ ． 因?yàn)椴坏仁剑ī?1） na＜ 2+ （﹣ 1） n+1對(duì) ? n∈ N*恒成立， 所以，﹣ 2≤ a≤ ． 故答案為： [﹣ 2， ]． 16．設(shè)實(shí)數(shù) x， y 滿足 ，則 Z=max{2x+y﹣ 1， x+2y+2}的取值范圍是 [﹣ 1，5] ． 【考點(diǎn)】 簡單線性規(guī)劃． 【分析】 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用作差法求出 z 的表達(dá)式，然后根據(jù)平移，根據(jù)數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論． 【 解答】 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖： 2x+y﹣ 1﹣（ x+2y+2） =x﹣ y﹣ 3， 即 z=max{2x+y﹣ 1，x+2y+2}= 其中直線 x﹣ y﹣ 3=0 過 C 點(diǎn)． 在直線 x﹣ y﹣ 3=0 的上方，平移直線 z=2x+y﹣ 1（紅線），當(dāng)直線 z=2x+y﹣ 1 經(jīng)過點(diǎn) B（ 2，2）時(shí)， 直線 z=2x+y﹣ 1 的截距最大， 此時(shí) z 取得最大值為 z=2 2+2﹣ 1=5． 可行域沒有在直線 x+y﹣ 3=0的下方的，平移直線 z=x+2y+2，當(dāng)直線 z=2x+y﹣ 1經(jīng)過點(diǎn) O（ 0，0）時(shí)， 直線 z=2x+y﹣ 1 的截距最小， 此時(shí) z 取 得最小值為 z=﹣ 1． 即﹣ 1≤ z≤ 5， 故答案為： [﹣ 1， 5]． 三、解答題（本題共 5 小題，共 70 分） 17．設(shè)函數(shù) f（ x） = ? ，其中向量 =（ 2cosx， 1）， =（ cosx， sin2x）， x∈ R． （ 1）求 f（ x）的最小正周期； （ 2）在 △ ABC 中， a， b， c 分別是角 A， B， C 的對(duì)邊， f（ A） =2， a= ， b+c=3（ b＞ c），求 b， c 的值． 【考點(diǎn)】 余弦定理；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 【分析】 （ 1）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出 f（ x）解析式，利用二倍角的余弦函數(shù)公式變形后，再利用兩角和與 差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出 ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期； （ 2）由 f（ A） =2，以及 f（ x）解析式，求出 A的度數(shù)，利用余弦定理列出關(guān)系式，并利用完全平方公式變形后，將 cosA， a， b+c 的值代入求出 bc 的值，與 b+c=3 聯(lián)立即可確定出b 與 c 的值． 【解答】 解：（ 1） f（ x） =2cos2x+ sin2x=cos2x+ sin2x+1=2sin（ 2x+ ） +1， ∵ ω=2， ∴ T=π； （ 2）由 f（ A） =2，得到 2sin（ 2A+ ） +1=2，即 sin（ 2A+ ） = ， ∴ 2A+ = ，即 A= ， 由余弦定理得： cosA= ，即 = ， 整理得： bc=2①， 由 b+c=3②， b＞ c， 聯(lián)立 ①②，解得： b=2， c=1． 18．如圖，已知矩形 ABCD 中， AB=2 ， AD= ， M 為 DC 的中點(diǎn)，將 △ ADM 沿 AM折起，使得平面 ADM⊥ 平面 ABCM． （ 1）求證 AD⊥ BM．； （ 2）若 E 是線段 DB 的中點(diǎn)，求二面角 E﹣ AM﹣ D 的余弦值． 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系． 【分析】 （ 1）推導(dǎo)出 BM⊥ AM， BM⊥ 面 ADM，由此能證明 BM⊥ AD． （ 2）以 AM 中點(diǎn) O 為原點(diǎn)， OA為 x軸， OD 為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角 E﹣ AM﹣ D 的余弦值． 【解答】 證明：（ 1） ∵ 長方形 ABCD 中， AB=2 ， AD= ， M 為 DC 的中點(diǎn)， ∴ AM=BM=2， ∴ BM⊥ AM， ∵ 面 ADM⊥ 面 ABCM， ∴ BM⊥ 面 ADM， ∵ AD?面 ADM， ∴ BM⊥ AD． 解：（ 2）以 AM 中點(diǎn) O 為
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