20xx年四川省名校聯(lián)考高考數(shù)學(xué)一模試卷理科word版含解析-文庫吧資料
2024-12-06 05:04本頁面
【正文】 ， ∴ ， ∴ AM⊥ EC， AM⊥ BC， 又 EC∩ BC=C， ∴ AM⊥ 平面 EBC． … （ 2）設(shè)平面 EAB 的法向量為 ，則 ， ∴ ，取 y=﹣ 1，則 x=1，則 =（ 1，﹣ 1， 0）， … 又 ∵ 為平面 EBC 的一個法向量， ∴ cos＜ ＞ = =﹣ ， 設(shè)二面角 A﹣ EB﹣ C 的平面角為 θ，則 cosθ=|cos＜ ＞ |= ， ∴ θ=60176。． 三、解答題（本大題共 5小題，共 70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．） 17． Sn 為數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和，已知 Sn+1=λSn+1（ λ 是大于 0 的常數(shù)），且 a1=1，a3=4． （ Ⅰ ）求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式； （ Ⅱ ）設(shè) bn=nan，求數(shù)列 {bn}的前 n 項(xiàng)和． 【考點(diǎn)】 數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和． 【分析】 （ Ⅰ ）由已知數(shù)列遞推式可得當(dāng) n≥ 2 時， Sn=λSn﹣ 1+1．與原遞推式作差可得 an+1=λan，即 n≥ 2 時 ．驗(yàn)證 a2=λa1，可得數(shù)列 {an}是 等比數(shù)列．結(jié)合已知求得 λ 值，則數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式可求； （ Ⅱ ）把（ Ⅰ ）中求得的通項(xiàng)公式代入 bn=nan，整理后利用錯位相減法求數(shù)列 {bn}的前 n 項(xiàng)和． 【解答】 解：（ Ⅰ ）由 Sn+1=λSn+1 可知 當(dāng) n≥ 2 時， Sn=λSn﹣ 1+1． 作差可得 an+1=λan，即 n≥ 2 時 ． 又 a1=1，故 a2=λa1． ∴ 數(shù)列 {an}是等比數(shù)列． 由于 a3=a1λ2=4， λ＞ 0，解得 λ=2． 數(shù) {an}的通項(xiàng)公式為： ； （ Ⅱ ）由 ，可知 ． 設(shè)數(shù)列 {bn}前 n 項(xiàng)和為 Tn， 則 ， ① ， ② ① ﹣ ② 得： = =2n﹣ 1﹣ n?2n． ∴ ． 18．某批發(fā)市場對某種商品的周銷售量（單位：噸）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，最近 100 周的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示： 周銷售量 2 3 4 頻數(shù) 20 50 30 （ 1）根據(jù)上面統(tǒng)計(jì)結(jié)果，求周銷售量分別為 2 噸， 3 噸和 4 噸的頻率； （ 2）已知每噸該商品的銷售利潤為 2 千元， ξ 表示該種商品兩周銷售利潤的和（單位：千元），若以上述頻率作為概率，且各周的銷售量相互獨(dú)立，求 ξ 的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；頻率分布表． 【分析】 （ 1）因?yàn)闃颖救萘渴?100，根據(jù)表格可知周銷售量為 2 噸， 3 噸和 4 噸的頻數(shù)，根據(jù)所給的頻數(shù)除以 100，得到要求的頻率． （ 2） ξ 表示該種商品兩周銷售利潤的和，且各周的銷售量相互獨(dú)立，根據(jù)表格得到變量 ξ 的可能取值，對應(yīng)變量的事件，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率做出分布列和期望． 【解答】 解：（ 1）根據(jù)表格可知周銷售量為 2 噸， 3 噸和 4 噸的頻率分別為 =， = 和 =． （ 2） ξ 的可能值為 8， 10， 12， 14， 16，且 P（ ξ=8） ==， P（ ξ=10） =2 =， P（ ξ=12） =+2 =， P（ ξ=14） =2 =， P（ ξ=16） ==． ∴ ξ 的分布列為 ξ 8 10 12 14 16 P ∴ Eξ=8 +10 +12 +14 +16 =（千元） 19．如圖，正方形 ACDE 所在的平面與平面 ABC 垂直， M 是 CE 和 AD 的交點(diǎn)，AC⊥ BC，且 AC=BC． （ Ⅰ ）求證： AM⊥ 平面 EBC； （ Ⅱ ）求二面角 A﹣ EB﹣ C 的大小． 【考點(diǎn)】 用空間向量求平面間的夾角；直線與 平面垂直的判定． 【分析】 幾何法： （ Ⅰ ）由已知得 AM⊥ EC， AC⊥ BC，由此能證明 AM⊥ 平面 EBC． （ Ⅱ ）過 A 作 AH⊥ EB 于 H，連結(jié) HM，由已知得 ∠ AHM 是二面角 A﹣ EB﹣ C的平面角，由此能求出二面角 A﹣ EB﹣ C 的大小． 向量法： （ Ⅰ ）以點(diǎn) A 為原點(diǎn)，以過 A 點(diǎn)平行于 BC 的直線為 x 軸，分別以直線 AC 和AE 為 y 軸和 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系 A﹣ xyz，利用向量法能證明 AM⊥ 平面EBC． （ 2）求出平面 EAB 的法向量和平面 EBC 的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣ EB﹣ C 的大?。? 【解答】 （本小題滿分 12 分） 幾何法： （ Ⅰ ）證明： ∵ 四邊形 ACDE 是正方形， ∴ AM⊥ EC， 又 ∵ 平面 ACDE⊥ 平面 ABC， ∴ AC⊥ BC， ∴ BC⊥ 平面 EAC， … ∵ BC?平面 EAC， ∴ BC⊥ AM， 又 ∵ EC∩ BC=C， ∴ AM⊥ 平面 EBC． … （ Ⅱ ）解：過 A 作 AH⊥ EB 于 H，連結(jié) HM， ∵ AM⊥ 平面 EBC， ∴ AM⊥ EB， ∴ EB⊥ 平面 AHM， ∴∠ AHM 是二面角 A﹣ EB﹣ C 的平面角， … ∵ 平面 ACDE⊥ 平面 ABC， ∴ EA⊥ 平面 ABC， ∴ EA⊥ AB， 在 Rt△ EAB 中， AH⊥ EB，有 AE?AB=EB?AH， 設(shè) EA=AC=BC=2a，得， AB=2 a， EB=2 a， ∴ = ， ∴ sin = ， ∴∠ AHM=60176。 ． 【考點(diǎn)】 余弦定理． 【分析】 根據(jù)條件可得 b= ， c= ，顯然 c＞ b，假設(shè) c= ＞ a，解得 a＜ 1 或 a＞ 3，剛好符合，故最大邊為 c，由余弦定理求得 cosC 的值，即可得到 C 的值． 【解答】 解：把 a2﹣ a﹣ 2b﹣ 2c=0 和 a+2b﹣ 2c+3=0 聯(lián)立可得， b= ，c= ，顯然 c＞ b． 比較 c 與 a 的大?。? 因?yàn)?b= ＞ 0，解得 a＞ 3，（ a＜ ﹣ 1 的情況很明顯為負(fù)數(shù)舍棄了） 假設(shè) c= ＞ a，解得 a＜ 1 或 a＞ 3，剛好符合， 所以 c＞ a，所以最大邊為 c． 由余弦定理可得 c2=a2+b2﹣ 2ab?cosC， 即 （ ） 2=a2+[ ]2﹣ 2a cosC， 解得 cosC=﹣ ， ∴ C=120176。＞ 0，當(dāng) m∈ （ 1， +∞ ）時， t39。= [﹣ em+（ 2﹣ m） em+e﹣ m﹣ me﹣ m]，令 t39。 D． 60176?；?60176?；?30176。（ 2） ＜ f39。（ 3） ＜ f（ 3）﹣ f（ 2） ＜ f39。（ 3）
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