北師大版高中數(shù)學(xué)必修522三角形中的幾何計(jì)算-文庫吧資料
2024-11-26 13:31本頁面
【正文】 ， b ＝ 2 代入余弦定理得 a2＝ b2＋ c2－ 2 bc c os A ， 整理得 c2－ 4 c c os A ＋ 3 ＝ 0 ， 因?yàn)殛P(guān)于 c 的方程有實(shí)數(shù)解，所以 △ ＝ 16c o s2A －12 ≥ 0 ，即 c os A ≥32，或 c os A ≤ －32. 但由于 a b ，所以 A 為銳角，只有 c os A ≥32， 故 A 的取值范圍是 (0 ，π6] ． ? 三角形問題中，常涉及求邊、求角及求面積等幾個(gè)問題，這時(shí)正、余弦定理作為解題的工具就發(fā)揮了巨大的作用，在涉及變量取值范圍或最值問題時(shí)，常常用到函數(shù)等數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)，在學(xué)習(xí)過程中需慢慢體會(huì)，靈活掌握． [ 例 4] 如圖所示，若 ACB 是半徑為 r的圓的弓形，弦 AB 長(zhǎng)為 2 r ， C 為劣弧 AB 上一點(diǎn)， CD ⊥ AB 于 D ，當(dāng) C 點(diǎn)在什么位置時(shí)，△ ACD 的面積最大？并求這個(gè)面積． 解析： ∵ OA ＝ OB ＝ r ， AB ＝ 2 r ， ∴∠ AO B ＝ 90176。 BC － AB22 AC AC ＝13. 由余弦定理，得 c os C ＝AC2＋ BC2－ AB22 AC 浙江 ) 已知 △ ABC 的周長(zhǎng)為 2 ＋ 1 ，且 sin A ＋ sin B ＝ 2 sin C . ( 1) 求邊 AB 的長(zhǎng)； ( 2) 若 △ ABC 的面積為16sin C ，求角 C 的度數(shù)． ? 分析： 根據(jù)條件可知，要想求邊，則必須將角的關(guān)系用正弦定理化為邊的關(guān)系來處理，求角則一般考慮余弦定理． 解析： (1) 由題意及正弦定理，得 AB ＋ BC ＋ AC ＝ 2 ＋ 1 ， BC ＋ AC ＝ 2 AB ，兩式相減，得 AB ＝ 1. (2) 由 △ ABC 的面積12BC AB c os ∠ DA B ＝ 52＋ 42－ 2 5 4 c os60176。 ，AB＝ 4， AD＝ 5，求 AC的長(zhǎng)． ? 分析： 由 ∠ ABC＝ ∠ ADC＝ 90176。 ， ? ∴ x2－ 10x－ 96＝ 0， ? ∴ x1＝ 16， x2＝－ 6(舍去 )，即 BD＝ 16. ? 在 △ BDC中，由正弦定理，得 ? [變式訓(xùn)練 2] 如圖，在四邊形 ABCD中，∠ ABC＝ ∠ ADC＝ 90176。 ，求 BC的長(zhǎng)． ? 分析： 在△ ABD中，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，用正弦定理可求出另一邊的對(duì)角，但得不到其與△ BCD的聯(lián)系，可再考慮用余弦定理求出 BD，其恰好是兩個(gè)三角形的公共邊，這樣可在△ BCD中應(yīng)用正弦定理求 BC. ? 解析： 在 △ BAD中，由余弦定理，得 ? AB2＝ BD2＋ AD2－ 2BD sin ∠ ADBsin A＝3 22a . ∴ AB 的長(zhǎng)度為3 22a . ? [例 2] 如圖，已知在四邊形ABCD中， AD⊥ CD， AD＝ 10，AB＝ 14， ∠ BDA＝ 60176。 ， ∠ ADB ＝ 120176。 ＝ 3a2. ∴ BD ＝ 3 a ，此時(shí) BC2＋ BD2＝ CD2， ∴△ C BD 為直角三角形， ∴∠ C BD ＝ 90176。CDcosC ? ＝ a2＋ 4a2－ 2a ，∠ ADC＝ 150176。 ， ∠ ABC＝ 105176。 ，解得 x＝ 15176。 BC 2 63 ED ， B＝ C＝ 30176。 ，從而 B＝－30176。 . ? 當(dāng) C＝ 150176。 ， ∴ A＝ 12017
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