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北師大版高中數(shù)學(xué)必修523解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例之二-文庫吧資料

2024-11-26 13:30本頁面
  

【正文】 176。 - 60176。 ,在山頂 C測(cè)得塔頂 A的俯角為45176。 sin60176。 - 4 θ ?. ∵ sin4 θ = 2sin2 θ c os2 θ ,所以 c os2 θ =32, ∴ θ = 15 176。 = 5. ∴ AB = 5 . ∴ 兩目標(biāo) A , B 之間的距離為 5 km. ? 測(cè)量高度是在與地面垂直的豎直平面內(nèi)構(gòu)造三角形,再依條件結(jié)合正弦定理和余弦定理來解.解決測(cè)量高度的問題時(shí),常出現(xiàn)仰角與俯角的問題,要搞清它們的區(qū)別及聯(lián)系.俯角是指從高處看向低處所形成的角;仰角是指從低處向高處看所成的角.測(cè)量底部不能到達(dá)的建筑物的高度問題,一般是轉(zhuǎn)化為直角三角形模型,但在某些情況下,仍需根據(jù)正、余弦定理解決. ? [例 2] 在塔底的水平面上某點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?θ,由此點(diǎn)向塔底沿直線走 30 m,測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?2θ,再向前走 10 m,測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?4θ,求塔高. ? 解析: 解法 1:作出圖形,由已知在△ ACD中, AC= BC= 30, AD= CD= ∠ ADC= 180176。 BC sin60176。 )= 60176。 + 30176。 . ∴ AC = CD = 3 . 在 △ BD C 中, ∠ CBD = 180176。 , ∠ ACD = 120176。 , ∠ ADB= 45176。 , ∠ BCD= 45176。=ADsin α, ∴ AD =21 sin αsin60176。 - sin60176。 CD =202+ 212- 3122 20 21=-17, ∴ sin β =4 37. 而 sin α = sin( β - 60176。 ,在 C處測(cè)得公路上 B處有一人距 C為 31千米正沿公路向城 A走去,走了 20千米后到達(dá) D處,此時(shí) CD間的距離為 21千米,問這人還要走多少千米可到達(dá)城 A? ? 分析: 本題為解斜三角形的應(yīng)用問題,要求這人還要走多少路可到達(dá)城 A,也就是要求 AD的長.在 △ ACD中,已知 CD= 21千米, ∠ CAD= 60176。 . ? ⑤ 坡角:坡面與水平面的夾角,如圖中的 α. ? ⑥ 坡度:是指坡面的鉛垂高度 h與水平寬度 l的比 i= = tanα(α越大,坡面越陡 ),如圖所示. ? 如果將正弦定理、余弦定理看成幾個(gè) “ 方程 ” 的話,那么解三角形應(yīng)用題的實(shí)質(zhì)就是把未知量按方程的思想進(jìn)行處理,解題時(shí)應(yīng)根據(jù)已知量與未知量,合理選擇一個(gè)比較容易的方程,從而使解題過程簡捷.另外對(duì)實(shí)際問題的解,要注意題目中給出的精確度,合理地選取近似值. ? ③ 運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決幾何計(jì)算問題時(shí),要善于抓住條件、待求式子的特點(diǎn),恰當(dāng)?shù)剡x擇定理.運(yùn)用正弦定理,一般是將邊轉(zhuǎn)化為角,而條件中若給出三邊的關(guān)系,往往考慮用余弦定理求角. ? (4)解三角形應(yīng)用題,主要應(yīng)用正弦定理和余弦定理,有時(shí)也會(huì)用到周長和面積公式,因此還需熟悉兩角和差的正弦、余弦、正切及二倍角公式.因此在解三角形時(shí),要注意把平面幾何中的性質(zhì)與正、余弦定理結(jié)合起來,善于發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件,才能順利地解決問題. ? 2.?dāng)?shù)學(xué)建模和運(yùn)算問題 ? (1)解三角形應(yīng)用問題時(shí),通常都是根據(jù)題意,從實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形,然后通過解這些三角形,得出三角形的邊、角的大小,從而得出實(shí)際問題的解,這就是數(shù)學(xué)建模思想,即從實(shí)際問題出發(fā),經(jīng)過抽象概括,把它轉(zhuǎn)化為具體問題中的數(shù)學(xué)模型,然后經(jīng)過推理演算,得出數(shù)學(xué)模型的解,再還原成實(shí)際問題的解. ? (2)① 數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用題在近幾年高考命題中所占份量越來越重,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值,注重?cái)?shù)學(xué)建模能力的考查,促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),提高實(shí)踐能力. ? ② 解應(yīng)用題時(shí),首先要通過逐字逐句閱讀原題,弄清題意,知道哪些是已知量,需要求什么?需要用什么知識(shí)溝通已知量與未知量的關(guān)系?因此也就知道建立什么數(shù)學(xué)模型了. ? ③ 解三角形應(yīng)用題中,由于具體問題中給出的數(shù)據(jù)通常為有效近似值,故運(yùn)算過程一般較為復(fù)雜,可以借助計(jì)算器進(jìn)行運(yùn)算,當(dāng)然還應(yīng)注意做到算法簡練、算式工整,計(jì)算準(zhǔn)確 . ? 在觀察實(shí)驗(yàn)和日常生活以及建筑設(shè)計(jì)中,少不了遇到測(cè)量距離的遠(yuǎn)近等問題,如測(cè)量兩河岸之間的距離,測(cè)量航行中海上兩個(gè)島嶼之間的距離等,這些問題的解決都可利用正、余弦定理解三角形來實(shí)現(xiàn).同時(shí)借助正、余弦定理還可以進(jìn)一步解決一些有關(guān)三角形的計(jì)算問題. ? 解三角形應(yīng)用題的一般步驟是: (1)準(zhǔn)確理解題意,分析題意,分清已知和所求,特別要理解題中的有關(guān)名詞、術(shù)語; (2)根據(jù)題意畫出示意圖; (3)將需要求解的問題歸納為數(shù)學(xué)問題,即歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中,合理地運(yùn)用正、余弦定理求解. ? [例 1] 某觀測(cè)站 C在城 A的南偏西 20176。 . ? ④ 方向角:從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角,如南偏西 60176。 ? 一、知識(shí)點(diǎn)問題 ? 正弦定理: ① ________. ? 余弦定理: a2= ② ________, b2= ③________, c2= ④ ________. ? 面積公式: S= ⑤ ________= ⑥ ________= ⑦ ________. ? 二、實(shí)際應(yīng)用問題中有關(guān)的名稱、術(shù)語 ? 1.仰角和俯角:與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角,目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角,如右圖所示. ? 2.方位角:從指北方向線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角. ? 3.坡度與坡角:把坡面的鉛直高度 h與水平寬度 l的比叫做坡度
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