北師大版高中數(shù)學(xué)必修523解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例之二-wenkub
2022-11-29 13:30:58 本頁面
【正文】 ＋3217＝5 314. 在 △ ACD 中，21sin60176。 ，只需再求出一個(gè)量即可． 解析： 如圖，設(shè) ∠ ACD ＝ α ， ∠ C DB ＝ β . 在 △ C BD 中，由余弦定理，得 c os β ＝BD2＋ CD2－ CB22 BD ，指從正南方向?yàn)槭歼?，順時(shí)針方向向西旋轉(zhuǎn) 60176。 ? 一、知識點(diǎn)問題 ? 正弦定理： ① ________. ? 余弦定理： a2＝ ② ________， b2＝ ③________， c2＝ ④ ________. ? 面積公式： S＝ ⑤ ________＝ ⑥ ________＝ ⑦ ________. ? 二、實(shí)際應(yīng)用問題中有關(guān)的名稱、術(shù)語 ? 1．仰角和俯角：與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角，如右圖所示． ? 2．方位角：從指北方向線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角． ? 3．坡度與坡角：把坡面的鉛直高度 h與水平寬度 l的比叫做坡度；坡面與水平面的夾角叫做坡角． ? 三、解斜三角形應(yīng)用題的步驟 ? 1．審題：弄清題意，分清已知與所求，準(zhǔn)確理解應(yīng)用題中的有關(guān)名稱和術(shù)語，如仰角、俯角、方位角等； ? 2．畫圖：將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號語言； ? 3．建模：將要求解的問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型； ? 4．求模：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論．演算過程要算法簡練，計(jì)算準(zhǔn)確； ? 5．還原：把用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論，還原為實(shí)際問題的意義作答． 答案： ①asin A＝bsin B＝csin C＝ 2 R ② b2＋ c2－ 2 bc c os A ③ c2＋ a2－ 2 ca c os B ④ a2＋ b2－ 2 ab c os C ⑤12ab sin C ⑥12bc sin A ⑦12ca sin B ? ? 運(yùn)用正弦定理、余弦定理解三角形應(yīng)用問題，通常都是根據(jù)題意，從實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過這些三角形，得到所要求的量，從而得到實(shí)際問題的解． ? (1)解三角形在實(shí)際應(yīng)用中非常廣泛，如測量、航海、幾何、物理等方面都要用到解三角形的知識．解三角形應(yīng)用題時(shí)，通常都要根據(jù)題意，從實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過解這些三角形，得出三角形的邊、角的大小，從而得出實(shí)際問題的解．這種數(shù)學(xué)建模思想，從實(shí)際問題出發(fā)，經(jīng)過抽象概括，把它轉(zhuǎn)化為具體問題中的數(shù)學(xué)模型，然后通過推理演算，得出數(shù)學(xué)模型的解，再還原成實(shí)際問題的解，用流程圖可表示如下： ? 其解題的一般步驟： ? ① 分析題意，準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如坡度、仰角、視角、方位角等； ? ② 根據(jù)題意，畫出示意圖； ? ③ 將需求解的問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識正確求解．演算過程中，要注意算法簡練、正確計(jì)算并作答； ? ④ 檢驗(yàn)解出的答案是否具有實(shí)際意義，對解進(jìn)行取舍．其基本思路是： ? (2)對有關(guān)名稱、術(shù)語的理解．在解決三角形應(yīng)用題時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)一些有關(guān)的名稱與術(shù)語，如仰角、俯角、方位角、垂直的平面等，要正確理解． ? ① 垂直平面是指與海平面垂直的平面． ? ② 仰角與俯角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線與水平線的夾角，當(dāng)視線在水平線之上時(shí)，稱為仰角，當(dāng)視線在水平線之下時(shí)，稱為俯角，如下左圖所示． ? ③ 方位角：從指北方向線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如方位角是 60176。 . ? ⑤ 坡角：坡面與水平面的夾角，如圖中的 α. ? ⑥ 坡度：是指坡面的鉛垂高度 h與水平寬度 l的比 i＝ ＝ tanα(α越大，坡面越陡 )，如圖所示． ? 如果將正弦定理、余弦定理看成幾個(gè) “ 方程 ” 的話，那么解三角形應(yīng)用題的實(shí)質(zhì)就是把未知量按方程的思想進(jìn)行處理，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)已知量與未知量，合理選擇一個(gè)比較容易的方程，從而使解題過程簡捷．另外對實(shí)際問題的解，要注意題目中給出的精確度，合理地選取近似值． ? ③ 運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決幾何計(jì)算問題時(shí)，要善于抓住條件、待求式子的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)剡x擇定理．運(yùn)用正弦定理，一般是將邊轉(zhuǎn)化為角，而條件中若給出三邊的關(guān)系，往往考慮用余弦定理求角． ? (4)解三角形應(yīng)用題，主要應(yīng)用正弦定理和余弦定理，有時(shí)也會(huì)用到周長和面積公式，因此還需熟悉兩角和差的正弦、余弦、正切及二倍角公式．因此在解三角形時(shí)，要注意把平面幾何中的性質(zhì)與正、余弦定理結(jié)合起來，善于發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件，才能順利地解決問題． ? 2．?dāng)?shù)學(xué)建模和運(yùn)算問題 ? (1)解三角形應(yīng)用問題時(shí)，通常都是根據(jù)題意，從實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過解這些三角形，得出三角形的邊、角的大小，從而得出實(shí)際問題的解，這就是數(shù)學(xué)建模思想，即從實(shí)際問題出發(fā)，經(jīng)過抽象概括，把它轉(zhuǎn)化為具體問題中的數(shù)學(xué)模型，然后經(jīng)過推理演算，得出數(shù)學(xué)模型的解，再還原成實(shí)際問題的解． ? (2)① 數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用題在近幾年高考命題中所占份量越來越重，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，注重?cái)?shù)學(xué)建模能力的考查，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高實(shí)踐能力． ? ② 解應(yīng)用題時(shí)，首先要通過逐字逐句閱讀原題，弄清題意，知道哪些是已知量，需要求什么？需要用什么知識溝通已知量與未知量的關(guān)系？因此也就知道建立什么數(shù)學(xué)模型了． ?
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