高中數(shù)學(xué)421第2課時(shí)直線與圓的位置關(guān)系課件新人教a版必修2-文庫(kù)吧資料
2024-11-25 19:03本頁(yè)面
【正文】 4 ．如何求圓的弦長(zhǎng)？ 與圓有關(guān)的切線問(wèn)題 [ 例 1] 自點(diǎn) P ( － 6,7) 發(fā)出的光線 l 射到 x 軸上的點(diǎn) A處，被 x 軸反射，其反射光線所在直線與圓 x2＋ y2－ 8 x －6 y ＋ 21 ＝ 0 相切于點(diǎn) Q .求光線 l 所在直線方程． [ 解 ] 如圖，作圓 x2＋ y2－ 8 x － 6 y ＋ 21 ＝ 0 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱圓 x2＋ y2－ 8 x ＋ 6 y ＋ 21 ＝ 0 ，由幾何光學(xué)原理，知直 線 l 與圓 x2＋ y2－ 8 x ＋ 6 y ＋ 21 ＝ 0 相切． 由于 l 的斜率必存在，故可設(shè)直線 l ： y － 7 ＝ k ( x ＋ 6) ，即 kx－ y ＋ 6 k ＋ 7 ＝ 0. 由圓 x2＋ y2－ 8 x ＋ 6 y ＋ 21 ＝ 0 的圓心 (4 ，－ 3) 到直線 l 的距離等于半徑，知 |4 k ＋ 3 ＋ 6 k ＋ 7|k2＋ 1＝10| k ＋ 1|k2＋ 1＝ 2 ，解得 k ＝－34或 k ＝－43， 故光線 l 所在直線的方程為 3 x ＋ 4 y － 10 ＝ 0 或 4 x ＋ 3 y ＋ 3 ＝ 0. [ 類題通法 ] 過(guò)已知圓外一點(diǎn)求切線的方程一般有三種方法： ( 1) 設(shè)切線斜率，用判別式法； ( 2) 設(shè)切線斜率，用圓心到直線的距離等于半徑長(zhǎng)； ( 3) 設(shè)切點(diǎn) ( x 0 ， y 0 ) ，用切線公式法． [ 活學(xué)活用 ] 1 ．已知圓 C ： ( x － 2)2＋ ( y － 1)2＝ 1. 求： ( 1) 過(guò) A ( 3,4) 的圓 C 的切線方程； ( 2) 在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的圓 C 的切線方程． 解： ( 1) 當(dāng)所求直線的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò) A ( 3,4) 的直線方程為 y－ 4 ＝ k ( x － 3) ，即 kx － y ＋ 4 － 3 k ＝ 0 ， 由|2 k － 1 ＋ 4 － 3 k |1 ＋ k2＝ 1 ，得 k ＝43. 所以切線方程為 y － 4 ＝43( x － 3) ，即 4 x － 3 y ＝ 0. 當(dāng)所求直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為 x ＝ 3 ，也符合題意． 故所求直線方程為 4 x － 3 y ＝ 0 或 x ＝ 3. ( 2) 設(shè)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為xa＋ya＝ 1 或 y ＝kx ， 于是由圓心 ( 2,1) 到切線距離為 1 ，得|3 － a |2＝ 1 或|2 k － 1|1 ＋ k2＝ 1. 解得 a ＝ 3177。 2 ， k ＝ 0 或 k ＝43. 故所求切線方程為 x ＋ y ＝ 3177。2 33. 在平面直角坐標(biāo)系中作出圖象，如圖所示，其中 l2： y ＝－33x＋2 33， l3： y ＝－33x －2 33. 過(guò)原點(diǎn)作直線 l0： y ＝－33
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