【正文】 p解釋為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上升的概率，于是 1p就是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格下降的概率，則標(biāo)的資產(chǎn)在 T時(shí)刻的預(yù)期值由下式給出 ( ) ( 1 )TE S pu S p dS? ? ?( ) ( )TS p u d S dS? ? ?再將（ ）式中的 p代入上式，化簡(jiǎn)得 ()() r T tTE S Se ???2023/3/9 （ ）式的 p就是的風(fēng)險(xiǎn)中性概率，而（ ）式可以表述為：在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里，期權(quán)的價(jià)值就是其未來預(yù)期值按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的值。另外，還可以看出， 只與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的上漲或下跌幅度有關(guān)，而與某一時(shí)刻標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的大小無關(guān)。 ChS ? uChuS ? dhdS2023/3/9 因?yàn)樵撏顿Y組合為無風(fēng)險(xiǎn)投資組合。 建立組合的初始成本是購(gòu)買股票的成本 hS減去賣出期權(quán)收到的期權(quán)費(fèi)Ｃ，即 。 其中 h為套期保值比率，其大小是要保證該投資組合成為一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)的投資組合。如圖 。這里 u d1， 如圖 。在期權(quán)到期日，組合的價(jià)值總是 =。因?yàn)榻M合為無風(fēng)險(xiǎn)證券組合，到期日的價(jià)值是確定的。 根據(jù)假設(shè)， 3個(gè)月后市場(chǎng)只會(huì)出現(xiàn)兩種可能結(jié)果：股票價(jià)格要么上升到 22元要么下降到 18元。如圖 2023/3/9 圖 股票價(jià)格與期權(quán)價(jià)格變動(dòng)示意圖 18 20 22 C 1 0 在無套利假設(shè)下，二叉樹期權(quán)定價(jià)法的基本思路是：首先，以某種方式構(gòu)造一個(gè)只包含股票和期權(quán)的無風(fēng)險(xiǎn)證券組合；其次，根據(jù)到期日的股票和期權(quán)價(jià)格得出組合的價(jià)值；再次，利用無風(fēng)險(xiǎn)組合的收益率只能是無風(fēng)險(xiǎn)收益率，得出構(gòu)造該組合的初始成本，于是得出該期權(quán)的價(jià)格。投資者打算對(duì) 3個(gè)月后以 21元執(zhí)行價(jià)格買入股票的歐式看漲期權(quán)進(jìn)行估值。投資者預(yù)期 3個(gè)月后股價(jià)有可能是 22元，也有可能是 18元。有限差分方法將標(biāo)的變量滿足的偏微分方程轉(zhuǎn)化成差分方程來求解，具體的方法包括隱性有限差分法、顯性有限差分法等。這兩個(gè)歐式看漲期權(quán)是 1）時(shí)刻 t1到期的歐式看漲期權(quán)，標(biāo)的資產(chǎn)無收益； 2）時(shí)刻 T到期的歐式看漲期權(quán)，標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)刻t1產(chǎn)生現(xiàn)值為 I的收益 2023/3/9 期權(quán)定價(jià)的數(shù)值方法 —— 二叉樹定價(jià)法 在很多情形中，我們無法得到期權(quán)價(jià)格的解析解，這時(shí)，人們經(jīng)常采用數(shù)值方法為期權(quán)定價(jià)，其中包括二叉樹方法、蒙特卡羅模擬和有限差分方法。美式看漲期權(quán)的多頭要么在臨近時(shí)刻 t1執(zhí)行期權(quán)，要么在到期日時(shí)刻 T執(zhí)行期權(quán)。 q(T t)e1 q( T t)e?q(T t)e2023/3/9 ( ) 2 2121l n( / ) ( / 2) ( ) l n( / ) ( / 2) ( )q T tSe X r T t S X r q T tdT t T td d T t??????? ? ? ? ? ? ? ??????? ? ?( ) ( )12( d ) ( )q T t r T tC Se N X e N d? ? ? ??? 我們可用 來代替 S，得到 BlackScholes偏微分方程的解 q( T t)Y Se?2023/3/9 （二）期貨看漲期權(quán)的定價(jià)公式 如果標(biāo)的資產(chǎn)為各種期貨合約的話，上述期權(quán)定價(jià)公式必須做相應(yīng)修正，因?yàn)楝F(xiàn)貨期權(quán)與期貨期權(quán)有著不同的交易規(guī)則。以連續(xù)復(fù)利計(jì)算，意味著在期權(quán)到期日，還剩下原來資產(chǎn)價(jià)值的 。這時(shí)，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值可分解為兩個(gè)部分：發(fā)生在 時(shí)刻的已知收益的現(xiàn)值部分和產(chǎn)生收益后到 T時(shí)刻時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值的現(xiàn)值部分。 （ 2）計(jì)算 N（ d1） 和 N(d2) 先計(jì)算： )2/()35/30ln(00))(2/()/ln(12221?????????????????????tTddtTtTrXSd???2023/3/9 然后查正態(tài)分布累積概率表，得到 )()( 1 ??? NdN和 )()( 2 ??? NdN（ 3）計(jì)算期權(quán)價(jià)格 C 232 )()d(2)(1????????????edNXeSNc tTr2023/3/9 三、 BS公式的基本推廣 （一）有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的定價(jià)公式 （ ）式是針對(duì)無收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的，對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)在期權(quán)到期日之前產(chǎn)生收益的情況，我們下面分兩種情況給予簡(jiǎn)單分析。如果認(rèn)為實(shí)際的市場(chǎng)波動(dòng)率高于隱含波動(dòng)率，那么當(dāng)前的期權(quán)價(jià)格被低估了，可以買進(jìn)期權(quán)。更常見的是，可以同時(shí)得到基于同樣股票的幾種不同期權(quán)的幾個(gè)隱含波動(dòng)率，然后對(duì)這些隱含波動(dòng)率進(jìn)行恰當(dāng)?shù)募訖?quán)平均就可以計(jì)算出該股票的綜合隱含波動(dòng)率。 ? ?? nt trnr 1)/1(?2023/3/9 我們?nèi)?n＝ 50周，即 1年的交易周數(shù)，可得年波動(dòng)率 ????或： 每年的交易日數(shù)波動(dòng)率每年波動(dòng)率＝每交易日 ? 方法二：把實(shí)際的市場(chǎng)期權(quán)價(jià)格代入 B－ S公式而計(jì)算出的波動(dòng)率即隱含波動(dòng)率。上式得到了周收益率的標(biāo)準(zhǔn)差作為周波動(dòng)率 的估計(jì)值。 問題：他要支付多少期權(quán)費(fèi)？ 由題設(shè)知： S=30， X＝ 35， 周個(gè)月＝ 256, ??? tTr但還需要知道一個(gè)無法直接得到的變量：波動(dòng)率 ?2023/3/9 解題步驟： （ 1）波動(dòng)率 的計(jì)算 ?方法一：從股票的歷史交易數(shù)據(jù)中計(jì)算波動(dòng)率 。 ()( ) ( )2()2()2( ) K ( ) S += [ ( ) 1] +K [ 1 ( ) ]=K ( ) ( )r T tr T t r T t1r T t1r T t1p c S K eSN d e N d K eS N d e N de N d SN d??? ? ? ?????? ? ???2023/3/9 例 考慮一種期權(quán)，有效期為 6個(gè)月，股票價(jià)格為 42美元，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為 40美元，無風(fēng)險(xiǎn)年利率為 10％，波動(dòng)率為每年 20％。 2023/3/9 這就是著名的 BlackScholes微分分程，它適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格 S的所有衍生證券的定價(jià)。 其協(xié)定價(jià)格為 X， 期權(quán)期限為 T（ 以年表示 ） ； 2023/3/9 (3) 市場(chǎng)不存在交易成本和稅收 ， 所有證券均完全可以分割； (4) 市場(chǎng)不存在無風(fēng)險(xiǎn)的套利機(jī)會(huì)； (5) 市場(chǎng)提供了連續(xù)交易的機(jī)會(huì) 。 2023/3/9 SpXeDc tTr ???? ?? )(（ ） )( tTrXeD ??? 在標(biāo)的資產(chǎn)有收益的情況下 ， 我們只要把前面的組合A中的現(xiàn)金改為 ， 我們就可推導(dǎo)有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系： 2023/3/9 （二）美式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間的關(guān)系 )( tTrXeSPCXS ??????? ()r T tS D X C P S D X e ??? ? ? ? ? ? ?2023/3/9 期權(quán)的定價(jià)原理 一， BlackScholes期權(quán)定價(jià)公式 （一） BlackScholes模型的假設(shè)條件 (1) 期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)是股票 ， 其現(xiàn)行價(jià)格為 S。 2023/3/9 練習(xí)： 若同樣的市場(chǎng)條件，但 3個(gè)月期歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的價(jià)格分別為 3美元和 1美元。 2， 如果股票價(jià)格小于 30美元，該投資者的對(duì)手執(zhí)行看跌期權(quán)。在 3個(gè)月末，有如下兩種可能： 1，如果股票價(jià)格大于 30美元，該投資者執(zhí)行看漲期權(quán)。 )( ???? ???? eXec tTr ???? Sp2023/3/9 結(jié)果： 這個(gè)策略給出的初始現(xiàn)金流為： － ＋ ＝ 。3個(gè)月期歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的價(jià)格分別為 3美元和 。套