【正文】 目標(biāo)規(guī)劃盡管包含有多個(gè)目標(biāo)，但還是按單個(gè)目標(biāo)求偏差變量的最小值，目標(biāo)函數(shù)中不含有決策變量，目標(biāo)規(guī)劃只是多目標(biāo)決策的一種特殊情形．本章不討論多目標(biāo)規(guī)劃的求解方法，只給出利用 lingo軟件求解線(xiàn)性多目標(biāo)規(guī)劃的簡(jiǎn)單程序。排序的方法有兩兩比較法、專(zhuān)家評(píng)分等方法，構(gòu)造各目標(biāo)的權(quán)系數(shù)，依據(jù)權(quán)系數(shù)的大小確定目標(biāo)順序； （ 7）合理的確定目標(biāo)數(shù)。 評(píng)注： （ 5）由目標(biāo)構(gòu)成的約束稱(chēng)為目標(biāo)約束，目標(biāo)約束具有更大的彈性，允許結(jié)果與所制定的目標(biāo)值存在正或負(fù)的偏差；如果決策者要求結(jié)果一定不能有正或負(fù)的偏差，這種約束稱(chēng)為系統(tǒng)約束； （ 6）目標(biāo)的排序問(wèn)題。 （ 1）目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的形式有：線(xiàn)性模型、非線(xiàn)性模型、整數(shù)模型、交互作用模型等； （ 2）一個(gè)目標(biāo)中的兩個(gè)偏差變量 di、 di+至少一個(gè)等于零，偏差變量向量的叉積等于零： d－ d＋ =0； （ 3）一般目標(biāo)規(guī)劃是將多個(gè)目標(biāo)函數(shù)寫(xiě)成一個(gè)由偏差變量構(gòu)成的函數(shù)求最小值，按多個(gè)目標(biāo)的重要性，確定優(yōu)先等級(jí)，順序求最小值； （ 4）按決策者的意愿，事先給定所要達(dá)到的目標(biāo)值。當(dāng)每一目標(biāo)確定后，盡可能縮小與目標(biāo)值的偏離。即 :首先保證 p1 級(jí)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，這時(shí)可以不考慮次級(jí)目標(biāo)；而 p2級(jí)目標(biāo)是在實(shí)現(xiàn) p1 級(jí)目標(biāo)的基礎(chǔ)上考慮的；依此類(lèi)推。 (3)優(yōu)先因子 （ 優(yōu)先等級(jí) ） 與權(quán)系數(shù) 一個(gè)規(guī)劃問(wèn)題 ,常常有若干個(gè)目標(biāo)，決策者對(duì)各個(gè)目標(biāo)的考慮 ,往往是有主次的。 若要區(qū)別具有相同優(yōu)先因子 pl 的目標(biāo)的差別，就可以分別賦予它們不同的權(quán)系數(shù) ?i* ( i=1,2,…, k )。 目標(biāo)約束，目標(biāo)規(guī)劃所特有的，可以將約束方程右端項(xiàng)看作是追求的目標(biāo)值，在達(dá)到此目標(biāo)值時(shí)允許發(fā)生正的或負(fù)的偏差 ，可加入正負(fù)偏差變量，是 軟約束 。 因?yàn)闆Q策值不可能既超過(guò)目標(biāo)值同時(shí)又未達(dá)到目標(biāo)值 ，故有 d +d =0成立 。 (1) 偏差變量 在目標(biāo)規(guī)劃模型中 ， 除了決策變量外 ， 還需要引入正 、負(fù)偏差變量 d +、 d 。 在同一優(yōu)先級(jí) pk中不同目標(biāo)的正 、 負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)分別為 ?kl+ 、 ?kl ， 則多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題可以表示為： ? ?? ????? ??KkLllkllklk ddpZ1 1)(min ?????? ????nj llljlj Llgddxc1)( ),2,1( ??????nj ijijmibxa1),2,1(),( ?),2,1(0 njxj ??? ),2,1(0, Lldd ll ????? 目標(biāo)函數(shù) 目標(biāo)約束 絕對(duì)約束 非負(fù)約束 在以上各式中， ?kl+ 、 ?kl 分別為賦予 pl優(yōu)先因子的第 k 個(gè)目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù) ， gk為 第 k個(gè) 目標(biāo)的預(yù)期值， xj為決策變量， dk+ 、 dk 分別為第 k 個(gè)目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量。 ： 給定若干目標(biāo)以及實(shí)現(xiàn)這 些目標(biāo)的優(yōu)先順序，在有限的資源條件下，使總的偏離目標(biāo)值的偏差最小。 理論依據(jù) ：若規(guī)劃問(wèn)題的某一目標(biāo)可以給出一個(gè)可供選擇的范圍，則該目標(biāo)就可以作為約束條件而被排除出目標(biāo)組，進(jìn)入約束條件組中。這種方法將一系列的目標(biāo)函數(shù)與效用函數(shù)建立相關(guān)關(guān)系，各目標(biāo)之間通過(guò)效用函數(shù)協(xié)調(diào)，使多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題： 但困難是要確定合理的權(quán)系數(shù)，以反映不同目標(biāo)之間的重要程度。 )(max XZ ?? GXts ?? )(..?是與各目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的效用函數(shù)的和函數(shù)。 效用最優(yōu)化模型 罰款模型 約束模型 目標(biāo)規(guī)劃模型 二、多目標(biāo)決策的非劣解的求解方法 為了求得多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的非劣解 ， 常常需要將多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題去處理 。 所有非劣解構(gòu)成的集合稱(chēng)為 非劣解集 。 對(duì)于上述多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題 ， 求解就意味著需要做出如下的復(fù)合選擇： 每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)取什么值，原問(wèn)題可以得到最滿(mǎn)意的解決？ 每一個(gè)決策變量取什么值，原問(wèn)題可以得到最滿(mǎn)意的解決 ？ 如上例的各個(gè)方案之間 ，④ 比 ① 好 ， ⑤ 比 ④ 好 , ⑥ 比 ② 好 , ⑦ 比 ③ 好 。 （二）對(duì)于多目標(biāo)決策問(wèn)題，可以將其數(shù)學(xué)模型一般地描寫(xiě)為如下形式： ????????????????)(max(min))(max(min))(max(min))(XfXfXfXFZk?21????????????????????????????????mm gggGXXXX??2121)()()()( .???式中： 為決策變量向量。 非劣性 可以用下圖說(shuō)明。 1122( 1 ) ( 4)10 8( 1 ) 21 20 ( 4)F x F xF x F x? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?14xx? 在圖 1中 ， max(f1, f2) .就方案 ① 和 ② 來(lái)說(shuō) ， ① 的 f2 目標(biāo)值比 ② 大 ， 但其目標(biāo)值 f1 比 ② 小 ， 因此無(wú)法確定這兩個(gè)方案的優(yōu)與劣 。 同理 ， 。 ()Fx()Fx例 試分析下表所示四個(gè)方案的非劣性。在不同的研究方向，非劣性可能有不同的說(shuō)法，比如，數(shù)學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家和統(tǒng)計(jì)學(xué)家又稱(chēng)之為“有效性”或“最優(yōu)性”?？尚薪獾姆橇有哉嵌嗄繕?biāo)問(wèn)題矛盾性所引起的。 對(duì)于單目標(biāo)決策問(wèn)題的解一般具有全序最優(yōu)性，而多目標(biāo)決策問(wèn)題的可行方案集中的各方案只有部分序而非全序，并且一般不存在滿(mǎn)足最優(yōu)性的可行解，而只有矛盾性，即，盡管某一個(gè)可行解能使 n個(gè)目標(biāo)中的某個(gè)目標(biāo)最優(yōu)，但不可能使其他的 n1個(gè)目標(biāo)同時(shí)最優(yōu)。多目標(biāo)決策問(wèn)題不存在所謂的“最優(yōu)”解，只存在滿(mǎn)意解。單目標(biāo)決策一般有最優(yōu)解，且往往是唯一的，有時(shí)可能存在無(wú)限多個(gè)解。正因?yàn)楦髂繕?biāo)的不可公度性和相互之間的矛盾性，多目標(biāo)決策問(wèn)題不能簡(jiǎn)單的作為單目標(biāo)問(wèn)題來(lái)處理。所謂目標(biāo)的不可公度性指各目標(biāo)之間沒(méi)有統(tǒng)一的量綱，因此難以作相互比較。其他企業(yè)一般也有類(lèi)似的多目標(biāo)計(jì)劃決策問(wèn)題。該計(jì)劃應(yīng)能使企業(yè)的各種主要的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)達(dá)到預(yù)定的目標(biāo)。 在生產(chǎn)系統(tǒng)、工程系統(tǒng)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，多目標(biāo)決策問(wèn)題更是屢見(jiàn)不鮮。公務(wù)員為了選擇合適的交通工具，需要考慮幾個(gè)指標(biāo)，比如：時(shí)間、價(jià)格、舒適性、方便程度等。又如，公務(wù)人員外出辦事總要乘某種交通工具。那么，一件衣服（即一個(gè)方案）合適否（滿(mǎn)意否）應(yīng)該根據(jù)幾個(gè)指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)，比如衣服的質(zhì)量、價(jià)格、大小、式樣、顏色等。對(duì)于顧客而言，購(gòu)買(mǎi)衣服就是一個(gè)決策問(wèn)題，顧客本人是決策者，各種各樣的衣服是行動(dòng)方案集。 多目標(biāo)決策問(wèn)題的案例及特點(diǎn) 我們介紹兩個(gè)日常生活中常見(jiàn)的決策問(wèn)題。這樣使得決策者有可能利用自己的知識(shí)和經(jīng) 驗(yàn)對(duì)這些方案進(jìn)行評(píng)價(jià)和判斷，從中找出滿(mǎn)意方案 或給出偏好信息以及尋找更多的備選方案。自然， 用這種最優(yōu)方案作為決策者的最終決策具有強(qiáng)迫性 質(zhì)，往往難以為決策者接受。 從求解過(guò)程來(lái)看，單目標(biāo)方法采用統(tǒng)一的單一度量 單位，向決策者提供唯一的最優(yōu)方案。從方 法的特點(diǎn)來(lái)看，單目標(biāo)方法強(qiáng)調(diào)分析者的作用，忽 視決策者的作用。 只有一個(gè)目標(biāo)的決策問(wèn)題稱(chēng)為單目標(biāo)決策（或 單目標(biāo)規(guī)劃）問(wèn)題，相應(yīng)的解題方法稱(chēng)為單目標(biāo)方 法。 決策者的作用是：評(píng)價(jià)和判斷各目標(biāo)的相對(duì)重要性；根據(jù)目標(biāo)的當(dāng)前水平值以及主觀(guān)的判斷和經(jīng)驗(yàn)，提供關(guān)于決策方案的偏好信息。決策者一般指有權(quán)挑選行動(dòng)方案，并能夠從中選擇滿(mǎn)意方案作為最終決策的人員。 ,0,4 21 ?? xx ?? 1dd 7,6 32 ?? ?? dd第一部分 多目標(biāo)決策的基本概況 本章將從多目標(biāo)決策（也稱(chēng)多目標(biāo)規(guī)劃）方法的作用出發(fā)，通過(guò)分析簡(jiǎn)單的多目標(biāo)決策問(wèn)題的幾個(gè)案例，闡述多目標(biāo)決策的基本概念。 d2_=6。 x2+d3_d3=7。 10*x1+15*x2+d1_d1=40。 END 圖 4 LINGO運(yùn)算后輸出為（參見(jiàn)圖 5）： 圖 5 對(duì)應(yīng)于第三優(yōu)先等級(jí)，將 ＝ 0， 作為約束條件，建立線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題： 用 LINGO求解，得最優(yōu)解是 ， ，最優(yōu)值為 7。 x1+x2+d2_d2=10。具體 LINGO程序及輸出信息如下： LINGO程序?yàn)椋▍⒁?jiàn) 圖 4） ： model: min=d2_。 1x2x?1d?1圖 2 在菜單 LINGO下點(diǎn)選 “Solve”，或按復(fù)合鍵 “Ctrl+S”進(jìn)行求解。 10*x1+15*x2+d1_d1=40。具體求解過(guò)程如下： ??????????????0,401510..min112111211ddxxddxxtsdz啟動(dòng) LINGO軟件，窗口如圖 1所示。 多目標(biāo)決策方法 李小飛 ?多目標(biāo)決策的基本概念 ?多目標(biāo)決策的數(shù)學(xué)模型及其非劣解 ?多目標(biāo)決策建模的應(yīng)用實(shí)例 用 LINGO軟件求解目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題 1. 求解方法概述 ? LINGO（或 LINDO）不能直接求解目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，但可以通過(guò)逐級(jí)求解線(xiàn)性規(guī)劃的方法，求得目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的滿(mǎn)意解。 2. 示例 ? 例 1 用 LINGO求解目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題 ??????????????????????????????????3,2,1,0,710401510..min2133222211121332211jddxxddxddxxddxxtsdPdPdPz