【正文】 000000000000= 等號(hào)兩邊對(duì)應(yīng)元素相比較， 得 r1=r2=…=r 7=0， 所以 是 線性無關(guān) 721 , Q ? 721 , ?是 D空間的最小生成集。這 8個(gè)基本方的地位是等同的，故可不妨設(shè) j=8。 ?????????????00101000010000011Q ?????????????01000010100000012Q ?????????????00100100000110003Q ?????????????01000001001010004Q ?????????????10000010000101005Q ?????????????10000001010000106Q ?????????????00011000001001007Q ?????????????00010100100000108Q 顯然， D252。當(dāng)?shù)诙械?1也取定后，第三行與第四行的 1就完全定位了，故一共可作出 8個(gè)不同的最簡(jiǎn)方陣，稱之為基本魔方并記之為 Q1， … ， Q8 仍以 4階方陣為例 。若下面想填的格已填過數(shù)或已達(dá)到魔方的右上角時(shí)，改填剛才填的格子正下方的小方格，繼續(xù) Step2直到填完 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 偶數(shù)階的情況 偶數(shù)階的魔方可以利用奇數(shù)階魔方拼接而成，拉爾夫 阿格里帕（ 14861535）先后構(gòu)造出了 3~9階的魔方 。rer魔方 多么奇妙的魔方！ 銅幣鑄造時(shí)間： 1514年 構(gòu)造魔方是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)游戲，起初它還和神靈聯(lián)系在一起，帶有深厚的迷信色彩。 D252。rer魔方 （ 或幻方 ） 問題 ? 所謂的魔方是指由 1~n2這 n2個(gè)正整數(shù)按一定規(guī)則排列成的一個(gè) n行 n列的正方形 。令人奇怪的是在這枚銅幣的畫面上充滿了數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)字及幾何圖形。 德國(guó)著名的藝術(shù)家 Albrecht D252。 易見， 27個(gè) 2 2 2的正方體中，有 14個(gè)是黑的，13個(gè)是白的（或 13黑 14白），故經(jīng)兩次剖分，共計(jì)有 112個(gè) 1 1 1的黑色小正方體和 104個(gè)1 1 1的白色小正方體。 解 將正方體剖分成 27個(gè) 2 2 2的小正方體，并 按下圖所示黑白相間地染色。顯然 ΔOA′T′的面積 S（ T′） 是 T′的連續(xù)函數(shù)，當(dāng) T′=0時(shí) S（ 0） =0，當(dāng) T′=T時(shí)， S（ T）S，故由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)存在 某 T′T， S（ T′） =S但這一結(jié)果與 υ=υ(t)是最優(yōu)方案下的車速的假設(shè)矛盾，因?yàn)橛梦覀儾聹y(cè)的推車方法推車，只 需 T′時(shí)間即可將車推到修車處， 而 T′T。現(xiàn) 從 O點(diǎn)出發(fā)，作射線 y=at；從 （ t,0） 出發(fā)，作直 線 y=b(tT)交 y=at于A，由于 ，曲線 υ=υ(t)必位于三角形區(qū) 域 DAT的內(nèi)部，從而有 ΔOAT的面積大于 S。我們作如下猜測(cè)： 猜測(cè) 最速方案為以最大推力將車推到某處，然后以最大拉力拉之，使之恰好停于修車處，其中轉(zhuǎn)換點(diǎn)應(yīng)計(jì)算求出 證明 設(shè) υ=υ(t)為在最速推車方案下汽車的速度，則有 。由 于 B≤f≤A，且f=mυ′， 可知 b≤υ′≤a（其中 m為汽車質(zhì)量， a=A/m,b=B/m）。問怎樣 推車可使車最快停于修車處。 解 根據(jù) Craggs定理并稍加分析可知，最短路徑應(yīng)在 l1與 l2中，見圖，比較 l1與 l2的長(zhǎng)度，即可得到最短路徑?？梢宰C明， （ b） 中的曲 線 ABC更短。 解 （情況 1） 若 |AB|2R，最短路徑由 弧 AC與切線 BC組成（見 圖 ① ）。而且，組成最短路徑的各段弧在連接點(diǎn)處必定相切。 1973年， ： 若可行區(qū)域的邊界是光滑曲面。例如對(duì) 下圖，我們可斷定由 A至 B的最短路徑必 為 l1與 l2之一，其證明也不難類似給出。 A B O r E F E′ F′ M1 M2 M Γ l 還可用 微積分 方法求弧長(zhǎng)，根據(jù)計(jì)算證明滿足限止條件的其他連續(xù)曲線必具有更大的長(zhǎng)度；此外，本猜測(cè)也可用 平面幾何 知識(shí)加以證明等。這樣，直線 段 M1M2的長(zhǎng)度必小于路 徑 M1MM2的長(zhǎng)度，與 Γ是 A到 B的最短路徑矛盾，至此，我們已證明最短路徑必在凸集 R內(nèi)。 k l R 下面證明猜想 猜測(cè)證明如下： （方法一） 顯然， 由 AE、 EF、 FB及 AE′， E′F′， F′B圍成的區(qū)域 R是一凸集。即若 x x2∈ R，則 x x2的連線必整個(gè)地落 在 R中。為此，先介紹一下凸集與凸集的性質(zhì)。最短路徑為由線 段 AE、弧 EF和線段 FB連接而成的連續(xù)曲線（根據(jù)對(duì)稱性， AE′， 弧E′F′， F′B連接而成的連續(xù)曲線也是）。 A B O r 將湖想象成凸出地面的木樁， 在 AB間拉一根軟線，當(dāng)線被拉緊時(shí)將得到最短路徑。 A、 B 位于湖的兩側(cè)， AB連線過 O，見圖。 167。猜測(cè)一經(jīng)證明就成了定理，而定理一旦插上想象的翅膀，又常常會(huì)被推廣出許多更為廣泛的結(jié)果。歷史上這樣的例子實(shí)在太多了。沒有合理而又大膽的猜測(cè)，很難做出具有創(chuàng)新性的結(jié)果。 在解決實(shí)際問題時(shí)，注意觀察和善于想象是十分重要的，觀察與想象不僅能發(fā)現(xiàn)問題隱含的某些屬性，有時(shí)還能順理成章地找到解決實(shí)際問題的鑰匙。 r θ R l ?????? ???? rrπW v tWπθn 212 )(12 此式中的三個(gè)參數(shù) W、 v和 r均不易精確測(cè)得，雖然我們可以從上式解出 t與 n的函數(shù)關(guān)系，但效果不佳，故令 則可將上式簡(jiǎn)化為： πWvα ? vW/πrβ 2?? ?ββtαn ???故 nα φnαββαnt 21 222????????? ??令 21 αa ? αβb 2? 上式又可化簡(jiǎn)記成 t= an2+bn t= an2+bn r θ R l 上式以 a、 b為參數(shù)顯然是一個(gè)十分明智的做法，它為公式的最終確立即參數(shù)求解提供了方便。磁帶轉(zhuǎn)動(dòng)中線速 度 v顯然也是常數(shù)，否則圖象聲音必然會(huì)失真。為建立一個(gè)正確的模型，首 先必須搞清哪些量是常量，哪些量是變量。我們從 0084觀察到 0147共用時(shí)間 3分 21秒。 167。為此，令石塊下落 的真正時(shí)間 為 t1，聲音傳回來的時(shí)間記 為 t2，還得解一個(gè)方程組： ??????????????933401212211.ttthkg)ekt(kghkt這一方程組是非線性 的，求解不太容易，為了估算崖高竟要去解一個(gè)非線性主程組似乎不合情理 相對(duì)于石塊速度，聲音速度要快得多，我們可 用方法二先求一次 h，令 t2=h/340，校正 t，求石塊下落時(shí)間 t1≈tt2將 t1代入式 ① 再算一次，得出崖高的近似值。 222 )1(kgektkgkgekgtkgh ktkt ?????? ??① 多測(cè)幾次，取平均值 再一步深入考慮 代入初始條 件 h(0)=0，得到計(jì)算山崖高度的公式： 將 ekt用泰勒公式展開并 令 k→ 0+ ，即可得出前面不考慮空氣阻力時(shí)的結(jié)果。根據(jù)流體力學(xué)知識(shí)，此時(shí)可設(shè)空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系 數(shù) K為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得： kgcev kt ?? ?令 k=K/m， 解得 代入初始條件 v(0)=0，得 c=－ g/k，故有 ktekgkgv ???再積分一次，得： cekgtkgh kt ??? ?2若設(shè) k= t=4秒，則可求 得 h≈。 221 gth ? 我學(xué)過微積分，我可以做 得更好，呵呵。 方法一 假定空氣阻力不計(jì)，可以直接利用自由落體運(yùn)動(dòng)的公式 來計(jì)算。 崖高的估算 假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功 能的計(jì)算器，你也許會(huì)出于好奇心想用扔下 一塊石頭聽回聲的方法來估計(jì)山崖的高度， 假定你能準(zhǔn)確地測(cè)定時(shí)間，你又怎樣來推算 山崖的高度呢，請(qǐng)你分析一下這一問題。,3)。 % Set display parameter [K,fval,attainfactor] = fgoalattain((K)eigfun(K,A,B,C)... goal,weight,[],[],[],[],lb,ub,[],options) 二 、 舉例 有關(guān)循環(huán)控制系統(tǒng)優(yōu)化問題 ? 運(yùn)行結(jié)果如下 ? Active constraints: ? 1 ? 2 ? 4 ? 9 ? 10 ? K = ? ? ? fval = ? ? ? ? attainfactor = ? 二 、 舉例 有關(guān)循環(huán)控制系統(tǒng)優(yōu)化