注冊(cè)設(shè)備工程師10年培訓(xùn)課件4-文庫吧資料
2025-01-20 14:21本頁面
【正文】 1800/n角度相交的導(dǎo)體面和點(diǎn)電荷 對(duì)于夾角為 的兩個(gè)相連無限大導(dǎo)電平板間置有點(diǎn)電荷的問題，只要 n為整數(shù)，在 區(qū)域內(nèi)，可用鏡像法解決。原問題中的電場(chǎng)可看成由此四個(gè)電荷產(chǎn)生。在如圖所示的位置上，放入三個(gè)鏡像電荷。 由此得到在上半空間的電位為 求得無限大導(dǎo)體平面上的感生電荷密度： 電場(chǎng)強(qiáng)度： 其中， 感應(yīng)電荷： 點(diǎn)電荷的平面鏡像 設(shè)有一點(diǎn)電荷 q置于相交成直角的兩個(gè)半無限大導(dǎo)電平板之前，試分析如何求解這一電場(chǎng)。 考慮到鏡象法的原理，在 z=0的平面之下與 q對(duì)稱地放置一個(gè)電量為 q的鏡象電荷，顯然，這個(gè)鏡象電荷與原來電荷的合成電場(chǎng)滿足無限大導(dǎo)體平面的邊界條件，即無限大導(dǎo)體平面的影響由鏡象電荷 q來代替，上半空間的電場(chǎng)或電位分布就由原來電荷和鏡象電荷的場(chǎng)的疊加得出。 鏡像法應(yīng)用 鏡像法應(yīng)用舉例 1. 無限大接地平面上的點(diǎn)電荷 設(shè)在無限大導(dǎo)體平面（ z=0）附近有一點(diǎn)電荷 q，與平面的距離為 z=h，如圖所示，假設(shè)導(dǎo)電平面的電位為零，求上半空間的電場(chǎng)。 求解邊界上的感應(yīng)電荷。 步驟 確定鏡像電荷的大小和位置。 保持求解區(qū)域中場(chǎng)方程和邊界條件不變。采用鏡像法可以使這類問題的場(chǎng)解過程變得簡(jiǎn)單，但它的應(yīng)用范圍是有限的。 解題步驟 分離變量法小結(jié) 4． 4 鏡像法 鏡像法的原理 在已知邊界條件，已知電荷分布時(shí)，由于邊界條件和電荷分布相互影響，直接求解泊松方程和拉普拉斯方程是比較困難的。 在坐標(biāo)系中，待求偏微分方程的解可表示為三個(gè)函數(shù)的乘積，其中每個(gè)函數(shù)分別是一個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)。 。 ，將偏微分方程轉(zhuǎn)換為常微分方程。 (2) 在該式中代入式 后，得 ( 1 )mm? ?? 上式的兩個(gè)解為 和 ，故 于是我們得到電位的解為 ，選坐標(biāo)系，定坐標(biāo)軸。 球坐標(biāo)系中的分離變量法 球坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程（我們只討論場(chǎng)問題與 無關(guān)的情形） 在二維情況下 ， 場(chǎng)在 φ 方向無變化 ， 此時(shí) 拉氏方程變?yōu)椋? 0?? ?? 2211( ) ( si n ) 0si nrr r r r?? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ? 令 代入，有： 上式中 f(r) 和 已分開在兩項(xiàng)中，令分別等于常數(shù) 和 ，得 常微分方程的解 （ 1） 在該式中引入一個(gè)新的自變量 ,于是該式可變?yōu)? 上式稱為勒讓德方程。得到 上式中同樣只有 的余弦項(xiàng)系數(shù)不等于零，即 ，而上式則為 現(xiàn)利用 時(shí)， 得 從以上所得的兩個(gè)方程式，求解得 于是得到圓柱體外和內(nèi)的電位函數(shù)分別為 圓柱體外和內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度變量為 上式中的第二式表示圓柱體內(nèi)的電場(chǎng) 是一個(gè)均勻電場(chǎng)，它的大小和外加均勻場(chǎng) 相比要小，這是由于介質(zhì)圓柱被極化后表面出現(xiàn)束縛電荷，它們的電場(chǎng)在圓柱內(nèi)與外電場(chǎng)方向相反之故。這一條件為自然邊界條件。 當(dāng) 時(shí)， 然后用 和 分別乘上式的兩邊，對(duì) 從 積分，因?yàn)橛疫呏挥? 的余弦項(xiàng)，所以只有 的項(xiàng)的系數(shù)不等于零，其余的項(xiàng)的系數(shù)都為零，所以得到 且當(dāng) 時(shí)， ，得到 ，故柱外區(qū)域的解為 式中 仍為待定常數(shù)。 求圓柱內(nèi)外的電位函數(shù) 。 圓柱坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程： 當(dāng)電位在 z方向沒有變化時(shí) ， 拉普拉斯方程簡(jiǎn)化為 設(shè) 代入，二維拉普拉斯方程被分離為兩個(gè)常微分方程，即 拉普拉斯方程變?yōu)? 要在 r 、 φ 取任意值時(shí)，上式都能成立，式中的每一項(xiàng)都必須是常數(shù)，即： 1()()r f rrCf r r r???? ???????2221 ( )()g Cg???? ??而且 12 0CC?? 則上式可分解為下列兩個(gè)常微分方程 令 2212 , CC??? ? ?γ是分離常數(shù) γ = 0 時(shí)，式（ F1）和式（ F2）的解是 （ F1） （ F2） 2()
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