注冊設(shè)備工程師10年培訓(xùn)課件4-資料下載頁
2025-01-16 14:21本頁面
【正文】 ???????? ??????????? ??? aDDdaDDd 對于左邊圓柱 12212221112 )(,ddrradddarr ?????????????????????1201202 ln4ln2 ddrr ll???????右邊圓柱 ??????????210121212 ln4,)( ddddrr l???? 兩圓柱電壓 21021 ln2 ddU l????? ???單位長度電容： 2/1222/12200)4(2)4(2ln2aDDaDDUCl????????? 鏡像法小結(jié) 鏡像法（電軸法）的理論基礎(chǔ)是靜電場唯一性定理； 鏡像法（電軸法）的實(shí)質(zhì)是用虛設(shè)的鏡像電荷（電軸）替代未知電荷的分布，使計算場域?yàn)闊o限大均勻介質(zhì)； 鏡像法（電軸法）的關(guān)鍵是確定鏡像電荷（電軸）的個數(shù)（根數(shù)），大小及位置； 應(yīng)用鏡像法（電軸法）解題時，注意：鏡像電荷（電軸）只能放在待求場域以外的區(qū)域。疊加時，要注意場的適用區(qū)域。 4． 5 有限差分法 引入 分離變量法和鏡像法都是求邊值問題得解析解的方法。但是在許多實(shí)際問題中由于邊界條件過于復(fù)雜而無法求得解析解。這就需要借助于數(shù)值法來求電磁場的數(shù)值解。有限差分法便是一種比較容易的數(shù)值解法。 有限差分法的基本思路 在用有限差分法求解經(jīng)典問題時，首先需要把求解的區(qū)域劃分成網(wǎng)格，把求解區(qū)域內(nèi)連續(xù)的場分布，用求網(wǎng)節(jié)點(diǎn)上的離散的數(shù)值接代替。只要將網(wǎng)格劃分得充分地細(xì)，就能達(dá)到足夠的精確度。當(dāng)然，網(wǎng)格劃分越細(xì)，精度也就越高。但同時，所花費(fèi)的計算時間也就越長。其次，就是將靜場問題的微分方程化為差分方程，然后進(jìn)行求解。 關(guān)于網(wǎng)格的劃分，有不同的方法。下面以正方形網(wǎng)格為例，說明有限差分求解靜電問題的思路。 設(shè) X軸上鄰近 O點(diǎn)的一點(diǎn)的電位為 Φ x，用泰勒公式展開為： ... .... .)(!31)(!21)( 333222????????????????????????????????????ooooooox xxxxxxxxx?????故 1點(diǎn)的電位為： 23231 2311 ........2 ! 3!o o ooh h hx x x? ? ??? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ??? ? ? ? ? 3點(diǎn)的電位為： 23233 2311 ........2 ! 3!o o ooh h hx x x? ? ??? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ??? ? ? ? ?221 3 0 202 hx?? ? ? ???? ? ? ??????當(dāng) h很小時，忽略 4階以上的高次項(xiàng)，得 同樣可得 將上面兩式相加得 在上式中代入 ，得 22220F xy? ? ?? ????? ? ? ???????上式為二維拉普拉斯方程的有限差分形式 , 對于 ，即 F=0的區(qū)域，得到二維拉普拉斯方程的有限差分形式 它表示任意點(diǎn)的電位等于圍繞它的四個點(diǎn)的電位的平均值。當(dāng)用網(wǎng)格將區(qū)域劃分后，對每一個網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)寫出類似的式子，就得到方程數(shù)與未知電位的網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)數(shù)相等的線性方程組。已知的邊界條件在離散化后成為邊界上節(jié)點(diǎn)的已知電位值 以一頂部電位為 1000V， 兩側(cè)及底部的電位為零的正方形截面的無限長金屬盒為例 ， 為說明問題方便 ， 在正方形區(qū)域內(nèi)的水平和垂直方向各畫三條平行的等間距直線 ， 如圖所示 在實(shí)際的工程問題中 ， 為了滿足足夠的計算精度 ， 網(wǎng)格的劃分是非常細(xì)的 ， 因此即使采用計算機(jī)編程求解 ， 其工作量也是很大的 。 方法 簡單迭代法 ： 其步驟是先對每一網(wǎng)格點(diǎn)設(shè)一初值。然后按一個固定順序（點(diǎn)的順序是從左到右，從上到下），利用二維拉普拉斯方程的有限差分形式用圍繞它的四個點(diǎn)的電位的平均值作為它的新值，當(dāng)所有的點(diǎn)計算完后，用它們的新值代替舊值，即完成了一次迭代。然后再進(jìn)行下一次迭代，直到每一點(diǎn)計算的新值和舊值之差小于指定的范圍為止。為了提高精度，必須進(jìn)一步劃分出更多更小的網(wǎng)格數(shù)。 以解拉普拉斯方程為例。 1）設(shè)定內(nèi)點(diǎn)初值，用計算機(jī)解題時，可都取零值。 2）按一固定順序 (從左到右，從下到上 )依次利用 1 2 3 44o? ? ? ?? ??＋＝ 計算內(nèi)點(diǎn) O點(diǎn)的新值。即 O點(diǎn)的新值就是圍繞該點(diǎn)的 4個點(diǎn)的電位的平均值。 當(dāng)所有的內(nèi)點(diǎn)都計算完后，用他們的新值代替舊值，完成一次迭代。再進(jìn)行下一次迭代。直到每一點(diǎn)計算得到的新值與舊值之差小于指定的范圍。 這種方法的特點(diǎn)是用前一次迭代的得到的結(jié)點(diǎn)電位作為下一次迭代時的初值。 如（ j， k）點(diǎn)在第 n＋ 1次迭代時按下式計算： 4)( 1,11,11,nkjnkjnkjnkjnkj????? ??? ????? ＋ 超松弛法： 簡單迭代法在解決問題時收斂速度比較慢，實(shí)用價值不大。實(shí)際中常采用超松弛法，相比之下它有兩點(diǎn)重大的改進(jìn) ，第一是計算每一網(wǎng)格點(diǎn)時，把剛才計算得到的臨近點(diǎn)的新值代入，即在計算 (j,k)點(diǎn)的電位時，把它左邊的點(diǎn) (j1,k)和下面的點(diǎn) (j,k1)的電位用剛才算過的新值代入，即 4/)( 1 1,1 ,11,11, ? ?????? ???? n kjn kjn kjn kjn kj ?????這種迭代方法稱為高斯賽德爾迭代法。 將上式寫成增量的形式 4/)4( ,1 1,1 ,11,1,1, n kjn kjn kjn kjn kjn kjn kj ??????? ?????? ? ?????? 引進(jìn)加速收斂因子 ?， ?在 1－ 2之間。 )4(4 ,1 1,1 ,11,1,1, n kjn kjn kjn kjn kjn kjn kj ???????? ?????? ? ??????松弛因子選取的比較適當(dāng)?shù)脑掃€會加快收斂速度。 本章主要介紹拉普拉斯方程的求解方法。 分離變量法 根據(jù)邊界面的形狀，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，如平面邊界，則選直角坐標(biāo)；圓柱面選圓柱坐標(biāo)系；球面選球坐標(biāo)。以便以簡單的形式表達(dá)邊界條件。將電位函數(shù)表示成三個一維函數(shù)的乘積，通過分離變量法將拉普拉斯方程變?yōu)槿齻€常微分方程，得到電位函數(shù)的通解，然后尋求滿足條件的特解。 鏡像法 將平面、圓柱面或球面上的感應(yīng)電荷分布（或束縛電荷分布）用等效的點(diǎn)電荷或線電荷（在場區(qū)域外的某一位置處）替代并保證邊界條件不變。原電荷與等效點(diǎn)電荷（即通稱為像電荷）的場即所求解。鏡像法的主要步驟是確定鏡像電荷的位置和大小。 有限差分法 一種數(shù)值計算方法，把求解區(qū)域用網(wǎng)格劃分，同時把拉普拉斯方程變?yōu)榫W(wǎng)格點(diǎn)的電位有限差分方程（代數(shù)方程）組。在已知邊界點(diǎn)的電位值下，用迭代法求得網(wǎng)格點(diǎn)電位的近似數(shù)值。 演講完畢，謝謝觀看！
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