注冊設(shè)備工程師10年培訓(xùn)課件4(編輯修改稿)
2025-02-03 14:21 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 。 當(dāng) 時， 然后用 和 分別乘上式的兩邊，對 從 積分，因為右邊只有 的余弦項，所以只有 的項的系數(shù)不等于零，其余的項的系數(shù)都為零，所以得到 且當(dāng) 時， ，得到 ，故柱外區(qū)域的解為 式中 仍為待定常數(shù)。 其次，圓柱內(nèi)的解應(yīng)為 因為 處， 必須為有限制，故 通解 中所有 r的冪項都不存在。這一條件為自然邊界條件。 和 為兩個區(qū)域的電位函數(shù)，它們在交界面處相銜接，應(yīng)用介質(zhì)交界面的邊界條件，首先， 時， 。得到 上式中同樣只有 的余弦項系數(shù)不等于零，即 ，而上式則為 現(xiàn)利用 時， 得 從以上所得的兩個方程式，求解得 于是得到圓柱體外和內(nèi)的電位函數(shù)分別為 圓柱體外和內(nèi)的電場強度變量為 上式中的第二式表示圓柱體內(nèi)的電場 是一個均勻電場，它的大小和外加均勻場 相比要小，這是由于介質(zhì)圓柱被極化后表面出現(xiàn)束縛電荷，它們的電場在圓柱內(nèi)與外電場方向相反之故。 應(yīng)用條件： 界面形狀適合用球坐標(biāo)系表示。 球坐標(biāo)系中的分離變量法 球坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程（我們只討論場問題與 無關(guān)的情形） 在二維情況下 ， 場在 φ 方向無變化 ， 此時 拉氏方程變?yōu)椋? 0?? ?? 2211( ) ( si n ) 0si nrr r r r?? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ? 令 代入，有： 上式中 f(r) 和 已分開在兩項中，令分別等于常數(shù) 和 ，得 常微分方程的解 （ 1） 在該式中引入一個新的自變量 ,于是該式可變?yōu)? 上式稱為勒讓德方程。若我們研究的空間中包含 從 0到 ，即 x從 1到 (1)時，且取 為 則此時的勒讓德方程只有一個有界解，它為 m次多項式，稱為勒讓德多項式，記作 。 (2) 在該式中代入式 后，得 ( 1 )mm? ?? 上式的兩個解為 和 ，故 于是我們得到電位的解為 ，選坐標(biāo)系，定坐標(biāo)軸。 。 ，將偏微分方程轉(zhuǎn)換為常微分方程。 ，確定解的一般形式。 。 前提 給定邊界與一個適當(dāng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)面相合，或者分段地與坐標(biāo)面相合。 在坐標(biāo)系中，待求偏微分方程的解可表示為三個函數(shù)的乘積，其中每個函數(shù)分別是一個坐標(biāo)的函數(shù)。 思路 先將偏微分方程轉(zhuǎn)換為常微分方程，再利用邊界條件求解 。 解題步驟 分離變量法小結(jié) 4． 4 鏡像法 鏡像法的原理 在已知邊界條件，已知電荷分布時，由于邊界條件和電荷分布相互影響，直接求解泊松方程和拉普拉斯方程是比較困難的。此時，可在研究的區(qū)域之外，用假想的電荷來代替原來的邊界，即：由假想的電荷和原來的電荷共同產(chǎn)生的場在邊界上滿足原來的邊界條件，則在所研究的區(qū)域內(nèi)的場即為真實電荷與假想電荷（又稱為鏡像電荷）產(chǎn)生的場的疊加。采用鏡像法可以使這類問題的場解過程變得簡單，但它的應(yīng)用范圍是有限的。 思路 用假想的鏡像電荷代替邊界上的感應(yīng)電荷。 保持求解區(qū)域中場方程和邊界條件不變。 使用范圍：界面幾何形狀較規(guī)范，電荷個數(shù)有限，且離散分布于有限區(qū)域。 步驟 確定鏡像電荷的大小和位置。 去掉界面，按原電荷和鏡像電荷求解所求區(qū)域場。 求解邊界上的感應(yīng)電荷。 求解電場力。 鏡像法應(yīng)用 鏡像法應(yīng)用舉例 1. 無限大接地平面上的點電荷 設(shè)在無限大導(dǎo)體平面（ z=0）附近有一點電荷 q，與平面的距離為 z=h，如圖所示，假設(shè)導(dǎo)電平面的電位為零，求上半空間的電場。 解：顯然，當(dāng)點電荷靠近導(dǎo)體平面時，導(dǎo)體平面上會產(chǎn)生感生電荷，上半空間的電場是點電荷與感生電荷電場的合成的結(jié)果。 考慮到鏡象法的原理，在 z=0的平面之下與 q對稱地放置一個電量為 q的鏡象電荷，顯然，這個鏡象電荷與原來電荷的合成電場滿足無限大導(dǎo)體平面的邊界條件，即無限大導(dǎo)體平面的影響由鏡象電荷 q來代替，上半空間的電場或電位分布就由原來電荷和鏡象電荷的場的疊加得出。如圖所示： 直接求解感生電荷的分布顯然是一個比較困難的問題。 由此得到在上半空間的電位為 求得無限大導(dǎo)體平面上的感生電荷密度： 電場強度： 其
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