注冊(cè)設(shè)備工程師10年培訓(xùn)課件4(編輯修改稿)
2025-02-03 14:21 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 。 當(dāng) 時(shí)， 然后用 和 分別乘上式的兩邊，對(duì) 從 積分，因?yàn)橛疫呏挥? 的余弦項(xiàng)，所以只有 的項(xiàng)的系數(shù)不等于零，其余的項(xiàng)的系數(shù)都為零，所以得到 且當(dāng) 時(shí)， ，得到 ，故柱外區(qū)域的解為 式中 仍為待定常數(shù)。 其次，圓柱內(nèi)的解應(yīng)為 因?yàn)? 處， 必須為有限制，故 通解 中所有 r的冪項(xiàng)都不存在。這一條件為自然邊界條件。 和 為兩個(gè)區(qū)域的電位函數(shù)，它們?cè)诮唤缑嫣幭嚆暯樱瑧?yīng)用介質(zhì)交界面的邊界條件，首先， 時(shí)， 。得到 上式中同樣只有 的余弦項(xiàng)系數(shù)不等于零，即 ，而上式則為 現(xiàn)利用 時(shí)， 得 從以上所得的兩個(gè)方程式，求解得 于是得到圓柱體外和內(nèi)的電位函數(shù)分別為 圓柱體外和內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度變量為 上式中的第二式表示圓柱體內(nèi)的電場(chǎng) 是一個(gè)均勻電場(chǎng)，它的大小和外加均勻場(chǎng) 相比要小，這是由于介質(zhì)圓柱被極化后表面出現(xiàn)束縛電荷，它們的電場(chǎng)在圓柱內(nèi)與外電場(chǎng)方向相反之故。 應(yīng)用條件： 界面形狀適合用球坐標(biāo)系表示。 球坐標(biāo)系中的分離變量法 球坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程（我們只討論場(chǎng)問(wèn)題與 無(wú)關(guān)的情形） 在二維情況下 ， 場(chǎng)在 φ 方向無(wú)變化 ， 此時(shí) 拉氏方程變?yōu)椋? 0?? ?? 2211( ) ( si n ) 0si nrr r r r?? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ? 令 代入，有： 上式中 f(r) 和 已分開(kāi)在兩項(xiàng)中，令分別等于常數(shù) 和 ，得 常微分方程的解 （ 1） 在該式中引入一個(gè)新的自變量 ,于是該式可變?yōu)? 上式稱為勒讓德方程。若我們研究的空間中包含 從 0到 ，即 x從 1到 (1)時(shí)，且取 為 則此時(shí)的勒讓德方程只有一個(gè)有界解，它為 m次多項(xiàng)式，稱為勒讓德多項(xiàng)式，記作 。 (2) 在該式中代入式 后，得 ( 1 )mm? ?? 上式的兩個(gè)解為 和 ，故 于是我們得到電位的解為 ，選坐標(biāo)系，定坐標(biāo)軸。 。 ，將偏微分方程轉(zhuǎn)換為常微分方程。 ，確定解的一般形式。 。 前提 給定邊界與一個(gè)適當(dāng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)面相合，或者分段地與坐標(biāo)面相合。 在坐標(biāo)系中，待求偏微分方程的解可表示為三個(gè)函數(shù)的乘積，其中每個(gè)函數(shù)分別是一個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)。 思路 先將偏微分方程轉(zhuǎn)換為常微分方程，再利用邊界條件求解 。 解題步驟 分離變量法小結(jié) 4． 4 鏡像法 鏡像法的原理 在已知邊界條件，已知電荷分布時(shí)，由于邊界條件和電荷分布相互影響，直接求解泊松方程和拉普拉斯方程是比較困難的。此時(shí)，可在研究的區(qū)域之外，用假想的電荷來(lái)代替原來(lái)的邊界，即：由假想的電荷和原來(lái)的電荷共同產(chǎn)生的場(chǎng)在邊界上滿足原來(lái)的邊界條件，則在所研究的區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)即為真實(shí)電荷與假想電荷（又稱為鏡像電荷）產(chǎn)生的場(chǎng)的疊加。采用鏡像法可以使這類問(wèn)題的場(chǎng)解過(guò)程變得簡(jiǎn)單，但它的應(yīng)用范圍是有限的。 思路 用假想的鏡像電荷代替邊界上的感應(yīng)電荷。 保持求解區(qū)域中場(chǎng)方程和邊界條件不變。 使用范圍：界面幾何形狀較規(guī)范，電荷個(gè)數(shù)有限，且離散分布于有限區(qū)域。 步驟 確定鏡像電荷的大小和位置。 去掉界面，按原電荷和鏡像電荷求解所求區(qū)域場(chǎng)。 求解邊界上的感應(yīng)電荷。 求解電場(chǎng)力。 鏡像法應(yīng)用 鏡像法應(yīng)用舉例 1. 無(wú)限大接地平面上的點(diǎn)電荷 設(shè)在無(wú)限大導(dǎo)體平面（ z=0）附近有一點(diǎn)電荷 q，與平面的距離為 z=h，如圖所示，假設(shè)導(dǎo)電平面的電位為零，求上半空間的電場(chǎng)。 解：顯然，當(dāng)點(diǎn)電荷靠近導(dǎo)體平面時(shí)，導(dǎo)體平面上會(huì)產(chǎn)生感生電荷，上半空間的電場(chǎng)是點(diǎn)電荷與感生電荷電場(chǎng)的合成的結(jié)果。 考慮到鏡象法的原理，在 z=0的平面之下與 q對(duì)稱地放置一個(gè)電量為 q的鏡象電荷，顯然，這個(gè)鏡象電荷與原來(lái)電荷的合成電場(chǎng)滿足無(wú)限大導(dǎo)體平面的邊界條件，即無(wú)限大導(dǎo)體平面的影響由鏡象電荷 q來(lái)代替，上半空間的電場(chǎng)或電位分布就由原來(lái)電荷和鏡象電荷的場(chǎng)的疊加得出。如圖所示： 直接求解感生電荷的分布顯然是一個(gè)比較困難的問(wèn)題。 由此得到在上半空間的電位為 求得無(wú)限大導(dǎo)體平面上的感生電荷密度： 電場(chǎng)強(qiáng)度： 其
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1