【正文】 由此能求出結(jié)果． 【解答】 證明：（ Ⅰ ）連結(jié) AC， ∵ ABCD 是正方形， ∴ BD⊥ AC， ∵ 平面 ABCD⊥ 平面 ADEF， AF⊥ AD，平面 ABCD∩平面 ADEF=AD， ∴ FA⊥ 平面 ADEF， ∴ 平面 ADEF 垂直于平面 ABCD． （ Ⅱ ）作 PS⊥ AB， QT⊥ AD， EM⊥ AD， S， T， M是垂足， 在 △ ABF 中， PS： AF=BP： BF=1： 2， PS= AF， 在直角梯形 ADEF 中， QT= EM= AF， ∴ PS QT， ∴ 四邊形 PSTQ 是平行四邊形， ∴ PQ∥ ST， ∵ ST? 平面 ABCD， ∴ PQ∥ 平面 ABCD． 解：（ Ⅲ ）多面體 ABCDEF 的體積： V 多面體 ABCDEF=VF﹣ ABCD+VC﹣ DEF = = ． 【點評】 本題考查面面垂直、 線面平行的證明，考查多面體的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)． 21．函數(shù) f（ x） =x2+mln（ x+1）． （ 1）若函數(shù) f（ x）是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù) m 的取值范圍； （ 2）若 m=﹣ 1，試比較當(dāng) x∈ （ 0， +∞）時， f（ x）與 x3的大小； （ 3）證明：對任意的正整數(shù) n，不等式 e0+e﹣ 1 4+e﹣ 2 9+…+e ＜ 成立． 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；不等式的證明． 【分析】 （ 1）分 f′（ x） ≥ 0 或 f′（ x） ≤ 0 在（﹣ 1， +∞）上恒成立兩種情況； （ 2）令 m=﹣ 1，通過求導(dǎo)，得 g（ x） =f（ x）﹣ x3在（ 0， +∞）上單調(diào)遞減，從而得證； （ 3）由（ 2）可知 x2﹣ x3＜ ln（ x+1）（ x∈ （ 0， +∞）），變形為 （ x∈ （ 0， +∞）），相加計算即可． 【解答】 解：（ 1）根據(jù)題意，由 = ， 可知 f′（ x） ≥ 0 或 f′（ x） ≤ 0 在（﹣ 1， +∞）上恒成立． 下面分兩種情況討論： ①當(dāng) f′（ x） = ≥ 0 在（﹣ 1， +∞）上恒成立時， 有 m≥ 在（﹣ 1， +∞）上恒成立，故 m≥ ； ②當(dāng) f′（ x） = ≤ 0 在（﹣ 1， +∞）上恒成立時， 有 m≤ 在（﹣ 1， +∞）上恒成立． ∵ 在（﹣ 1， +∞）上沒有最小值， ∴ 不存在實數(shù) m 使 f′（ x） ＜ 0 在（﹣ 1， +∞）上恒成立． 綜上所述，實數(shù) m 的取值范圍是 [ ）； （ 2）當(dāng) m=﹣ 1 時，即函數(shù) f（ x） =x2﹣ ln（ x+1）． 令 g（ x） =f（ x）﹣ x3=﹣ x3+x2﹣ ln（ x+1）， 則 = ， 顯然，當(dāng) x∈ （ 0， +∞）時， g′（ x） ＜ 0，即函數(shù) g（ x）在（ 0， +∞）上單調(diào)遞減， 又因為 g（ 0） =0，所以當(dāng) x∈ （ 0， +∞）時，恒有 g（ x） ＜ g（ 0） =0， 即 f（ x）﹣ x3＜ 0 恒成立，故當(dāng) x∈ （ 0， +∞）時，有 f（ x） ＜ x3． （ 3）由（ 2）可知 x2﹣ x3＜ ln（ x+1）（ x∈ （ 0， +∞））， 所以 ，即 （ x∈ （ 0， +∞））， 當(dāng) x取自然數(shù)時，有 （ n∈ N*）， 所以 e0+e﹣ 1 4+e﹣ 2 9+…+e ＜ （ 1+1） +（ 2+1） +（ 3+1） +…+（ n+1） =1 n+1+2+3+4+…+n = = ． 【點評】 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及 函數(shù)單調(diào)區(qū)間等有關(guān)基礎(chǔ)知識，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法及推理和運(yùn)算能力． 22．已知函數(shù) f（ x） =x+alnx，在 x=1 處的切線與直線 x+2y=0 垂直，函數(shù)． （ 1）求實數(shù) a 的值； （ 2）設(shè) x1， x2（ x1＜ x2）是函數(shù) g（ x）的兩個極值點，若 ，求 g（ x1）﹣ g（ x2）的最小值． 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程． 【分析】 （ 1 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線與已知直線垂直，列出方程，即可求解 a 的值． （ 2）求出 g39。 且 ， 得 ，即 ， ∴ ， 得 ，解得 | |=0 或 | |=2． 故答案為： 0 或 2． 【點評】 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了向量模的求法，是基礎(chǔ)題． 14．在等式 + + =1 的分母上的三個括號中各填入一個正整數(shù)，使得該等式成立，則所填三個正整數(shù)的和的最小值是 64 ． 【考點】 基本不等式． 【分析】 設(shè)依次填入的三個數(shù)分別為 x、 y、 z，根據(jù)柯西不等式，即可得到（ x+y+z）（ + + ）≥ （ 1+3+4） 2=64，問題得以解決． 【解答】 解：設(shè)依次填入的三個數(shù)分別為 x、 y、 z，則 根據(jù) 柯西不等式，得 （ x+y+z）（ + + ） ≥ （ 1+3+4） 2=64． ∴ x=8， y=24， z=32 時，所求最小值為 64． 故答案為： 64． 【點評】 本題考察了柯西不等式，掌握柯西不等式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題． 15．如圖所示，正方體 ABCD﹣ A′B′C′D′的棱長為 1， E， F 分別是棱 AA′， CC′的中點，過直線 EF 的平面分別與棱 BB′、 DD′分別交于 M， N兩點，設(shè) BM=x， x∈ [0， 1]，給出以下四個結(jié)論： ①平面 MENF⊥ 平面 BDD′B′； ②直線 AC∥ 平面 MENF 始終成立； ③四邊形 MENF 周長 L=f（ x）， x∈ [0， 1]是單調(diào)函數(shù)； ④四棱錐 C′﹣ MENF 的體積 V=h（ x）為常數(shù)； 以上結(jié)論正確的是 ①②④ ． 【考點】 命題的真假判斷與應(yīng)用；棱柱的結(jié)構(gòu)特征． 【分析】 利用直線與平面垂直的判定定理判斷 ①的正誤；直線與平行判斷 ②的正誤；分析說明函數(shù)的單調(diào)性判斷 ③的正誤；求出幾何體的體積即可判斷 ④的正誤． 【解答】 解：對于 ①：顯然， EF⊥ BD，又 EF⊥ DD′， ∴ EF⊥ 平面 BDD′B′， ∴ 平面 MENF⊥ 平面 BDD′B′； ∴ ①正確； 對于 ②：由已知條件， E、 F 是所在棱的中點，則 EF∥ ac，且 EF?平面 MENF， AC?平面MENF， ∴ 直線 AC∥ 平面 MENF 始終成立， 故 ②正確； 對于 ③： M 在 A時， N 在 D′， MENF 的周長最大， MN在所在棱的中點時， MENF 的周長最小， M 在 B′， N 在 B 時， MENF 的周長最大， 四邊形 MENF 周長 L=f（ x）， x∈ [0， 1]不是單調(diào)函數(shù)． 故 ③不正確； 對于 ④：連結(jié) C′E， C′M， C′N，則四棱錐則分割為兩個小三棱錐， 它們以 C′EF 為底，以 M， N 分別為頂點的兩個小棱錐． 因為三角形 C′EF 的面積是個常數(shù)． M， N 到平面 C39。（ x） =f（ x） +xf′（ x） ＞ 0， ∴ 此時函數(shù) h（ x）單調(diào)遞增． ∵ a= f（ ） =h（ ）， b=﹣ 2f（﹣ 2） =2f（ 2） =h（ 2）， c=（ ln ） f（ ln ） =h（ ln ）