【正文】 3n+1） =n3n+n， ∴ Tn=c1+c2+c3+…+=（ 1 3+2 32+3 33+…+n 3n） +（ 1+2+…+n） 令 Hn=1 3+2 32+3 33+…+n 3n， ① 則 3Hn=1 32+2 33+3 34+…+n 3n+1② ①﹣ ②得：﹣ 2Hn=3+32+33+…+3n﹣ n 3n+1 = ∴ ， … ∴ 數(shù)列 {}的前 n 項和 … 【點評】 本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項，結合含兩個變量的不等式的處理問題，對數(shù)學思維的要求比較高，要求學生理解 “存在 ”、 “恒成立 ”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索 性．綜合性強，難度大，易出錯．解題時要認真審題，注意錯位相減法的靈活運用． 20．如圖，多面體 ABCDEF 中，四邊形 ABCD 是邊長為 2a 的正方形， BD⊥ CF，且 FA⊥AD， EF∥ AD， EF=AF=a． （ Ⅰ ）求證：平面 ADEF 垂直于平面 ABCD； （ Ⅱ ）若 P、 Q 分別為棱 BF 和 DE 的中點，求證： PQ∥ 平面 ABCD； （ Ⅲ ）求多面體 ABCDEF 的體積． 【考點】 棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面垂直的判定． 【分析】 （ Ⅰ ）連結 AC，推導出 BD⊥ AC，從而 FA⊥ 平面 ADEF，由此能證明平面 ADEF垂直于平面 ABCD． （ Ⅱ ）作 PS⊥ AB， QT⊥ AD， EM⊥ AD， S， T， M是垂足，推導出四邊形 PSTQ是平行四邊形，從而 PQ∥ ST，由此能證明 PQ∥ 平面 ABCD． （ Ⅲ ）多面體 ABCDEF 的體積 V 多面體 ABCDEF=VF﹣ ABCD+VC﹣ DEF，由此能求出結果． 【解答】 證明：（ Ⅰ ）連結 AC， ∵ ABCD 是正方形， ∴ BD⊥ AC， ∵ 平面 ABCD⊥ 平面 ADEF， AF⊥ AD，平面 ABCD∩平面 ADEF=AD， ∴ FA⊥ 平面 ADEF， ∴ 平面 ADEF 垂直于平面 ABCD． （ Ⅱ ）作 PS⊥ AB， QT⊥ AD， EM⊥ AD， S， T， M是垂足， 在 △ ABF 中， PS： AF=BP： BF=1： 2， PS= AF， 在直角梯形 ADEF 中， QT= EM= AF， ∴ PS QT， ∴ 四邊形 PSTQ 是平行四邊形， ∴ PQ∥ ST， ∵ ST? 平面 ABCD， ∴ PQ∥ 平面 ABCD． 解：（ Ⅲ ）多面體 ABCDEF 的體積： V 多面體 ABCDEF=VF﹣ ABCD+VC﹣ DEF = = ． 【點評】 本題考查面面垂直、 線面平行的證明，考查多面體的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)． 21．函數(shù) f（ x） =x2+mln（ x+1）． （ 1）若函數(shù) f（ x）是定義域上的單調函數(shù)，求實數(shù) m 的取值范圍； （ 2）若 m=﹣ 1，試比較當 x∈ （ 0， +∞）時， f（ x）與 x3的大??； （ 3）證明：對任意的正整數(shù) n，不等式 e0+e﹣ 1 4+e﹣ 2 9+…+e ＜ 成立． 【考點】 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；不等式的證明． 【分析】 （ 1）分 f′（ x） ≥ 0 或 f′（ x） ≤ 0 在（﹣ 1， +∞）上恒成立兩種情況； （ 2）令 m=﹣ 1，通過求導，得 g（ x） =f（ x）﹣ x3在（ 0， +∞）上單調遞減，從而得證； （ 3）由（ 2）可知 x2﹣ x3＜ ln（ x+1）（ x∈ （ 0， +∞）），變形為 （ x∈ （ 0， +∞）），相加計算即可． 【解答】 解：（ 1）根據(jù)題意，由 = ， 可知 f′（ x） ≥ 0 或 f′（ x） ≤ 0 在（﹣ 1， +∞）上恒成立． 下面分兩種情況討論： ①當 f′（ x） = ≥ 0 在（﹣ 1， +∞）上恒成立時， 有 m≥ 在（﹣ 1， +∞）上恒成立，故 m≥ ； ②當 f′（ x） = ≤ 0 在（﹣ 1， +∞）上恒成立時， 有 m≤ 在（﹣ 1， +∞）上恒成立． ∵ 在（﹣ 1， +∞）上沒有最小值， ∴ 不存在實數(shù) m 使 f′（ x） ＜ 0 在（﹣ 1， +∞）上恒成立． 綜上所述，實數(shù) m 的取值范圍是 [ ）； （ 2）當 m=﹣ 1 時，即函數(shù) f（ x） =x2﹣ ln（ x+1）． 令 g（ x） =f（ x）﹣ x3=﹣ x3+x2﹣ ln（ x+1）， 則 = ， 顯然，當 x∈ （ 0， +∞）時， g′（ x） ＜ 0，即函數(shù) g（ x）在（ 0， +∞）上單調遞減， 又因為 g（ 0） =0，所以當 x∈ （ 0， +∞）時，恒有 g（ x） ＜ g（ 0） =0， 即 f（ x）﹣ x3＜ 0 恒成立，故當 x∈ （ 0， +∞）時，有 f（ x） ＜ x3． （ 3）由（ 2）可知 x2﹣ x3＜ ln（ x+1）（ x∈ （ 0， +∞））， 所以 ，即 （ x∈ （ 0， +∞））， 當 x取自然數(shù)時，有 （ n∈ N*）， 所以 e0+e﹣ 1 4+e﹣ 2 9+…+e ＜ （ 1+1） +（ 2+1） +（ 3+1） +…+（ n+1） =1 n+1+2+3+4+…+n = = ． 【點評】 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，以及 函數(shù)單調區(qū)間等有關基礎知識，應用導數(shù)研究函數(shù)單調性的方法及推理和運算能力． 22．已知函數(shù) f（ x） =x+alnx，在 x=1 處的切線與直線 x+2y=0 垂直，函數(shù)． （ 1）求實數(shù) a 的值； （ 2）設 x1， x2（ x1＜ x2）是函數(shù) g（ x）的兩個極值點，若 ，求 g（ x1）﹣ g（ x2）的最小值． 【考點】 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程． 【分析】 （ 1 求出函數(shù)的導數(shù)，利用切線與已知直線垂直，列出方程，即可求解 a 的值． （ 2）求出 g39。 且 ， 得 ，即 ， ∴ ， 得 ，解得 | |=0 或 | |=2． 故答案為： 0 或 2． 【點評】 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了向量模的求法，是基礎題． 14．在等式 + + =1 的分母上的三個括號中各填入一個正整數(shù)，使得該等式成立，則所填三個正整數(shù)的和的最小值是 64 ． 【考點】 基本不等式． 【分析】 設依次填入的三個數(shù)分別為 x、 y、 z，根據(jù)柯西不等式，即可得到（ x+y+z）（ + + ）≥ （ 1+3+4） 2=64，問題得以解決． 【解答】 解：設依次填入的三個數(shù)分別為 x、 y、 z，則 根據(jù) 柯西不等式，得 （ x+y+z）（ + + ） ≥ （ 1+3+4） 2=64． ∴ x=8， y=24， z=32 時，所求最小值為 64． 故答案為： 64． 【點評】 本題考察了柯西不等式，掌握柯西不等式是關鍵，屬于基礎題． 15．如圖所示，正方體 ABCD﹣ A′B′C′D′的棱長為 1， E， F 分別是棱 AA′， CC′的中點，過直線 EF 的平面分別與棱 BB′、 DD′分別交于 M， N兩點，設 BM=x， x∈ [0， 1]，給出以下四個結論： ①平面 MENF⊥ 平面 BDD′B′； ②直線 AC∥ 平面 MENF 始