【正文】 ⊥ AB， QT⊥ AD， EM⊥ AD， S， T， M是垂足，推導(dǎo)出四邊形 PSTQ是平行四邊形，從而 PQ∥ ST，由此能證明 PQ∥ 平面 ABCD． （ Ⅲ ）多面體 ABCDEF 的體積 V 多面體 ABCDEF=VF﹣ ABCD+VC﹣ DEF，由此能求出結(jié)果． 【解答】 證明：（ Ⅰ ）連結(jié) AC， ∵ ABCD 是正方形， ∴ BD⊥ AC， ∵ 平面 ABCD⊥ 平面 ADEF， AF⊥ AD，平面 ABCD∩平面 ADEF=AD， ∴ FA⊥ 平面 ADEF， ∴ 平面 ADEF 垂直于平面 ABCD． （ Ⅱ ）作 PS⊥ AB， QT⊥ AD， EM⊥ AD， S， T， M是垂足， 在 △ ABF 中， PS： AF=BP： BF=1： 2， PS= AF， 在直角梯形 ADEF 中， QT= EM= AF， ∴ PS QT， ∴ 四邊形 PSTQ 是平行四邊形， ∴ PQ∥ ST， ∵ ST? 平面 ABCD， ∴ PQ∥ 平面 ABCD． 解：（ Ⅲ ）多面體 ABCDEF 的體積： V 多面體 ABCDEF=VF﹣ ABCD+VC﹣ DEF = = ． 【點評】 本題考查面面垂直、 線面平行的證明，考查多面體的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)． 21．函數(shù) f（ x） =x2+mln（ x+1）． （ 1）若函數(shù) f（ x）是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù) m 的取值范圍； （ 2）若 m=﹣ 1，試比較當 x∈ （ 0， +∞）時， f（ x）與 x3的大?。? （ 3）證明：對任意的正整數(shù) n，不等式 e0+e﹣ 1 4+e﹣ 2 9+…+e ＜ 成立． 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；不等式的證明． 【分析】 （ 1）分 f′（ x） ≥ 0 或 f′（ x） ≤ 0 在（﹣ 1， +∞）上恒成立兩種情況； （ 2）令 m=﹣ 1，通過求導(dǎo)，得 g（ x） =f（ x）﹣ x3在（ 0， +∞）上單調(diào)遞減，從而得證； （ 3）由（ 2）可知 x2﹣ x3＜ ln（ x+1）（ x∈ （ 0， +∞）），變形為 （ x∈ （ 0， +∞）），相加計算即可． 【解答】 解：（ 1）根據(jù)題意，由 = ， 可知 f′（ x） ≥ 0 或 f′（ x） ≤ 0 在（﹣ 1， +∞）上恒成立． 下面分兩種情況討論： ①當 f′（ x） = ≥ 0 在（﹣ 1， +∞）上恒成立時， 有 m≥ 在（﹣ 1， +∞）上恒成立，故 m≥ ； ②當 f′（ x） = ≤ 0 在（﹣ 1， +∞）上恒成立時， 有 m≤ 在（﹣ 1， +∞）上恒成立． ∵ 在（﹣ 1， +∞）上沒有最小值， ∴ 不存在實數(shù) m 使 f′（ x） ＜ 0 在（﹣ 1， +∞）上恒成立． 綜上所述，實數(shù) m 的取值范圍是 [ ）； （ 2）當 m=﹣ 1 時，即函數(shù) f（ x） =x2﹣ ln（ x+1）． 令 g（ x） =f（ x）﹣ x3=﹣ x3+x2﹣ ln（ x+1）， 則 = ， 顯然，當 x∈ （ 0， +∞）時， g′（ x） ＜ 0，即函數(shù) g（ x）在（ 0， +∞）上單調(diào)遞減， 又因為 g（ 0） =0，所以當 x∈ （ 0， +∞）時，恒有 g（ x） ＜ g（ 0） =0， 即 f（ x）﹣ x3＜ 0 恒成立，故當 x∈ （ 0， +∞）時，有 f（ x） ＜ x3． （ 3）由（ 2）可知 x2﹣ x3＜ ln（ x+1）（ x∈ （ 0， +∞））， 所以 ，即 （ x∈ （ 0， +∞））， 當 x取自然數(shù)時，有 （ n∈ N*）， 所以 e0+e﹣ 1 4+e﹣ 2 9+…+e ＜ （ 1+1） +（ 2+1） +（ 3+1） +…+（ n+1） =1 n+1+2+3+4+…+n = = ． 【點評】 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及 函數(shù)單調(diào)區(qū)間等有關(guān)基礎(chǔ)知識，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法及推理和運算能力． 22．已知函數(shù) f（ x） =x+alnx，在 x=1 處的切線與直線 x+2y=0 垂直，函數(shù)． （ 1）求實數(shù) a 的值； （ 2）設(shè) x1， x2（ x1＜ x2）是函數(shù) g（ x）的兩個極值點，若 ，求 g（ x1）﹣ g（ x2）的最小值． 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程． 【分析】 （ 1 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線與已知直線垂直，列出方程，即可求解 a 的值． （ 2）求出 g39。 sin270176。 且 ，求 ． 14．在等式 + + =1 的分母上的三個括號中各填入一個正整數(shù)，使得該等式成立，則所填三個正整數(shù)的和的最小值是 ． 15．如圖所示，正方體 ABCD﹣ A′B′C′D′的棱長為 1， E， F 分別是棱 AA′， CC′的中點，過直線 EF 的平面分別與棱 BB′、 DD′分別交于 M， N兩點，設(shè) BM=x， x∈ [0， 1]，給出以下四個結(jié)論： ①平面 MENF⊥ 平面 BDD′B′； ②直線 AC∥ 平面 MENF 始終成立； ③四邊形 MENF 周長 L=f（ x）， x∈ [0， 1]是單調(diào) 函數(shù)； ④四棱錐 C′﹣ MENF 的體積 V=h（ x）為常數(shù)； 以上結(jié)論正確的是 ． 16．關(guān)于 x的不等式（ ax﹣ 1）（ lnx+ax） ≥ 0 在（ 0， +∞）上恒成立，則實數(shù) a 的取值范圍是 ． 三、解答題（共 6 小題，滿分 70 分） 17．已知銳角三角形 ABC 中內(nèi)角 A、 B、 C 的對邊分別為 a， b， c， a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB． （ 1）求角 C 的值； （ 2）設(shè)函數(shù) ，且 f（ x）圖象上相鄰兩最高點間的距離為 π，求 f（ A）的取值范圍 ． 18．已知命題 p：函數(shù) f（ x） =x2+ax﹣ 2 在 [﹣ 2， 2]內(nèi)有且僅有一個零點．命題 q： x2+ax+2≤ 0 在區(qū)間 [1， 2]內(nèi)有解．若命題 “p 且 q”是假命題，求實數(shù) a 的取值范圍． 19．已知數(shù)列 {an}的前 n 項和為 Sn，且 Sn=n（ n+1）（ n∈ N*）． （ Ⅰ ）求數(shù)列 {an}的通項公式； （ Ⅱ ）若數(shù)列 {bn}滿足： ，求數(shù)列 {bn}的通項公式； （ Ⅲ ）令 （ n∈ N*），求數(shù)列 {}的前 n 項和 Tn． 20．如圖，多面體 ABCDEF 中，四邊形 ABCD 是邊長為 2a 的正方形， BD⊥ CF，且 FA⊥AD， EF∥ AD， EF=AF=a． （ Ⅰ ）求證：平面 ADEF 垂直于平面 ABCD； （ Ⅱ ）若 P、 Q 分別為棱 BF 和 DE 的中點，求證： PQ∥ 平面 ABCD； （ Ⅲ ）求多面體 ABCDEF 的體積． 21．函數(shù) f（ x） =x2+mln（ x+1）． （ 1）若函數(shù) f（ x）是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù) m 的取值范圍； （ 2）若 m=﹣ 1，試比較當 x∈ （ 0， +∞）時， f（ x）與 x3的大小； （ 3）證明：對任意的正整數(shù) n，不等式 e0+e﹣ 1 4+e﹣ 2 9+…+e ＜ 成立． 22．已知函數(shù) f（ x） =x+alnx，在 x=1 處的切線與直線 x+2y=0 垂直，函數(shù)． （