導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的切線及函數(shù)零點(diǎn)問題-文庫吧資料
2024-08-18 05:46本頁面
【正文】 【 訓(xùn)練 1 】 已知函數(shù) f ( x ) ＝ x3－ x . ( 1 ) 設(shè) M ( λ 0 ， f ( λ 0 )) 是函數(shù) f ( x ) 圖象上的一點(diǎn) ， 求點(diǎn) M 處的切線方程； ( 2 ) 證明：過點(diǎn) N ( 2 ， 1 ) 可以作曲線 f ( x ) ＝ x3－ x 的三條切 線 . ( 1 ) 解 因?yàn)?f ′ ( x ) ＝ 3 x2－ 1. 所以曲線 f ( x ) ＝ x3－ x 在點(diǎn) M ( λ0， f ( λ0)) 處的切線的斜率為 k ＝ f ′ ( λ0)＝ 3 λ20－ 1. 所以切線方程為 y － ( λ30－ λ0) ＝ ( 3 λ20－ 1 )( x － λ0) ， 即 y ＝ ( 3 λ20－ 1 ) x － 2 λ30. ( 2 ) 證明 由 ( 1 ) 知曲線 f ( x ) ＝ x3－ x 在點(diǎn) ( λ ， f ( λ )) 處的切線的方程為 y ＝ ( 3 λ2－ 1 ) x － 2 λ3. 若切線過點(diǎn) N ( 2 ， 1 ) ， 則 1 ＝ 2 ( 3 λ2－ 1 ) － 2 λ3， 即 2 λ3－ 6 λ2＋ 3 ＝ 0. 真題感悟 考點(diǎn)整合 熱點(diǎn)聚焦 題型突破 歸納總結(jié) 思維升華 當(dāng) x變化時(shí)， g(x)與 g′(x)的變化情況如下： x (－ ∞ ， 0) 0 (0， 1) 1 (1，＋ ∞ ) g′(x) ＋ 0 － 0 ＋ g(x) t＋ 3 t＋ 1 所以 ， g(0)＝ t＋ 3是 g(x)的極大值 ， g(1)＝ t＋ 1是 g(x)的極小值 . 當(dāng) g(0)＝ t＋ 3≤ 0， 即 t≤ － 3時(shí) ， 此時(shí) g(x)在區(qū)間 (－ ∞ ， 1]和 [1，＋ ∞ )上分別至多有 1個零點(diǎn) ， 所以 g(x)至多有 2個零點(diǎn) . 當(dāng) g(1)＝ t＋ 1≥ 0， 即 t≥ － 1時(shí) ， 此時(shí) g(x)在區(qū)間 (－ ∞ ， 0)和 [0，＋ ∞ )上分別至多有 1個零點(diǎn) ， 所以 g(x)至多有 2個零點(diǎn) . 真題感悟 考點(diǎn)整合 熱點(diǎn)聚焦 題型突破 歸納總結(jié) 思維升華 【 例 1 － 2 】 已知函數(shù) f ( x ) ＝ 2 x3－ 3 x . ( 1 ) 求 f ( x ) 在區(qū)間 [ － 2 ， 1 ] 上的最大值； ( 2 ) 若過點(diǎn) P ( 1 ， t ) 存在 3 條直線與曲線 y ＝ f ( x ) 相切 ， 求 t 的取值范 圍 . [微題型 2] 綜合考查曲線的切線問題 解 ( 1 ) 由 f ( x ) ＝ 2 x3－ 3 x 得 f ′ ( x ) ＝ 6 x2－ 3. 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ， 得 x ＝－22或 x ＝22. 因?yàn)?f ( － 2 ) ＝－ 10 ， f ??????－22＝ 2 ， f ??????22＝－ 2 ， f ( 1 ) ＝－ 1 ， 所以 f ( x ) 在區(qū)間 [ － 2 ， 1 ] 上的最大值為 f ??????－22＝ 2 . 真題感悟 考點(diǎn)整合 熱點(diǎn)聚焦 題型突破 歸納總結(jié) 思維升華 解析 ( 1 ) 設(shè) y ＝ f ( x ) ＝ x ex， 由 y ′＝ ex＋ x ex＝ ex( 1 ＋ x ) ＝ 0 ， 得 x ＝－ 1. 當(dāng) x ＜－ 1 時(shí) ， y ′＜ 0 ；當(dāng) x＞－ 1 時(shí) ， y ′＞ 0 ， 故 x ＝－ 1 為函數(shù) f ( x ) 的極值點(diǎn) ， 切線斜率為 0 ，又 f ( － 1 ) ＝－ e－ 1＝－1e， 故切點(diǎn)坐標(biāo)為??????－ 1 ， －1e， 切線方程為 y＋1e＝ 0 ( x ＋ 1 ) ， 即 y ＝ －1e. ( 2 ) f ′ ( x ) ＝ 3 ax2＋ 1 ， f ′ ( 1 ) ＝ 1 ＋ 3 a ， f ( 1 ) ＝ a ＋ 2. ( 1 ， f ( 1 )) 處的切線方程為 y － ( a ＋ 2 ) ＝ ( 1 ＋ 3 a )( x － 1 ) . 將 ( 2 ， 7 ) 代入切線方程 ， 得 7 － ( a ＋ 2 ) ＝ ( 1 ＋ 3 a ) ， 解得 a ＝ 1. 答案 ( 1 ) y ＝－ 1e ( 2 ) 1 真題感悟 考點(diǎn)整合 熱點(diǎn)聚焦 陜西卷 ) 函數(shù) y ＝ x ex在其極值點(diǎn)處的切線方程為 ________ . ( 2 ) ( 2022 題型突破 歸納總結(jié) 思維升華 (1)數(shù)形結(jié)合法 ， 通過畫出兩個函數(shù)圖象 ， 研究圖形交點(diǎn)個數(shù)得出答案 . (2)函數(shù)與方程法，通過構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)得出兩曲線交點(diǎn)的個數(shù) . 真題感悟 考點(diǎn)整合 熱點(diǎn)聚焦 題型突破 歸納總結(jié) 思維升華 考 點(diǎn) 整 合 1 . 求 曲線 y
黨政相關(guān)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1