圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題-文庫(kù)吧資料
2025-07-31 00:12本頁(yè)面
【正文】 PB，只要證PE＝PF。分析：由已知可得PE2＝PA求證：圖9小結(jié)：有關(guān)切線的判定，主要有兩個(gè)類(lèi)型，若要判定的直線與已知圓有公共點(diǎn)，可采用“連半徑證垂直”的方法；若要判定的直線與已知圓的公共點(diǎn)沒(méi)有給出，可采用“過(guò)圓心作垂線，證垂線段等于半徑”的方法。 ∴△BED≌△FCD，∴BE＝FC ∴AB是⊙D的切線，∴AB＝AF ∴AC是⊙D的切線 ∵AD是∠BAC的平分線，DB⊥AB，∴DB＝DF （2）AB＋EB＝AC分析：（1）欲證AC與⊙D相切，只要證圓心D到AC的距離等于⊙D的半徑BD。圖8求證：（1）AC是⊙D的切線； 例8. 已知：如圖8，在Rt△ABC中，∠B＝90176。 ∴ ∴AB＝AD＋DB＝5 又∵CD⊥AB ∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90176。 ∴AC：BC＝PA：PC ∵PC切半圓O于C點(diǎn)，∴∠PCA＝∠B圖7圖6－4圖6－5 另外，通過(guò)對(duì)此例題的分析和證明可知，圖6－4中隱含著很多圖形的性質(zhì)，如相等的銳角、相等的線段、相等的弧及相似三角形等等，為此可將圖6－4分解成三個(gè)基本圖形。小結(jié)：此例題證明∠CDB＝∠EDB，即證明BD是∠CDE的平分線，由此證明可以聯(lián)想到AD也是∠GDE的平分線。 ∵DE⊥AB，∴∠EDB＝∠A證明：連結(jié)AD，如圖6，∵AB是直徑，∴∠ADB＝90176。如圖6－2，只要延長(zhǎng)DE交⊙O于F，則可得到相等的線段，相等的??；（3）構(gòu)造與射影定理相關(guān)的基本圖形。由DE⊥AB于E，聯(lián)想到以下一些性質(zhì)：（1）Rt△DEB中兩銳角互余，即∠EDB＋∠EBD＝90176。如圖6，CD2＝CB如圖6－1，若連結(jié)OD，則OD⊥CD；（2）弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。如圖6－2，若延長(zhǎng)DE交⊙O于F，則可得DE＝EF，；（3）過(guò)直徑外端的切線與直徑垂直。圖6－3（1）直徑上的圓周角是直角。分析：由AB是⊙O的直徑，聯(lián)想到直徑的三個(gè)性質(zhì)：圖6－1 例6. 已知：如圖6，AB是⊙O的直徑，C是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CG切⊙O于D，DE⊥AB于E。（1）有關(guān)概念：三角形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心、圓的外切三角形、多邊形的內(nèi)切圓、圓的外切多邊形；（4）推論（3）切割線定理（2）推論（1）相交弦定理 如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等；（1）弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角； 4. 切線長(zhǎng)定理 此定理及推論可理解為以下三個(gè)條件中任知其中兩個(gè)就可推出第三個(gè)：①垂直于切線；②經(jīng)過(guò)切點(diǎn)；③經(jīng)過(guò)圓心。 經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。 經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)； （1）圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑； 2. 切線的判定（二）直線與圓的關(guān)系ED，∴CE2＝EF ∴△BED∽△FEB ∴∠ACB＝∠DBC，∴BD∥AC ∴BE＝CE，且∠ABE＝∠ACE如圖5－3圖5－3ED ∴BE2＝EF ∴△ABE≌△ACE，∴∠ABE＝∠ACD＝∠BDC ∵CD＝AB，∴ （2）連結(jié)BD，BE，AC（如圖5－2）圖5－2 ∴∠ECN＝∠MBN，又AM⊥BC，∴CN＝BN證明：（1）連結(jié)BM（如圖5－1）圖5－1ED；（3）如果弦CD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，并且與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，且CD＝AB，那么（2）的結(jié)論是否仍成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。例5. 已知：如圖5，AM是⊙O的直徑，過(guò)⊙O上一點(diǎn)B作BN⊥AM，垂足為N，其延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)C，弦CD交AM于點(diǎn)E。ED小結(jié)：四邊形內(nèi)接于圓這一條件，常常不是在已知條件中明確給出的，而是隱含在圖形之中，在分析已知條件時(shí)，千萬(wàn)不要忽略這一重要條件。 ∴，∴AE ∴∠DCA＝∠CEA，∴∠FED＝∠CEA ∴∠FDE＝∠CAE，∠FED＝∠DCA證明：連結(jié)ACEF＝ECEF＝EC 例4. 已知：如圖4，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，F(xiàn)是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AF交⊙O于E。 在Rt△ADB中，AD＝DO＋AO＝6＋2＝8 ∵BO＝6，OD＝2略解：（1）假若∠A是銳角，△ABC是銳角三角形。例3. 已知：如圖3，△ABC內(nèi)接于⊙O且AB＝AC，⊙O的半徑等于6cm，O點(diǎn)到BC的距離OD等于2cm，求AB的長(zhǎng)?！嗟亩葦?shù)為50176。∠B＝25176。 解法三：（用圓心角求）如圖2－3，連結(jié)CD圖2－3 ∴的度數(shù)為50176?！唷螮＝∠B＝25176。 ∵∠ACB＝90176。 ∵AE是直徑，∴∠ADE＝90176。 ∴的度數(shù)為25176?！唷螰CA＝25176。 又∵∠ACB＝90176。圖2－1
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