圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題(更新版)
【正文】 點(diǎn)；ED，∴CE2＝EF ∴BE＝CE，且∠ABE＝∠ACE ∵CD＝AB，∴ED；（3）如果弦CD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，并且與AB的延長線交于點(diǎn)F，且CD＝AB，那么（2）的結(jié)論是否仍成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。證明：連結(jié)AC例3. 已知：如圖3，△ABC內(nèi)接于⊙O且AB＝AC，⊙O的半徑等于6cm，O點(diǎn)到BC的距離OD等于2cm，求AB的長。 解法三：（用圓心角求）如圖2－3，連結(jié)CD圖2－3∴∠E＝∠B＝25176。 ∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2求MN的長。 例1. 已知：如圖1，在⊙O中，半徑OM⊥弦AB于點(diǎn)N。 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。 此定理和推論可以理解成：在同圓或等圓中，滿足下面四個(gè)條件中的任何一個(gè)就能推出另外三個(gè)：①兩個(gè)圓心角相等；②兩個(gè)圓心角所對(duì)的弧相等；③兩個(gè)圓心角或兩條弧所對(duì)的弦相等；④兩條弦的弦心距相等。 推論2 （3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。 不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。 圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形； 圓的內(nèi)接三角形、三角形的外接圓、三角形的外心、圓內(nèi)接多邊形、多邊形的外接圓；圓心角、圓周角、圓內(nèi)接四邊形的外角。 圓具有旋轉(zhuǎn)不變性。 5. 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系 推論的圓周角所對(duì)的弦是直徑； 圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半。軌跡 ∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1 ∵ON＝OA以點(diǎn)C為圓心、AC為半徑作⊙C，交AB于點(diǎn)D，求的度數(shù)。∴的度數(shù)為50176。 ∵∠ACB＝90176。如圖3，由AB＝AC，可知點(diǎn)A是優(yōu)弧的中點(diǎn)，因?yàn)镺D⊥BC且AB＝AC，根據(jù)垂徑定理推論可知，DO的延長線必過點(diǎn)A，連結(jié)BO求證：AE ∵四邊形DEAC內(nèi)接于圓EF＝EC ∴∠ACD＝∠BDC，又AB＝AC，AE＝AE 又∵AB＝CD，∴ 1. 直線與圓的位置關(guān)系直線和圓的位置相離相切相交公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)012公共點(diǎn)名稱無切點(diǎn)交點(diǎn)直線名稱無切線割線圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系 （3）推論2從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。 6. 和圓有關(guān)的比例線段 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等。圖6 由CD是⊙O的切線，聯(lián)想到切線的三個(gè)性質(zhì)：（1）過切點(diǎn)的半徑垂直于切線。即連結(jié)AD，則可得到△ADB是直角三角形，DE是斜邊上的高，又可得到兩對(duì)相等的銳角，三個(gè)相似的三角形，還可運(yùn)用射影定理、勾股定理、面積公式等。 ∵CD是⊙O的切線，∴∠CDB＝∠A，∴∠CDB＝∠EDB此例題還有許多證法，比如連結(jié)OD，如圖6－1，利用切線的定義；又比如延長DE交⊙O于F，連結(jié)BF，如圖6－2，利用垂徑定理；還可以過點(diǎn)B作⊙O的切線交CD于點(diǎn)M，如圖6－3，利用切線長定理，等等，這諸多證法，讀者不妨試證之。例7. 已知：如圖7，點(diǎn)P是半圓O的直徑BA延長線上的點(diǎn)，PC切半圓于C點(diǎn)，CD⊥AB于D點(diǎn)，若PA：PC＝1：2，DB＝4，求tan∠PCA及PC的長。 ∴ ∵ ∵在Rt△BED和Rt△FCD中，ED＝CD，BD＝FD此例題屬于后一類PB，因此要證PF2＝PA ∴∠CED＝90176。 ∵PE2＝PA ∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴，∴∠CAB＝∠AEC ∴∠AGC＝∠ADB＝90176。 ∴∠DAE＝∠FACAF ∴∠ACB＝∠AGC＝90176。 ∴∠GCF＝∠CAE，∠ACF＝∠ACG－∠GFC，∠E＝∠ACG－∠CAEAD＝AE分析：（1）若連結(jié)DO，可證得DE是⊙O的切線。CB ④DE∥ABCA 求證：CE∥FD。 ∵四邊形EBAC內(nèi)接于⊙O1，∴EC∥FD 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形。 （2）； （1）圓的周長；（3）等分圓周（三、六、十二、四、八、五等分），作正三角形、正四邊形、正六邊形。［例題分析］ 設(shè)大圓半徑OB＝R，小圓半徑OC＝r ∴ ∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABF＝36176。 又∵∠BAC是公共角解：設(shè)矩形ABCD外接圓的圓心為O，連結(jié)BC、BO，如圖20－1，則⊙O的半徑為圖20－1 例17. 已知：如圖21，在一個(gè)長18cm，寬12cm的矩形ABCD內(nèi)，有一個(gè)扇形，扇形的圓心O在AB上，以O(shè)B為半徑作弧與CD相切于E，與AD相交于F，若將扇形剪下，圍成一個(gè)圓錐，求圓錐底面積（接縫不計(jì)）。OE＝OB 在Rt△AFO中， ∴的弧長 18
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