16722求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式-文庫(kù)吧資料
2024-08-06 17:11本頁(yè)面
【正文】 即 )]([ xgfy ? 在 x點(diǎn) 可導(dǎo)，且 )()(})]([{ xgufxgf ????? 。 （ 1 ）當(dāng) 0?? u 時(shí)， ∵ )( ufy ? 在 u 點(diǎn) 可導(dǎo)， ∴ uuufy ??????? )( ， （※） （ 2 ）當(dāng) 0?? u 時(shí)， 則 0)()( ?????? ufuufy ，（※）也成立。 或 xux uyy ????? 或dxdududydxdy?? 。 xxxxt g xxxCt a ns e c)( s e cs e c)(c o s)( s i n0)(2????????xxxxc t g xxxxxc o tc s c)( c s cc s c)(s i n)( c o s)(21???????????????axxaaaaxxln1)( l ogln)(????xxee xx1)( ln)(????2211)( ar c t an11)( ar c s i nxxxx??????2211)co t(11)( a rc co sxxa r cxx????????2 . 基本初等函數(shù)和常數(shù)的求導(dǎo)公式 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 即 復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對(duì)中間變量 的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。 又當(dāng) )2 ,2( ????y 時(shí)， 0s e c 2 ??? yx y ， ∴ 22211t an11s e c11xyyxyyx ???????? ，即 211)( a r c t a nxx??? ， ) ,( ?????x 。 （ 2 ）求 xy a r c t a n? ， ) ,( ?????x 的導(dǎo)數(shù)。 解：∵ xy a r c s i n? 在 1) ,1( ? 內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加且連續(xù) ， ∴ yx s i n? 在 )2 ,2( ??? 內(nèi)也嚴(yán)格單調(diào)增加且連續(xù)， 又當(dāng) )2 ,2( ????y 時(shí)， 0co s ??? yx y ， ∴22 11s i n11c os11xyydydxdxdy??????， 即 211)( a r c s i nxx??? ， 1) ,1( ??x 。 )( xf 在 ex ? 的某鄰域內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào) 增加 的連續(xù)函數(shù)， 且 04)31()( 32????? ?eexxef ex ， ∴ 4)(1)2()( 1 eeff ????? 。 定理 2 設(shè)定義在區(qū)間 ) ,( dc 內(nèi)的嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)函數(shù) )( yfx ? 在點(diǎn) y 處可導(dǎo)， 且 0)( ?? yf ，則它的反函數(shù) )(1xfy?? 在對(duì)應(yīng)點(diǎn) )( yfx ? 處也可導(dǎo)，且 )(1)()(1yfxf????或dydxdxdy 1? . 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 定理表明反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。 ∵ 2001l i m0)0()(l i m)0( 200???????????? ??? xexfxff xxx， 000l i m0)0()(l i m)0( 200?????????? ??? xxxfxffxx， ∴ )( xf 在點(diǎn) 0?x 不可導(dǎo)。 證明 ： 0)( ??xf ， 例 6 ．設(shè)?????????.0 ,0,1)(22xxxexf x 求 )( xf ? 。 分析 ： 僅知 )( xg 連續(xù)，故不能用乘法求導(dǎo)公式， 只能從導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā)來(lái)證明。 即 xx 2s e c)( t a n ?? 類似地可得： ,c s c)( c o t2xx ??? ,t a ns e c)( s e c xxx ?? .c o tc s c)( c s c xxx ??? 類似地可得 解： )1(21])(21[)( ????????? ? xxxxeeees h xy ,)(21)(21 2 c h xeeeee
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