矩陣分解及其應(yīng)用-文庫吧資料
2025-07-30 03:28本頁面
【正文】 .于是可得，.計算，則的奇異值分解為.在A的奇異值分解中，酉矩陣V的列向量稱為A的右奇異向量，V的前r列是的r個非零特征值所對應(yīng)的特征向量，將他們?nèi)榫仃嘨1，將U從前r列處分塊為，由分塊運算，有從而 .因此，有下列結(jié)果 （1）的列向量組是矩陣A的零空間的一組標準正交基； （2）的列向量組是矩陣A的列空間的一組標準正交基； （1）的列向量組是矩陣A的零空間正交補的一組標準正交基； （1）的列向量組是矩陣A的列空間正交補的一組標準正交基.在A的奇異值分解中，. 更進一步，由于，可借助于奇異值分解，將A表示為歸納這一結(jié)果，有如下定理. 定理 設(shè)，A的非零奇異值為，是應(yīng)于奇異值的左奇異向量，是應(yīng)于奇異值的右奇異向量，則. 上式給出的形式被稱為矩陣A的奇異值展開式，對一個，略去A的一些小的奇異值對應(yīng)的項，去矩陣為.則是一個秩為k的m，是在所有秩為k的mn矩陣中，從Frobenius范數(shù)的意義下，在圖像數(shù)字化技術(shù)中，一副圖片可以轉(zhuǎn)換成一個mn階像素矩陣來儲存，存儲量m，則只要存儲A的奇異值，奇異向量的分量，總計r（m+n+1）=n=1000，r=100作一個比較，mn=1000000，r（m+n+1）=100（1000+1000+1）=200100.取A的奇異值展開式，存儲量較A的元素情形減少了80%.另外，可取，用逼近A，能夠達到既壓縮圖像的存儲量，又保持圖像不失真的目的.由矩陣的奇異值分解可得可見，是矩陣的加權(quán)和，其中權(quán)系數(shù)按遞減排列.顯然，權(quán)系數(shù)大的那些項對矩陣的貢獻大，因此當舍去權(quán)系數(shù)小的一些項后，仍然能較好的“逼近”矩陣，這一點在數(shù)字圖像處理方面非常有用.矩陣的秩k逼近定義為秩r逼近就精確等于，而秩1逼近的誤差最大.矩陣的奇異值分解不但在線性方程組，矩陣范數(shù)，廣義逆，數(shù)字圖像處理，信息檢索，如Steven 的《線性代數(shù)》.四、 總結(jié)矩陣的分解作用很廣泛，在不同的領(lǐng)域都發(fā)揮著其獨特的作用，只要應(yīng)用得好，肯定可以使原有的問題簡單而易于理解。另外，QR分解考慮的是n階矩陣，其他的矩陣是不能用這種方法進行分解，由于QR分解的這一前提條件，使得下面提到的滿秩矩陣分解和奇異值分解就有了其特殊的意義。矩陣的求逆是件不小的工程，尤其是當矩陣階數(shù)慢慢
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