1675-初等矩陣-文庫吧資料
2024-08-05 14:24本頁面
【正文】 經(jīng)過一系列初等變換得到可以化為 B，則稱 A與 B等價(jià)的 （ 也稱 A與 B相抵 ） . 注： 1） 矩陣的等價(jià)關(guān)系具有：反射性 、 對稱性 、 傳遞性； 2） 等價(jià)矩陣的秩相等 ． 由定理 命題 設(shè) A， B是同型矩陣 ， 則 A， B等價(jià)的充要條件是：存在初等矩陣 ， 使 . 與 A等價(jià)的矩陣有許許多多，那么能否挑出一種簡單矩陣，把它作為 A的代表呢？ 1 2 1 2, , , , , , ,stP P P Q Q Q1 2 1 2stB P P P A Q Q Q?定理 任意一個(gè) 矩陣 A都與一形如 的矩陣等價(jià)，且主對角線上１的個(gè)數(shù) 等于 A的秩．稱這個(gè)矩陣為 A的 標(biāo)準(zhǔn)形 ． sn?1 0 01 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0rE???????? ?????????????????r11 0a ?i證明 如果 A＝ 0， 結(jié)論顯然成立 ． 若 ， 存 在 ， 將 A的第 兩行交換 ， 然后將 j,1兩列交換 ， 所得矩陣的 （ 1， 1） 元非零 ， 不妨設(shè) A中 .把 A的 第一行乘 加到第 行上 ， 然后 第一列乘 加到第 j列上 ， A化為 0A?0ija ? ,1i11 1 1 ( 1 , 2 , )ia a i s???11 1 1 ( 1 , 2 , , )ja a j n???， 矩陣 1100 A??????1 ( 1 ) ( 1 )A s n? ? ?是對 重復(fù)以上的討論并繼續(xù)下去 ， 就可以得到標(biāo)準(zhǔn)形 . 由初等變換不改變矩陣的秩，故標(biāo)準(zhǔn)形中 1的個(gè)數(shù)等于 A 的秩 . (定理 ） 1An 級可逆矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形單位矩陣 ,由命題 陣 使
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