【正文】 1 0 .91 0 .0 5 0 .4 5 0 .51 0 .9 1 1 0 .9 10 .90 .5 1 0 .90 .5 1 0 .9 0 .9zizsnzinzsnnYzzYzz z z zy n u ny n u ny n u n u n?? ? ? ?????????? ???? ? ? ?? ? ? ? ??????? ? ?3. Z域尺度變換： ( ) ( )x n X z? R O C : R若 00( ) ( / )nz x n X z z? 0R O C : zR則 zR? 時(shí) 收斂，故 時(shí)， 收斂。 ? ? ? ? ? ?zFznumnf m???? ? ? ?zFzmnf m???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??????????????????????????????????????????????????????mkkmmkkkkmmkkmnmnmnnzkfzFzzkfzkfzzkfzzmnfzzmnf11000信號(hào)與系統(tǒng) z變換時(shí)移性質(zhì) 例 求輸入為 的一階 LTI離散系統(tǒng) 在初始條件 下的系統(tǒng)響應(yīng)。 0z?z ??( ) ( )x n X z? R O C : R若 00( ) ( ) nx n n X z z ???則 信號(hào)與系統(tǒng) z變換時(shí)移性質(zhì) 單邊 z變換 ： 位移只會(huì)使得 z變換在原點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)的零、極點(diǎn)情況發(fā)生變化。 2. 時(shí)移： 但在 和 可能會(huì)有增刪。這里主要討論其 ROC的變化。其特性相當(dāng)于兩個(gè)一階系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的結(jié)果。 ()hn ()sn二階系統(tǒng)的頻率特性： 0 1 , 0r ??? ? ? ? 當(dāng)極點(diǎn)很靠近單位圓時(shí)，也可以從零極點(diǎn)圖粗略確定系統(tǒng)的帶寬。由于極點(diǎn)遠(yuǎn)離原點(diǎn)， 和 的變化速率越慢。 1V2V je?jIm[ ]z1 3VRe[ ]z 當(dāng) 從 時(shí)，在靠近 處頻率響應(yīng)會(huì)出現(xiàn)極大值。 a()hn()sn? 越大，極點(diǎn)靠單位圓越近，系統(tǒng)頻響越尖銳，頻響的極大值越大，系統(tǒng)帶寬越窄，相位的非線性程度越厲害。 ()jHe? ?0?? ()jHe ?在 處， 有最大值。 1 1,V ? ()jHe ? 2V?當(dāng) 時(shí)， 01a????? ()jHe?當(dāng) 時(shí)， 有最小值。 例 1. 一階系統(tǒng) ( ) ( 1 ) ( )y n a y n x n? ? ?( ) ( )nh n a u n?11( ) ,1H z z aaz ????當(dāng) 時(shí)， ROC包括單位圓。 iz0n? 時(shí)， 對(duì)有理函數(shù)的 由留數(shù)定理有： ()Xz 當(dāng) ROC包括 時(shí)， Z 變換在單位圓上的情況就是 ，因此也可以利用零極點(diǎn)圖對(duì)其進(jìn)行幾何求值。 iz1( ) R e s [ ( ) , ]niix n X z z z??? ?是 C外的極點(diǎn)。 冪級(jí)數(shù)展開法適合用來(lái)求解非有理函數(shù)形式 的反變換。 例： 111536()11( 1 ) ( 1 )43zXzzz???????1143z?? 冪級(jí)數(shù)展開法的缺點(diǎn)是當(dāng) 較復(fù)雜（含多個(gè)極點(diǎn)時(shí)）難以得出 的閉式。 ? 由于 左邊序列 的展開式中應(yīng)包含無(wú)數(shù)多個(gè) Z的正冪項(xiàng)，所以要 按升冪長(zhǎng)除。當(dāng) 是有理函數(shù)時(shí)，可以通過(guò)長(zhǎng)除的方法將其展開為冪級(jí)數(shù)。 ??zF 1pz ?? ?zF 1pz ?信號(hào)與系統(tǒng) 例題 例 計(jì)算 的 z反變換。 例： 111536()11( 1 ) ( 1 )43zXzzz???????1143z??將 展開為部分分式有： ()Xz11( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( 1 )43nnx n u n u n? ? ? ? ?1112()111143Xzzz??????1ROC 2ROC1R OC : | | 1 / 4z ?2R OC : | | 1 / 3z ?信號(hào)與系統(tǒng) 例題 例 計(jì)算 的 z反變換。 ? 02??1. 部分分式展開法： 1() 1ii iAXzaz ?? ??11( ) ( )2ncx n X z z dzj? ??? ?其中 C 是 ROC 中逆時(shí)針?lè)较虻膱A周。 信號(hào)與系統(tǒng) 注意 ? 對(duì)于雙邊 z變換，不同的收斂域?qū)?yīng)的原函數(shù)不同，所以求解反變換時(shí)要注明收斂域； ? 收斂域中不包括任何極點(diǎn) 。 3 1 23 z??()xnROC是否包括 ，是 是否反因果的標(biāo)志。 ()xn時(shí) 是左邊序列，且是反因果的，其傅立葉變換不存在。 za?例 2. ( ) , 0nx n b b??( ) ( ) ( 1 )nnx n b u n b u n?? ? ? ?11( ) ,1nb u n z bbz ????1111( 1 ) ,1nb u n z bbz????? ? ? ? ?? 在 時(shí)，兩個(gè)子收斂域無(wú)公共部分，表明此時(shí) 不存在。 1 0N ? ()Xz6. 雙邊序列的 Z變換如果存在，則 ROC必是一個(gè)環(huán)形區(qū)域。 1 0N ?z()Xz?5. 左邊序列的 ROC是某個(gè)圓的內(nèi)部，但可能不包括 。 210 , 0NN?? ()Xz?4. 右邊序列的 ROC是某個(gè)圓的外部，但可能不包括 。 ()Xz21 0NN????當(dāng) 時(shí)，在 的展開式中，只有 z的正冪項(xiàng)，故 z不能為 ，但可以取 0。 ()Xz2. 在 ROC內(nèi) 無(wú)極點(diǎn)。 1. 的 ROC是 Z平面上以原點(diǎn)為中心的環(huán)形區(qū)域。 因此，若在 Z 平面上表示出 全部的零極點(diǎn)，即構(gòu)成 的幾何表示 —— 零極點(diǎn)圖。 6）若 的 ROC包括單位圓，則有 ()Xz( ) ( ) | jj zeX e X z ?? ??三 . 的幾何表示 — 零極點(diǎn)圖： ()Xz()()()( ) ( )iippzzNzX z MD z z z??????()Xz 如果 是有理函數(shù)，將其分子多項(xiàng)式與分母多項(xiàng)式分別因式分解可以得到： 由其全部的零、極點(diǎn)即可確定出 ，最多相差一個(gè)常數(shù)因子 。若沒(méi)有公共區(qū)域則表明 的 Z變換不存在。 3） Z變換的 ROC，一般是 Z平面上以原點(diǎn)為中心的環(huán)形區(qū)域。 ()Xz結(jié) 論： 1） Z變換存在著收斂的問(wèn)題，不是任何信號(hào)都存在 Z變換，也不是任何復(fù)數(shù) Z都能使 收斂。 單位圓 1 ImReZ平面 a ()xn 的 DTFT存在 例 2. ( ) ( )x n u n?101()1nnX z z z?????? ?? 1z ? 此時(shí)， ROC不包括單位圓，所以 不能從 簡(jiǎn)單通過(guò)將 得到 。Z平面上那些能使 收斂的點(diǎn)的集合，就構(gòu)成了 的 ROC。 1. 并非任何信號(hào)的 Z變換都存在。 因此， Z 變換是對(duì) DTFT的推廣 。 1r? jze??( ) ( ) [ ( ) ]j n j n nnX r e x n r e x n r???? ? ?? ? ???? F( ) ( ) nnX z x n z??? ? ?? ? jz re ??其中 是一個(gè)復(fù)數(shù)。 引言 (Introduction) 雙邊 Z 變換 當(dāng) 時(shí)， 即為離散時(shí)間傅立葉變換。 Z 變換的基本思想、許多性質(zhì)及其分析方法都與拉氏變換有相似之處。 7. 單邊 Z變換，增量線性系統(tǒng)的分析。 6. 用 Z變換表征 LTI系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)， LTI系統(tǒng) 的 Z變換分析法，系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)與并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 3. Z反變換，利用部分分式展開進(jìn)行反變換。第 10章 Z變換 The ZTransform 本章主要內(nèi)容 1. 雙邊 Z變換及其收斂域 ROC。 2. ROC的特征，各類信號(hào)的 ROC，零極點(diǎn)圖。 5. 常用信號(hào)的 Z變換， Z變換的性質(zhì)。 4. 由零極點(diǎn)圖分析系統(tǒng)的特性。 Z 變換與拉氏變換相對(duì)應(yīng)，是離散時(shí)間傅立葉變換的推廣。當(dāng)然， Z 變換與拉氏變換也存在著一些重要的差異。 這表明： DTFT就是在單位圓上進(jìn)行的 Z變換。 一 .雙邊 Z變換的定義 : The zTransform 可見(jiàn)：對(duì) 做 Z 變換就等于對(duì) 做 DTFT。 ()xn () nx n r?二 . Z變換的 ROC： Z變換與 DTFT一樣存在著收斂的問(wèn)題。 2. 并非 Z平面上的任何復(fù)數(shù)都能使 收斂。 ()Xz()Xz()Xz例 1. ( ) ( )nx n a u n?101()1nnnX z a z az?????? ??時(shí)收斂 za?當(dāng) 時(shí)， 1a ?1()1jjXe ae???? ? za?此時(shí)， ROC包括了單位圓。 ()Xzz je? ()jXe?ImReZ平面 1 （例 2的 ROC） 例 3. ( ) ( 1 )nx n a u n? ? ? ?11() n n n nnnX z a z a z????? ? ? ?? ? ? ???111111aza z az???? ? ??? za?a 1 ReZ平面 單位圓 Im例 4. 1( ) ( ) ( ) 2 ( 1 )2 nnx n u n u n? ? ? ?10111( ) ( ) 22111 1212n n n nnnX z z zzz????? ? ? ???????????2 1/2 Z平面 ImRe1R O C : 22 z?? 一般情況下， 的 ROC是 Z 平面上一個(gè) 以原