【正文】 第 10章 Z變換 The ZTransform 本章主要內(nèi)容 1. 雙邊 Z變換及其收斂域 ROC。 2. ROC的特征，各類信號(hào)的 ROC，零極點(diǎn)圖。 3. Z反變換，利用部分分式展開進(jìn)行反變換。 5. 常用信號(hào)的 Z變換， Z變換的性質(zhì)。 6. 用 Z變換表征 LTI系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)， LTI系統(tǒng) 的 Z變換分析法，系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)與并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 4. 由零極點(diǎn)圖分析系統(tǒng)的特性。 7. 單邊 Z變換，增量線性系統(tǒng)的分析。 Z 變換與拉氏變換相對應(yīng)，是離散時(shí)間傅立葉變換的推廣。 Z 變換的基本思想、許多性質(zhì)及其分析方法都與拉氏變換有相似之處。當(dāng)然， Z 變換與拉氏變換也存在著一些重要的差異。 引言 (Introduction) 雙邊 Z 變換 當(dāng) 時(shí)， 即為離散時(shí)間傅立葉變換。 這表明： DTFT就是在單位圓上進(jìn)行的 Z變換。 1r? jze??( ) ( ) [ ( ) ]j n j n nnX r e x n r e x n r???? ? ?? ? ???? F( ) ( ) nnX z x n z??? ? ?? ? jz re ??其中 是一個(gè)復(fù)數(shù)。 一 .雙邊 Z變換的定義 : The zTransform 可見：對 做 Z 變換就等于對 做 DTFT。 因此， Z 變換是對 DTFT的推廣 。 ()xn () nx n r?二 . Z變換的 ROC： Z變換與 DTFT一樣存在著收斂的問題。 1. 并非任何信號(hào)的 Z變換都存在。 2. 并非 Z平面上的任何復(fù)數(shù)都能使 收斂。Z平面上那些能使 收斂的點(diǎn)的集合，就構(gòu)成了 的 ROC。 ()Xz()Xz()Xz例 1. ( ) ( )nx n a u n?101()1nnnX z a z az?????? ??時(shí)收斂 za?當(dāng) 時(shí)， 1a ?1()1jjXe ae???? ? za?此時(shí)， ROC包括了單位圓。 單位圓 1 ImReZ平面 a ()xn 的 DTFT存在 例 2. ( ) ( )x n u n?101()1nnX z z z?????? ?? 1z ? 此時(shí)， ROC不包括單位圓，所以 不能從 簡單通過將 得到 。 ()Xzz je? ()jXe?ImReZ平面 1 （例 2的 ROC） 例 3. ( ) ( 1 )nx n a u n? ? ? ?11() n n n nnnX z a z a z????? ? ? ?? ? ? ???111111aza z az???? ? ??? za?a 1 ReZ平面 單位圓 Im例 4. 1( ) ( ) ( ) 2 ( 1 )2 nnx n u n u n? ? ? ?10111( ) ( ) 22111 1212n n n nnnX z z zzz????? ? ? ???????????2 1/2 Z平面 ImRe1R O C : 22 z?? 一般情況下， 的 ROC是 Z 平面上一個(gè) 以原點(diǎn)為中心的圓環(huán)。 ()Xz結(jié) 論： 1） Z變換存在著收斂的問題，不是任何信號(hào)都存在 Z變換，也不是任何復(fù)數(shù) Z都能使 收斂。 ()Xz()Xz()Xz()xn2）僅僅由 的表達(dá)式不能唯一地確定一個(gè)信號(hào)，只有 連同相應(yīng)的 ROC一道，才能與信號(hào) 建立一一對應(yīng)的關(guān)系。 3） Z變換的 ROC，一般是 Z平面上以原點(diǎn)為中心的環(huán)形區(qū)域。 4）如果 ，則其 ROC是各個(gè) 的ROC的公共區(qū)域。若沒有公共區(qū)域則表明 的 Z變換不存在。 ( ) ( )iix n x n? ? ()ixn()xn()Xz()Xz5）當(dāng) 是有理函數(shù)時(shí)，其 ROC的邊界總是由 的極點(diǎn)所在的圓周界定的。 6）若 的 ROC包括單位圓，則有 ()Xz( ) ( ) | jj zeX e X z ?? ??三 . 的幾何表示 — 零極點(diǎn)圖： ()Xz()()()( ) ( )iippzzNzX z MD z z z??????()Xz 如果 是有理函數(shù)，將其分子多項(xiàng)式與分母多項(xiàng)式分別因式分解可以得到： 由其全部的零、極點(diǎn)即可確定出 ，最多相差一個(gè)常數(shù)因子 。 ()XzM 如果在零極點(diǎn)圖上同時(shí)標(biāo)出 ROC，則由該零極點(diǎn)圖可以唯一地確定一個(gè)信號(hào)。 因此，若在 Z 平面上表示出 全部的零極點(diǎn)，即構(gòu)成 的幾何表示 —— 零極點(diǎn)圖。 ()Xz()Xz 零極點(diǎn)圖對描述 LTI系統(tǒng)和分析 LTI系統(tǒng)的特性，具有重要的用途。 1. 的 ROC是 Z平面上以原點(diǎn)為中心的環(huán)形區(qū)域。 ()Xz Z 變換的 ROC The Region of Convergence for the zTransform ROC的特征： 0z? z ??3. 有限長序列的 ROC是整個(gè)有限 Z平面（可能不包括 ，或 ）。 ()Xz2. 在 ROC內(nèi) 無極點(diǎn)。 21( ) ( )NnnNX z x n z ??? ?由 ?當(dāng) 時(shí)，在 的展開式中，只有 z的負(fù)冪項(xiàng)，故 z不能為 0，但可以取 。 ()Xz21 0NN????當(dāng) 時(shí)，在 的展開式中，只有 z的正冪項(xiàng)，故 z不能為 ，但可以取 0。 210 NN?? ()Xz??當(dāng) 時(shí)，在 的展開式中，既有 z的正冪項(xiàng)，也有負(fù)冪項(xiàng)，故 z既不能為 也不能取 0。 210 , 0NN?? ()Xz?4. 右邊序列的 ROC是某個(gè)圓的外部，但可能不包括 。 z ??()xn設(shè) 是右邊序列， ()xn 1Nn? ? ?1( ) ( ) nnNX z x n z???? ?由 ， 有 若 則， 0 R O Czr??10()nnNx n r??????10rr?則 如果 ， 110101( ) ( ) ( )nn nn N n Nrx n r x n rr??????????11001( ) ( )n NnNrx n rr???? ? ? ?? 1 R O Czr? ? ? 當(dāng) 時(shí) ,由于 展開式中有若干個(gè) Z的正冪項(xiàng)，此時(shí) 不能為 。 1 0N ?z()Xz?5. 左邊序列的 ROC是某個(gè)圓的內(nèi)部，但可能不包括 。 0z?若 ， ，則 0 RO Cr ? 10rr?110101( ) ( ) ( )NNnn nnnrx n r x n rr??? ? ? ? ? ?????11001( ) ( )Nn Nnrx n rr?? ? ?? ? ? ?? 1 R OCr?? 當(dāng) 時(shí)，由于 的展開式中包括有 Z的負(fù)冪項(xiàng)，所以 Z不能為零。 1 0N ? ()Xz6. 雙邊序列的 Z變換如果存在，則 ROC必是一個(gè)環(huán)形區(qū)域。 例 1. ()xn ??, 0 1 ,na n N? ? ? 0a?0, 其他 n11101()1 ( )N N N NNnnNna z z aX z a za z z z a????????? ? ????極點(diǎn)： za? （一階） 0z? （ N－ 1階） 零點(diǎn)： 2jkNz ae ??( 0 , 1 1 )kN? ??? ?? ?jIm z? ?Re z( 8)N ?a? a0 ( 1)N?R O C : 0z ? 在 處，零極點(diǎn)抵消，使有限 z平面內(nèi)無極點(diǎn)。 za?例 2. ( ) , 0nx n b b??( ) ( ) ( 1 )nnx n b u n b u n?? ? ? ?11( ) ,1nb u n z bbz ????1111( 1 ) ,1nb u n z bbz????? ? ? ? ?? 在 時(shí)，兩個(gè)子收斂域無公共部分，表明此時(shí) 不存在。 1b?()Xzb 1/b Z平面 ImRe01b?? 時(shí)， ROC為 1/b z b??例 3. 111()1( 1 ) ( 1 2 )3Xzzz?????1/3 2ReIm0 (2)零點(diǎn)： 121 ,23zz??0z? （二階） ?在有限 Z平面上極點(diǎn)總數(shù)與零點(diǎn)總數(shù)相同 極點(diǎn)： 若其 ROC為： 1 2z ?則 為右邊序列，且是因果的，但其傅立葉變換不存在。 ()xn時(shí) 是左邊序列，且是反因果的，其傅立葉變換不存在。 2 13z ?()xn 時(shí) 是雙邊序列，其傅立葉變換存在。 3 1 23 z??()xnROC是否包括 ，是 是否反因果的標(biāo)志。 0z? ()xnz ?? ()xnROC是否包括 ，是 是否因果的標(biāo)志。 信號(hào)與系統(tǒng) 注意 ? 對于雙邊 z變換，不同的收斂域?qū)?yīng)的原函數(shù)不同，所以求解反變換時(shí)要注明收斂域； ? 收斂域中不包括任何極點(diǎn) 。 ? 收斂域以 極點(diǎn)為界 ； ? 對于多個(gè)極點(diǎn)的情況， 右邊序列 的收斂域是從最大的極點(diǎn)向外至無窮遠(yuǎn) （可能包括無窮遠(yuǎn)）；反之， 左邊序列 的收斂域由 最小的極點(diǎn)向內(nèi)至原點(diǎn) （可能包括原點(diǎn)）； 雙邊序列 的收斂域若存在則為 圓環(huán) ； 有限序列 的收斂域?yàn)?整個(gè)平面（ 0與無窮遠(yuǎn)位置是否包括在內(nèi)要視信號(hào)的形式 ）； Z反變換 ( ) ( )j n j nnX r e x n r e?????? ? ?? ?21( ) ( )2n j j nx n r X r e e d???????? ?21( ) ( )2j n j nx n X r e r e d?????? ?令 jz re ?? jdz jre d jzd? ????一 .Z反變換： The