高三數(shù)學(xué)分類討論思想-文庫吧資料
2024-11-17 08:49本頁面
【正文】 ( － 1 , 1 ) 上， f ( x ) 是增函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) f ′ ( x ) ＝ 4( x － 1 ) ( 3 ax2＋ 3 ax － 1) ≥ 0 ， ∴ f ′ ( x ) ＝ 4( x － 1 ) ( 3 ax2＋ 3 ax － 1) ≥ 0 ， 即 3 ax2＋ 3 ax － 1 ≤ 0. ① a ．當(dāng) a ＝ 0 時， ① 恒成立． b ．當(dāng) a ＞ 0 時，若要 ① 成立，則需 3 a 1 － 1 ≤ 0 ，解得 a ≤16，即 0 a ≤16. c ．當(dāng) a ＜ 0 時，若要 ① 成立，則需 3 a????????x ＋122－3 a4－ 1 ≤ 0 ， 即－3 a4－ 1 ≤ 0 ， 解得 a ≥ －43. 即－43≤ a 0 . 綜上， a 的取值范圍是????????－43，16. 考題分析 本題考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法、函數(shù)極值的求法、考查了由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍的方法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．本題的核心是考查考生利用分類討論的思想解決問題的能力． 易錯提醒 ( 1 ) f ′ ( x ) ＝ 0 的根 x ＝ 1 并不是函數(shù) f ( x ) 的極值點．考生易忽視對極值點的判斷． ( 2 ) 不能將 f ( x ) 在 ( － 1 , 1 ) 上單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為不等式進行研究． ( 3 ) 忽視分類討論或討論不到位是本題出錯的關(guān)鍵． 思想方法概述 1 ． 分類討論的思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法．其基 本思路是將一個較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解 ( 或分割 ) 成若干個基礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略．對問題實行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn) 等于增加一個已知條件，實現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題 ( 或綜合性問題 ) 分解為小問題 ( 或基礎(chǔ)性問題 ) ，優(yōu)化解題思路，降低問題難度． 2 ．分類討論的常見類型 ( 1 ) 由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等． ( 2 ) 由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論：有的數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前 n 項和公式、函數(shù)的單調(diào)性等． ( 3 ) 由數(shù)學(xué)運算要求引起的分類討論：如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)，對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域等． (4) 由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形類型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限；點、線、面的位置關(guān)系等． (5) 由參數(shù)的變化引起的分類討論：某些含有參數(shù)的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運用不同的求解或證明方法． 3 ．分類討論的原則 ( 1 ) 不重不漏． ( 2 ) 標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，層次要分明． ( 3 ) 能不分類的要盡量避免或盡量推遲，決不無原則地討論． 4 ．解分類問題的步驟 ( 1 ) 確定分類討論的對象：即對哪個變量或參數(shù)進行分類討論． ( 2 ) 對所討論的對象進行合理的分類． ( 3 ) 逐類討論：即對各類問題詳細(xì)討論，逐步解決． ( 4 ) 歸納總結(jié)：將各類情況總結(jié)歸納． 熱點分類突破 題型一 根據(jù)數(shù)學(xué)概念分類討論 例 1 設(shè) 0 x 1 ， a 0 且 a ≠ 1 ，比較 | l o g a (1 － x )| 與 | l o g a (1 ＋ x )| 的大小． 思維啟迪 先利用 0 x 1 確定 1 － x 與 1 ＋ x 的范圍，再利用絕對值及對數(shù)函數(shù)的概念分類討論兩式差與 0 的大小關(guān)系，從而比較出大小． 解 ∵ 0 x 1 ， ∴ 0 1 － x 1 , 1 ＋ x 1 , 0 1 － x2 1 . ① 當(dāng) 0 a 1 時， l o g a (1 － x ) 0 ， l o g a (1 ＋ x ) 0 ， 所以 | l o g a (1 － x )| － | l o g a (1 ＋ x )| ＝ l o g a (1 － x ) － [ － l o g a (1 ＋ x )] ＝ l o g a (1 － x2) 0 ； ② 當(dāng) a 1 時， l o g a (1 － x ) 0 ， l o g a (1 ＋ x ) 0 ， 所以 | l o g a (1 － x )| － | l o g a (1 ＋ x )| ＝－ l o g a (1 － x ) － l o g a (1 ＋ x ) ＝－ l o g a (1 － x2) 0 . 由 ① 、 ② 可知， | l o g a (1 － x ) | | l o g a (1 ＋ x ) | . 探究提高 本題是由對數(shù)函數(shù)的概念內(nèi)涵引發(fā)的分類討論．由概念內(nèi)涵分類的還有很多，如絕對值： | a |的定義分 a 0 、 a ＝ 0 、 a 0 三種情況；直線的斜率 ` ：傾斜角θ ≠ 9 0 176。 ，斜率不存在；指數(shù)、對數(shù)函數(shù)： y ＝ ax( a 0 且 a ≠ 1) 與 y ＝ l o gax ( a 0 且a ≠ 1) ，可分為 a 1 , 0 a 1 兩種類型；直線的截距式：直線過原點時為 y ＝ kx ，不過原點時為xa＋yb＝ 1 等． 變式訓(xùn)練 1 已知點 A ( － 1 , 1 ) ， B ( 1 , 1 ) ，點 P 是直線 y ＝x － 2 上一點，當(dāng) △ P A B 是直角三角形時，求點 P 坐標(biāo)及三角形的面積． 解 可設(shè) P ( m ， m － 2) ． ( 1 ) 當(dāng) ∠ B ＝ 9 0 176。 | PB |＝ 2. ( 2 ) 當(dāng) ∠ A ＝ 9 0 176。 | PA |＝ 4. ( 3 ) 當(dāng) ∠ P ＝ 9 0 176。m － 3m － 1＝－ 1 ，化簡得 m2－ 3 m ＋ 4 ＝ 0. 但 Δ ＝ 9 － 16 ＝－ 7 0 ，該方程無解．因此點 P 不存在． 綜上，當(dāng)點 P 坐標(biāo)為 (1 ，－ 1) 時， Rt △ P A B 的面積為 2 ； 當(dāng) 點 P 坐標(biāo)為 ( － 1 ，－ 3) 時， Rt △ P AB 的面積為 4. 題型二
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