高三數(shù)學(xué)分類討論思想-全文預(yù)覽
【正文】 數(shù)列的前 n 項和公式、函數(shù)的單調(diào)性等． ( 3 ) 由數(shù)學(xué)運算要求引起的分類討論：如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)，對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域等． (4) 由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形類型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限；點、線、面的位置關(guān)系等． (5) 由參數(shù)的變化引起的分類討論：某些含有參數(shù)的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運用不同的求解或證明方法． 3 ．分類討論的原則 ( 1 ) 不重不漏． ( 2 ) 標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，層次要分明． ( 3 ) 能不分類的要盡量避免或盡量推遲，決不無原則地討論． 4 ．解分類問題的步驟 ( 1 ) 確定分類討論的對象：即對哪個變量或參數(shù)進行分類討論． ( 2 ) 對所討論的對象進行合理的分類． ( 3 ) 逐類討論：即對各類問題詳細(xì)討論，逐步解決． ( 4 ) 歸納總結(jié)：將各類情況總結(jié)歸納． 熱點分類突破 題型一 根據(jù)數(shù)學(xué)概念分類討論 例 1 設(shè) 0 x 1 ， a 0 且 a ≠ 1 ，比較 | l o g a (1 － x )| 與 | l o g a (1 ＋ x )| 的大?。? 思維啟迪 先利用 0 x 1 確定 1 － x 與 1 ＋ x 的范圍，再利用絕對值及對數(shù)函數(shù)的概念分類討論兩式差與 0 的大小關(guān)系，從而比較出大小． 解 ∵ 0 x 1 ， ∴ 0 1 － x 1 , 1 ＋ x 1 , 0 1 － x2 1 . ① 當(dāng) 0 a 1 時， l o g a (1 － x ) 0 ， l o g a (1 ＋ x ) 0 ， 所以 | l o g a (1 － x )| － | l o g a (1 ＋ x )| ＝ l o g a (1 － x ) － [ － l o g a (1 ＋ x )] ＝ l o g a (1 － x2) 0 ； ② 當(dāng) a 1 時， l o g a (1 － x ) 0 ， l o g a (1 ＋ x ) 0 ， 所以 | l o g a (1 － x )| － | l o g a (1 ＋ x )| ＝－ l o g a (1 － x ) － l o g a (1 ＋ x ) ＝－ l o g a (1 － x2) 0 . 由 ① 、 ② 可知， | l o g a (1 － x ) | | l o g a (1 ＋ x ) | . 探究提高 本題是由對數(shù)函數(shù)的概念內(nèi)涵引發(fā)的分類討論．由概念內(nèi)涵分類的還有很多，如絕對值： | a |的定義分 a 0 、 a ＝ 0 、 a 0 三種情況；直線的斜率 ` ：傾斜角θ ≠ 9 0 176。 | PB |＝ 2. ( 2 ) 當(dāng) ∠ A ＝ 9 0 176。m － 3m － 1＝－ 1 ，化簡得 m2－ 3 m ＋ 4 ＝ 0. 但 Δ ＝ 9 － 16 ＝－ 7 0 ，該方程無解．因此點 P 不存在． 綜上，當(dāng)點 P 坐標(biāo)為 (1 ，－ 1) 時， Rt △ P A B 的面積為 2 ； 當(dāng) 點 P 坐標(biāo)為 ( － 1 ，－ 3) 時， Rt △ P AB 的面積為 4. 題型二 根據(jù)公式、定理、性質(zhì)的條件分類討論 例 2 設(shè)等比數(shù)列 { an} 的公比為 q ，前 n 項和 Sn 0 ( n ＝ 1 , 2 , 3 ， ? ) ． ( 1 ) 求 q 的取值范圍； ( 2 ) 設(shè) bn＝ an ＋ 2－32an ＋ 1，記 { bn} 的前 n 項和為 Tn，試比較 Sn與 Tn的大?。? 思維啟迪 ( 1 ) 根據(jù)條件列出關(guān)于 q 的不等式，注意分類討論． ( 2 ) 能否判斷 { b n } 為特殊數(shù)列進而求和作差、作商比較大小． 解 ( 1 ) ∵ { an} 是等比數(shù)列， Sn0 ，可得 a1＝ S10 ， q ≠ 0 ， 當(dāng) q ＝ 1 時， Sn＝ na10 ； 當(dāng) q ≠ 1 時， Sn＝a1( 1 － qn)1 － q0 ， 即1 － qn1 － q0 ( n ＝ 1 , 2 , 3 ， ? ) ， 上 式等價于 ①????? 1 － q 01 － qn0 ( n ＝ 1 , 2 , 3 ， ? ) 或 ②????? 1 － q 01 － qn0 ( n ＝ 1 , 2 , 3 ， ? ) ，解 ① 式得 q 1 ； 解 ② 式，由于 n 可為奇數(shù)、可為偶數(shù)，故－ 1 q 1 . 綜上， q 的取值范圍是 ( － 1 , 0 ) ∪ (0 ，＋ ∞ ) ． ( 2 ) 由 bn＝ an ＋ 2－32an ＋ 1，得 bn＝ an????????q2－32q ， Tn＝????????q2－32q Sn， 于是 Tn－ Sn＝ Sn????????q2－32q － 1 ＝ Sn????????q ＋12( q － 2) ． 又因為 Sn0 且－ 1 q 0 或 q 0 ，所以 當(dāng)－ 1 q －12或 q 2 時， Tn－ Sn0 ，即 Tn Sn； 當(dāng)－12 q 2 且 q ≠ 0 時， Tn－ Sn0 ，即 Tn Sn； 當(dāng) q ＝－12或 q ＝ 2 時， Tn－ Sn＝ 0 ，即 Tn＝ Sn. 探究提高 本題以等比數(shù)列為載體，涉及了分類討論和大小比較的問題，綜合性較強，應(yīng)用了不等式的解法和比較大小的基本方法 —— 作差比較法．同時含有字母 q ，一般要進行分類討論，要特別注意等比數(shù)列求和公式在應(yīng)用時一定要分 q ＝ 1 和 q ≠ 1 討論 . 變式訓(xùn)練 2 已知在等比數(shù)列 { a n }
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