【正文】 S. W. Lee, “A study of spacetapered arrays,” IEEE Trans. Antennas Propag., vol. AP14, no. 1, pp. 22–30, Jan. 1966.[24] R. W. Redlich, “Iterative leastsquares synthesis of nonuniformly spaced linear 參考文獻(xiàn) 41arrays,” IEEE Trans. Antennas Propag., vol. AP21, , pp. 106–108, Jan. 1973.[25] G. Kishi, K. Sakaniwa, and T. Uyematsu, “A design method for transversal ?lters with nonuniform tap spacings based on the mean square error criterion,” in Proc. 5th Int. Symp. Network Theor., Sarajevo, Yugoslavia, Sep. 1984, pp. 363–368.[26] N. M. Mitrou, “Results on nonrecursive digital ?lters with nonequidistant taps,” IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process., vol. ASSP33, no. 6, pp. 1621–1624, Dec. 1985.[27] P. Jarske, T. Saram228。在此謹(jǐn)向王老師致以誠摯的謝意和崇高的敬意。最后，我們證明通過使用更稠密的候選陣列（通過減小候選位置的間距），我們可以在保持天線間的規(guī)定長度的同時(shí)，更好的逼近理想的波束。通過計(jì)算機(jī)仿真實(shí)例，我們展示了我們的稀疏陣列設(shè)計(jì)方法相比較于ULA，能獲得更窄的主瓣和更好的逼近理想的波束響應(yīng)（我們的算法在我們的兩個(gè)例子中同樣可以獲得更低的副瓣峰值水平）。在這篇文章中，我們展示了用一個(gè)可以用來設(shè)計(jì)稀疏MIMO發(fā)射陣列的迭代算法（和一個(gè)相應(yīng)的發(fā)射波形協(xié)方差矩陣R）來逼近理想的發(fā)射波束響應(yīng)。最起碼從例子中可以看出，收斂所需的循環(huán)次數(shù)不會(huì)隨著候選天線的個(gè)數(shù)或者總的天線個(gè)數(shù)增加。跟預(yù)期的一樣，不依賴于候選位置的稠密度（因?yàn)椴ㄊ鴮挾扰c孔徑的總長度有密切關(guān)系[20]）。我們不斷的重復(fù)，但是，對(duì)于每個(gè)我們創(chuàng)造的天線，放置的天線的最小間距都不會(huì)小于（在圖8中可以被確定）。此外，我們?cè)诒?中對(duì)比了每個(gè)例子的，我們靠陣列的分別的值來分辨陣列。當(dāng)增大時(shí)，候選天線位置變得更稀疏。最后，讓，我們產(chǎn)生出圖六中所示的接收波束；算法在三次循環(huán)后收斂。對(duì)于圖五中展示的波束，我們讓。使，（）。我們考慮的這個(gè)例子中的接收陣列設(shè)計(jì)，也可以被用到接收陣列設(shè)計(jì)中去。為了能保持一個(gè)公平的對(duì)比，我們將把天線間的最小間距限制在（實(shí)際上，最小天線間距對(duì)于避免互耦效應(yīng)或者適應(yīng)天線的物理大小是必要的）。 接收陣列設(shè)計(jì)性能比較在最后的例子中，我們將比較用有著不同值的向量權(quán)重方法進(jìn)行的稀疏接收陣列設(shè)計(jì)的性能。均方誤差也被定義成與（34）相似的，這里，和分別表示理想的和合成的接收波束。盡管因?yàn)楦L的無空閑孔徑，凱士陣列能獲得一個(gè)更窄的3dB帶寬（實(shí)際上比理想響應(yīng)更窄），用這個(gè)陣列的PSL也更高。陣列上的天線被循環(huán)的移動(dòng)至使最終的波束產(chǎn)生一個(gè)最小的副瓣峰值水平。此外，我們把加斯科在[27]]中描述的方法應(yīng)用于我們的接收波束設(shè)計(jì)問題。天線被放置以后，這樣兩個(gè)理想接收波束和已經(jīng)產(chǎn)生的那個(gè)之間的均方誤差就被最小化了。為了進(jìn)行比較，我們已經(jīng)按照[25]中的想法產(chǎn)生了一個(gè)稀疏陣列。用ULA的結(jié)果來初始化，28 非均勻陣列天線波束成形技術(shù)研究中的向量波束成形算法來產(chǎn)生一個(gè)稀疏陣列天線。這個(gè)例子中權(quán)重被選定為 （36）用式（36）中的權(quán)重，我們?cè)俅伟阎攸c(diǎn)放在獲得一個(gè)很逼近主束形狀的波形。理想的接收波束被定義為 （35） 就像被證明了的，理想的接收波束是三角形的，主瓣的3dB帶寬是。在10個(gè)天線的例子中，相比較與稀疏陣列，ULA的波束能產(chǎn)生一個(gè)稍微小的PSL，在15個(gè)天線的例子中，稀疏陣列的波束會(huì)產(chǎn)生比ULA波束更小的PSL。15個(gè)天線的稀疏陣列，也就是最長的陣列，跟預(yù)期的一樣，有最小的主瓣寬度。就像被證明了的，相對(duì)于ULA，用10個(gè)和15個(gè)天線設(shè)計(jì)的稀疏陣列可以獲得一個(gè)更低的。表1 兩種發(fā)射波束各項(xiàng)性能對(duì)比第三章 計(jì)算機(jī)仿真 27陣列在表1中進(jìn)行了比較，表中的均方誤差表示被定義為 （34）此外，在表1中，表示3dB主瓣帶寬（理想的響應(yīng)的3dB帶寬是），PSL表示波束的副瓣峰值水平。更清楚的，我們展示了在整個(gè)候選孔徑上的天線。在這個(gè)例子中，我們必須循環(huán)5次進(jìn)行稀疏陣列設(shè)計(jì)方法來符合收斂標(biāo)準(zhǔn)。如圖4所示，我們展示了又個(gè)天線的ULA所設(shè)計(jì)的波束，天線間距為。ULA被用來初始化算法，然后進(jìn)行4次迭代（4次迭代后，通過算法確定的天線的位置不會(huì)再改變）。我們有個(gè)候選天線位置可以選擇，位置間隔為（參考式（2）中定義的陣列方向向量），這樣總第三章 計(jì)算機(jī)仿真 24的孔徑長度為。用一個(gè)有個(gè)天線和間距為的ULA。明顯的，用式（33）指定的權(quán)重，我們?cè)噲D創(chuàng)造一個(gè)波束來模擬圖1中的脈沖，在成本函數(shù)（式（12））中遠(yuǎn)離主瓣的旁瓣被最小化?？梢栽赱12]中看到詳細(xì)介紹。理想的波束包含一個(gè)脈沖，如圖1示，式子如下 （32）圖1 理想的發(fā)射波束在實(shí)際中，我們通過先傳輸一個(gè)全方位波形來選擇理想的波束，這樣在一個(gè)場景中逼近的目標(biāo)的角位置就可以被確定了。在以下各例中，我們假設(shè)角掃描范圍以的間隔（這樣K=181）覆蓋了陣列的全部角度（從到）。這個(gè)約束只能由用戶在算法的使用過程中來執(zhí)行。，在選擇階段，我們同樣可以在天線之間設(shè)置一個(gè)最小間距。把這個(gè)算法應(yīng)用到個(gè)天線當(dāng)中的每一個(gè)上面。我們把上面1）中的循環(huán)步驟應(yīng)用于每一個(gè)候選位置，然后把第m個(gè)天線移動(dòng)到使式（28）中的標(biāo)準(zhǔn)達(dá)到最小值的位置上。我們?cè)俅渭僭O(shè)個(gè)初始天線被固定在個(gè)候選位置上。重復(fù)第一步和第二步只到達(dá)到了預(yù)設(shè)的停止標(biāo)準(zhǔn)，例如,這里，,式中，和表示在第i次循環(huán)中獲得的估值。給出一個(gè)矩陣，然后通過用拉格朗日乘數(shù)來執(zhí)行約束，式（28）的最小值v可以由一下公式可得 （31）我們?cè)诟戒汣中提供了式（31）的證明。第一步。假設(shè)給出向量v的一個(gè)初始值（為了算法的第一次循環(huán)，我們假設(shè)v的組成部分是），我們可以把一個(gè)循環(huán)最小化算法應(yīng)用于式（28）中的最優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)20 非均勻陣列天線波束成形技術(shù)研究來獲得一個(gè)更新的權(quán)重向量。此外，向量表示的元素明智平方根，這樣。盡管我們忽視了放置稀疏發(fā)射陣列設(shè)計(jì)在相控陣系統(tǒng)（因?yàn)樵谶@方面，我們把重心放在波形多樣化的應(yīng)用上），當(dāng)然這次模擬會(huì)直接符合用向量權(quán)重設(shè)計(jì)接收波束成形的討論。同樣的，向量權(quán)重設(shè)計(jì)接收波束成形的方法，包括式（24）中的附加約束，是類似于受rank（R)=1約束的發(fā)射波束設(shè)計(jì)。 ，加上了一個(gè)約束條件如下：Rank（V）=1 （24）通過式（24），我們可以把V書寫成以下形式： （25）這里。實(shí)際上。因此在這里省略掉這些步驟。因此。用矩陣權(quán)重方法，接收波束可以被重新寫成 （22）18 非均勻陣列天線波束成形技術(shù)研究 稀疏接收陣列設(shè)計(jì)如果表示理想的接收波束，那么可以模擬波束設(shè)計(jì)問題如下： （23）這里，Z再次表示一個(gè)權(quán)重值的對(duì)角線矩陣，表示用戶確定的理想波束的中心角。我們讓矩陣包含矩陣的行，這些行對(duì)應(yīng)著個(gè)天線的位置（我們從式（18）中的陣列方向向量中創(chuàng)造一個(gè)稀疏接收向量）。此外，我們定義方向矩陣為 （19）如果表示一個(gè)矩陣波束形成。我們假設(shè)陣列孔徑是線性的。但是，我們同樣可以考慮矩陣權(quán)重的方法來設(shè)計(jì)接收波束成形。因?yàn)榻邮詹ㄊ尚尾灰蕾囉谙到y(tǒng)發(fā)射波形的相關(guān)性，所以以下的討論更多的用于和多種接收天線相關(guān)的各種雷達(dá)設(shè)備。更多細(xì)節(jié)。在有一個(gè)最小天線間距的基礎(chǔ)上，當(dāng)我們?cè)谝粋€(gè)循環(huán)中重新放置天線的時(shí)候我們僅僅忽略那些與有天線占據(jù)的位置的相鄰位置（這些位置離已經(jīng)固定的天線太近了）。在實(shí)際應(yīng)用中，天線的物理大小和互耦效應(yīng)會(huì)限制天線間的最小間距。我們對(duì)剩下的天線做同樣的運(yùn)算，使所有天線都陸續(xù)的移動(dòng)到他們的最佳位置上。因此，我們把第m個(gè)天線重新放置到剩下的個(gè)位置（包括第m個(gè)天線現(xiàn)在的位置）中的一個(gè)上，這樣，式（12）中的最優(yōu)化矩陣就可以被最小化了。 考慮發(fā)射陣列中的第m個(gè)天線。2）選擇天線：給出一組個(gè)天線的初始位置并假設(shè)一共有個(gè)可以選擇的天線位置（我們假設(shè)天線可以被放置在一系列離散的固定位置上，這里用戶可以自行決定最小天線間距和最大陣列長度）。然后，16 非均勻陣列天線波束成形技術(shù)研究 （14） （15） （16） （17）對(duì)于式（14）中W的表達(dá)式的求證過程在附錄B中。第二步：給出U，可以使（12）值最小的W可以按一下步驟確定。關(guān)于（12）中的問題和它與式（11）關(guān)系的更多詳細(xì)情況，請(qǐng)看[35]。通過介紹矩陣，我們可以重新模擬（9）中的問題為 （11）最后，我們可以用下面的相似的問題來逼近式（11）中的最優(yōu)化問題： （12）式中。 （10）通過對(duì)Z的精心挑選，可以施加更多的關(guān)注去匹配在指定角度范圍上的理想波束（因?yàn)闄?quán)重是相關(guān)的，我們選擇來簡化字符）。考慮下面的最優(yōu)化問題： （9） （9）中的正半軸約束表明R實(shí)際上是一個(gè)正協(xié)防差矩陣，此外，通過的約束，我們可以保證在用戶確定的中心角（我們假設(shè)）位置的波形有單元高度。我們將首先描述一個(gè)循環(huán)更新R的方法，給出一組天線的位置，然后在下一部分，我們將給出天線選擇的步驟。 稀疏發(fā)射陣列設(shè)計(jì)給出一個(gè)理想波束和一個(gè)合成波束P的初始值，我們現(xiàn)在提出一個(gè)發(fā)射波束設(shè)計(jì)的迭代算法。相似地，包含了R的各行和各列，僅僅當(dāng)這各行和各列對(duì)應(yīng)著用于傳輸?shù)膫€(gè)天線時(shí)。波束p可以表示為 （8） 這里，包含了的各行，僅僅當(dāng)這些行都對(duì)應(yīng)著個(gè)天線所選定的位置時(shí)。的發(fā)射功率表示為 （5） 每一個(gè)角度的發(fā)射波束，可以用他們的向量方式表示為 （6） 14 非均勻陣列天線波束成形技術(shù)研究關(guān)于式（5）和式（6）的更深入討論在[12][14]。假設(shè)發(fā)射波束是窄帶的，我們可以給出傳輸方向向量 （