【正文】 陣元數(shù)和陣列響應(yīng)，確定陣元位置和激勵(lì)分布）第一章 緒論 5問題，一是未解決的很好的難題。其中，在給定天線形狀與陣元數(shù)的前提下，如何合理的設(shè)計(jì)陣元間距與激勵(lì)幅相分布從而使得陣列的峰值旁瓣電平最低是最重要的一類課題[10]。一方面，陣列響應(yīng)是陣元位置的復(fù)指數(shù)函數(shù)，所以陣元間距綜合是一個(gè)非線性優(yōu)化問題；另一方面，從工程應(yīng)用的角度考慮，為減小陣元間的互耦，陣元間距必須滿足一定的約束(比如不小于某一給定值)；另外，需要考慮最大陣元激勵(lì)和最小陣元激勵(lì)的比值(CRT: Current Taper Ratio)盡可能接近于 1，使得陣列天線有盡可能大的發(fā)射功率。 事實(shí)上，針對問題的第一方面，目前已經(jīng)出現(xiàn)了遺傳算法[7]、模擬退火算法、免疫算法、統(tǒng)計(jì)優(yōu)化方法和動(dòng)態(tài)規(guī)劃等綜合算法；對于第二方面，相應(yīng)地也出現(xiàn)了兩類解決陣元間距約束的途徑：其一是陣元只允許從相距半波長的規(guī)則柵格上稀疏布陣的稀疏陣[2]；其二是天線單元在一定孔徑范圍內(nèi)隨機(jī)稀布的稀布陣[1]，設(shè)計(jì)時(shí)約束其最小陣元間距。由于第二種途徑使優(yōu)化布陣具有更大的自由度，相同陣元數(shù)和陣列孔徑條件下可獲得更優(yōu)的 PSLL，近年來受到相當(dāng)?shù)闹匾暋ａ槍栴}的第三方面，目前采取的是設(shè)計(jì)時(shí)約束激勵(lì)的范圍，使得各陣元激勵(lì)都在一定范圍內(nèi)取值，保證 CRT 不會(huì)超出某一值。 對于一個(gè)相控陣主動(dòng)遙感系統(tǒng)來說（例如雷達(dá)，聲納，醫(yī)療成像等等），相干波形的傳輸允許一個(gè)窄波束形成模式，因此，在接受時(shí)也允許有高的性噪比[1][2]。當(dāng)某個(gè)場景中目標(biāo)的位置未知時(shí)，發(fā)射天線可以用相移來引導(dǎo)焦點(diǎn)波束通過關(guān)注的角域。相比較之下，發(fā)射不同的可能是正交波形的MIMO系統(tǒng)，可以用來演示一個(gè)單處理間隔的擴(kuò)張角域。波形多樣化允許更高的自由度，這使得MIMO系統(tǒng)在發(fā)射波束設(shè)計(jì)中獲得更高的靈活度。 任何一個(gè)主動(dòng)遙感系統(tǒng)的發(fā)射波束在一定程度上都依賴于發(fā)射信號的協(xié)方差矩陣（我們用R來表示），當(dāng)一個(gè)波形完全相干的相控陣被采用時(shí)rank(R)=1。 （1）用一個(gè)正交波形的MIMO系統(tǒng)，相反的，R相當(dāng)于一個(gè)對角線矩陣，這個(gè)對角線矩陣的每個(gè)元素代表每個(gè)發(fā)射天線的基本功率。用部分相干波形的波束設(shè)計(jì)在[12][14]中已經(jīng)進(jìn)行了深入的討論。在那里，作者描述了怎樣用凸優(yōu)化來確定R（在一定的功率約束下），而這個(gè)R能最好的逼近所需的波形。此外，[12]展示了波束匹配和最小化旁瓣水平設(shè)計(jì)方法，而且，還給出了率先確定所需波束的方法。[12][14]的作者設(shè)想發(fā)射天線的位置也將影響波束的形狀，也被率先用來確定R9 非均勻陣列天線波束成形技術(shù)研究的結(jié)構(gòu)（為了不失去普遍性，設(shè)想均勻線性陣列的這個(gè)性質(zhì)已經(jīng)被證明）。在接收端，稀疏矩陣或者稀布矩陣設(shè)計(jì)在過去59年間已經(jīng)成為了豐富文學(xué)的主要內(nèi)容。稀疏矩陣設(shè)計(jì)的目的已經(jīng)變成減少產(chǎn)生理想的空間接受波束所需的天線個(gè)數(shù)，當(dāng)然，這樣也會(huì)減少成本。此外，先前的科學(xué)家試著去避免為了控制旁瓣水平而逐漸減少的均勻天線，均勻天線的減少會(huì)導(dǎo)致主瓣寬度增加。自然地，多費(fèi)切比雪夫設(shè)計(jì)方法基本上已經(jīng)被大眾接受，旁瓣水平最小化和主瓣寬度控制也同時(shí)得到了解決。隨著高速運(yùn)算的產(chǎn)生，許多先前的作者試圖用級數(shù)展開式來模擬空間接受波束，級數(shù)展開式僅僅能逼近所需的功能。以前所做工作的詳細(xì)回顧可以在[23]中找到。更多近代的方法尋求通過最優(yōu)化策略設(shè)計(jì)接受天線方位和波束權(quán)重的方法，包括單一型探索和分支定界技術(shù)。遺傳算法和模擬退火算法也已經(jīng)被用于接受波束設(shè)計(jì)。此外，迭代最優(yōu)化算法在[24][27]中有所呈現(xiàn)。在[24]中，作者利用一個(gè)實(shí)際的成本函數(shù)來循環(huán)的最小化一個(gè)成本函數(shù)，來匹配所需的接受波形。同樣的，[26]中描述的算法把天線的順序添加用于一個(gè)系統(tǒng)，這樣天線權(quán)重和位置在每一次添加后都被最優(yōu)化。[27]的作者反而建議從一個(gè)完整的數(shù)組結(jié)構(gòu)開始，然后反復(fù)移動(dòng)天線在接受波束中產(chǎn)生最高的旁瓣水平。因?yàn)榉峭乖O(shè)計(jì)的限制（特別是一個(gè)系統(tǒng)中天線的數(shù)量有數(shù)量限制），僅僅在局部，而不是在全部，最佳的稀疏矩陣設(shè)計(jì)方法已經(jīng)被證明是存在的。 研究框架在這篇文章中，我們試圖把稀疏矩陣方法的思想用于稀疏MIMO矩陣設(shè)計(jì)。我們將通過稀疏陣列天線的設(shè)計(jì)來描述可以用于逼近所需的發(fā)射和接受波束的循環(huán)算法（我們的循環(huán)方法類似于那些已經(jīng)被采用的，區(qū)別是循環(huán)周期不同）。我們的算法可以看做是[24][27]描述的迭代接受波束設(shè)計(jì)的延伸。在第二章中，我們將用稀疏天線陣列來呈現(xiàn)發(fā)射波束設(shè)計(jì)的循環(huán)算法，然后用相似的方法，來通過稀疏陣列分別的提供矩陣和向量接受波束成形。我們在第三章進(jìn)行數(shù)字仿真，第四章是結(jié)論。注釋：我們分別用黑體小寫字母和大寫字母表示向量和矩陣。表示轉(zhuǎn)置運(yùn)算，共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算，表示復(fù)共軛元算，表示哈達(dá)瑪矩陣乘積，表第一章 緒論 10示包含平方矩陣對角線元素的列向量，表示大小為MM的單位矩陣。此外，表示矩陣的法布尼斯范運(yùn)算和向量的范運(yùn)算。表示矩陣X的漢密爾頓平方根。和分別表示一個(gè)實(shí)數(shù)的LM矩陣和一個(gè)復(fù)數(shù)的LM矩陣。11 非均勻陣列天線波束成形技術(shù)研究第二章 波束設(shè)計(jì)理論介紹 12第二章 波束設(shè)計(jì)理論介紹在這章中，三種波束的設(shè)計(jì)問題將會(huì)在理論上被介紹并加以證明，這三種波束是：MIMO發(fā)射波束設(shè)計(jì)，矩陣方法的MIMO接收波束設(shè)計(jì)，向量方法的MIMO接收波束設(shè)計(jì)。 MIMO發(fā)射波束設(shè)計(jì)在這章中，我們模擬MIMO發(fā)射波束設(shè)計(jì)的問題。然后給出我們的用于MIMO發(fā)射波束設(shè)計(jì)的迭代算法，這個(gè)算法可以在最小平方意義上，通過循環(huán)的確定天線的位置和一個(gè)逼近的發(fā)射協(xié)防差矩陣來逼近所需的發(fā)射波束。 問題模型 給出一個(gè)長度為含有個(gè)天線的均勻線性陣列（ULA），表示發(fā)射天線之間的間距。假設(shè)發(fā)射波束是窄帶的，我們可以給出傳輸方向向量 （2）式中，表示系統(tǒng)載波的波長，表示數(shù)組攻擊的方位角。角掃描范圍為，接著我們把一系列方向向量組成一個(gè)方向矩陣 （3）我們讓表示發(fā)射信號脈沖，表示發(fā)射脈沖的協(xié)防差矩陣 （4） 表示求期望運(yùn)算。的發(fā)射功率表示為 （5） 每一個(gè)角度的發(fā)射波束，可以用他們的向量方式表示為 （6） 14 非均勻陣列天線波束成形技術(shù)研究關(guān)于式（5）和式（6）的更深入討論在[12][14]。用跟（6）相似的方式，我們可以定義一個(gè)理想的實(shí)數(shù)發(fā)射波束為 （7）為了稀疏矩陣設(shè)計(jì)，我們假設(shè)只有在天線個(gè)數(shù)的時(shí)候，對于發(fā)射器來說才是可用的。波束p可以表示為 （8） 這里，包含了的各行，僅僅當(dāng)這些行都對應(yīng)著個(gè)天線所選定的位置時(shí)。我們用表示稀疏矩陣的角度的方向向量。相似地，包含了R的各行和各列，僅僅當(dāng)這各行和各列對應(yīng)著用于傳輸?shù)膫€(gè)天線時(shí)。稀疏MIMO發(fā)射波束設(shè)計(jì)的目標(biāo)是確定一組個(gè)天線的位置和相應(yīng)的波形協(xié)防差矩陣R，這樣就可以使（8）可以更好的逼近（7）中的理想波束。 稀疏發(fā)射陣列設(shè)計(jì)給出一個(gè)理想波束和一個(gè)合成波束P的初始值，我們現(xiàn)在提出一個(gè)發(fā)射波束設(shè)計(jì)的迭代算法。在我們的每一個(gè)例子中，我們將假設(shè)一個(gè)ULA，它的天線間距為，波形正交（所以它的),這個(gè)ULA用來初試這個(gè)算法。我們將首先描述一個(gè)循環(huán)更新R的方法，給出一組天線的位置，然后在下一部分，我們將給出天線選擇的步驟。1）通過循環(huán)算法確定R：假設(shè)一組天線的位置已經(jīng)被指定的（也就是方向矩陣被指定了），我們首先描述一個(gè)怎么設(shè)計(jì)R來逼近理想波束?？紤]下面的最優(yōu)化問題： （9） （9）中的正半軸約束表明R實(shí)際上是一個(gè)正協(xié)防差矩陣，此外，通過的約束，我們可以保證在用戶確定的中心角（我們假設(shè)）位置的波形有單元高度。矩陣Z式一個(gè)包含用戶確定的高度的對角線矩陣，用第二章 波束設(shè)計(jì)理論介紹 15表示。 （10）通過對Z的精心挑選，可以施加更多的關(guān)注去匹配在指定角度范圍上的理想波束（因?yàn)闄?quán)重是相關(guān)的，我們選擇來簡化字符）。例如，如果值被設(shè)定在單位值，然后相同的權(quán)重會(huì)被用于整個(gè)角域的每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)。通過介紹矩陣，我們可以重新模擬（9）中的問題為 （11）最后，我們可以用下面的相似的問題來逼近式（11）中的最優(yōu)化問題： （12）式中。式（12）相似于（11），我們要說的是可以使（12）變小的任何W和U的值都會(huì)使（11）中的最優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)變小，反之亦然。關(guān)于（12）中的問題和它與式（11）關(guān)系的更多詳細(xì)情況，請看[35]。假設(shè)R的初始值已經(jīng)被指定了，我們可以用來初始化W，一旦獲得了W的初始值，我們可以直接用一個(gè)循環(huán)算法來最小化式（12）中的最優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)，步驟如下：第一步：給出W，式（12）中的最小化矩陣U的列可以用下式來計(jì)算： （13）式中，代表矩陣U的第k列，式（13）的求證在附錄A中。第二步：給出U，可以使（12）值最小的W可以按一下步驟確定。選擇一個(gè)的矩陣V，使，V是一個(gè)列滿秩矩陣。然后，16 非均勻陣列天線波束成形技術(shù)研究 （14） （15） （16） （17）對于式（14）中W的表達(dá)式的求證過程在附錄B中。 第三步：重復(fù)第一步和第二步知道符合收斂標(biāo)準(zhǔn)，就像（式中，和表示在第i次循環(huán)中更新的矩陣值）。2）選擇天線：給出一組個(gè)天線的初始位置并假設(shè)一共有個(gè)可以選擇的天線位置（我們假設(shè)天線可以被放置在一系列離散的固定位置上，這里用戶可以自行決定最小天線間距和最大陣列長度）。下面我們來重新放置天線來更好的模擬一個(gè)理想的發(fā)射波束。 考慮發(fā)射陣列中的第m個(gè)天線。如果我們假設(shè)剩下的個(gè)天線的位置暫時(shí)是固定的，那么剩下的個(gè)位置暫時(shí)沒有被天線占據(jù)。因此，我們把第m個(gè)天線重新放置到剩下的個(gè)位置（包括第m個(gè)天線現(xiàn)在的位置）中的一個(gè)上，這樣，式（12）中的最優(yōu)化矩陣就可以被最小化了。重新放置第m個(gè)天線，就意味著式（12）中A的第m行也隨之改變來反映天線的位置（傳輸方向向量可以反映天線的選定位置）。我們對剩下的天線做同樣的運(yùn)算，使所有天線都陸續(xù)的移動(dòng)到他們的最佳位置上。此外，我們重復(fù)所有的步驟只到達(dá)到收斂標(biāo)準(zhǔn)，也就是在一個(gè)循環(huán)中沒有天線的位置被移動(dòng)。在實(shí)際應(yīng)用中，天線的物理大小和互耦效應(yīng)會(huì)限制天線間的最小間距。為了不使用更多的間距，我們用更密集的候選位置來獲取更大的設(shè)計(jì)靈活性。在有一個(gè)最小天線間距的基礎(chǔ)上，當(dāng)我們在一個(gè)循環(huán)中重新放置天線的時(shí)候我們僅僅忽略那些與有天線占據(jù)的位置的相鄰位置（這些位置離已經(jīng)固定的天線太近了）。用這種方式，可以使我們在天線選擇中有充分自由的同時(shí)，還能調(diào)節(jié)設(shè)計(jì)約束。更多細(xì)節(jié)。第二章 波束設(shè)計(jì)理論介紹 17 矩陣方法MIMO接收波束設(shè)計(jì)，我們也可以考慮把我們的循環(huán)稀疏陣列設(shè)計(jì)方法用于M