【正文】 統(tǒng)的能觀測(cè)變換矩陣，該矩陣可以由MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中的obsv(A，C)函數(shù)自動(dòng)產(chǎn)生出來(lái)。若系統(tǒng)中至少有一個(gè)狀態(tài)變量是不可測(cè)的，則稱此系統(tǒng)為不完全可測(cè)的。 系統(tǒng)可觀測(cè)性分析若一個(gè)n維線性定常系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：其中A、B、C、D分別為nn、nr、mn、mr常數(shù)矩陣。如果rank()=n，則系統(tǒng)完全能控。矩陣稱為系統(tǒng)的能控變換矩陣，該矩陣可以由MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中的ctrb()函數(shù)自動(dòng)產(chǎn)生出來(lái)。（2） 對(duì)于任何t, t0和；如下定義的格蘭姆矩陣非奇異： (3) ,其中, (4) 矩陣(SiA)B的行線性獨(dú)立?？梢愿鶕?jù)矩陣A和B確定系統(tǒng)的能控性。如果系統(tǒng)至少有一個(gè)狀態(tài)是不可控的，那么系統(tǒng)就是不完全控制的（簡(jiǎn)稱不可控）?？煽匦愿拍顑H僅要求輸入u能在有限的時(shí)間內(nèi)，使系統(tǒng)由狀態(tài)的任意一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一任意狀態(tài)。對(duì)于一個(gè)線性定常系統(tǒng)（A,B,C）,其狀態(tài)向量x屬于n維實(shí)空間，即。由于有一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)位于S平面的右半部，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。m代入式通過(guò)計(jì)算得到傳遞函數(shù)。在MATLAB中，將實(shí)際系統(tǒng)的模型參數(shù)M=，m=，b=／m／s， l=，I=如果有這樣的極點(diǎn)，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析 在經(jīng)典控制理論中，對(duì)線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念是這樣定義的：如果系統(tǒng)由于受到擾動(dòng)作用而偏離了原來(lái)的平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動(dòng)去除后，如果能恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對(duì)于系統(tǒng)在平衡點(diǎn)鄰域的穩(wěn)定性可以根據(jù)系統(tǒng)的線性模型進(jìn)行分析。我們所關(guān)心的是系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的性質(zhì)，因而可以采用線性化模型來(lái)分析。豎直向上位置是直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，可以設(shè)計(jì)穩(wěn)定控制器來(lái)使直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定在這個(gè)點(diǎn)。將該式寫成矩陣形式可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為[19]：（216） （217）由此可見(jiàn)，一級(jí)倒立擺實(shí)際上是一個(gè)單輸人多輸出的系統(tǒng)。為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們合并這兩個(gè)方程，約去P和N，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： （29）用U來(lái)代表被控對(duì)象的輸入力F，則運(yùn)動(dòng)方程組為：設(shè)（是擺桿與垂直向上方向之間的夾角)，假設(shè)無(wú)限趨近于零，則可以進(jìn)行近似處理：，用u來(lái)代表被控對(duì)象的輸入力F，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下： （210）對(duì)上式做拉普拉斯變換，得： （211）注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為0。分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程: （21） （22）其次，對(duì)擺桿進(jìn)行受力分析。MuFuP 小車隔離受力圖其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。f擺桿所受的摩擦阻力矩系數(shù)，單位()。F小車所受的等效摩擦力，單位(N)。J擺桿對(duì)重心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，單位()。m擺桿的質(zhì)量，單位(kg)。β擺桿與垂直方向的夾角，單位(rad)。為了在數(shù)學(xué)上推導(dǎo)和處理問(wèn)題的方便，可作出如下假設(shè)：（1） 擺桿在運(yùn)動(dòng)中是不變形的剛體；（2） 齒型帶與輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，齒型帶無(wú)拉長(zhǎng)現(xiàn)象；（3） 小車在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，摩擦系數(shù)一定；（4） 忽略空氣阻力； 基于以上幾點(diǎn)，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)（）mMuxFθ0 一級(jí)倒立擺小車擺桿位置圖在本文中，將應(yīng)用牛頓一歐拉法對(duì)倒立擺進(jìn)行數(shù)學(xué)建模[17]。直流永磁力矩電機(jī)和位置傳感器固定在同一側(cè)，直流電機(jī)通過(guò)傳送帶驅(qū)動(dòng)小車沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)。直線倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)機(jī)電一體化系統(tǒng)，由小車和擺桿組成。另一種是系統(tǒng)運(yùn)行和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立系統(tǒng)的模型(模型結(jié)構(gòu)和參數(shù))，這種方法稱為系統(tǒng)辨識(shí)。建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型有兩種方法:一種是從基本物理定律，即利用各個(gè)專門學(xué)科領(lǐng)域提出來(lái)的物質(zhì)和能量的守恒性、連續(xù)性原理，以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)推導(dǎo)出模型。限位開(kāi)關(guān)也可分為旋轉(zhuǎn)限位開(kāi)關(guān)及直行限位開(kāi)關(guān)。當(dāng)動(dòng)物接近靜物時(shí)，開(kāi)關(guān)的連桿驅(qū)動(dòng)開(kāi)關(guān)的接點(diǎn)引起閉合的接點(diǎn)分?jǐn)嗷蛘邤嚅_(kāi)的接點(diǎn)閉合。編碼器有兩種形式:增量式編碼器和絕對(duì)編碼器。(2) 編碼器編碼器作為檢測(cè)轉(zhuǎn)速、線速度、角速度、線位移、角位移的一種傳感器，是利用碼盤將這些信號(hào)轉(zhuǎn)換成亮、暗光信號(hào)，再用各種光電器件的光電效應(yīng)將信號(hào)轉(zhuǎn)換成電信號(hào)輸出。4）快速響應(yīng)電機(jī)的機(jī)電常數(shù)要小，相應(yīng)的伺服電機(jī)要有較大的堵轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩和較小的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。線性的機(jī)械特性和調(diào)節(jié)特性有利于提高自動(dòng)控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)精度。2）機(jī)械特性和調(diào)節(jié)特性均為線性伺服電機(jī)的機(jī)械特性是指控制電壓一定時(shí)轉(zhuǎn)速隨轉(zhuǎn)距的變化關(guān)系。改變控制電壓可以變更伺服電機(jī)的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)向。下面來(lái)介紹一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的一些硬件組成：（1）伺服電機(jī)伺服電機(jī)又稱為執(zhí)行電動(dòng)機(jī)，在自動(dòng)控制系統(tǒng)中作為執(zhí)行元件，它將輸入的電壓信號(hào)變換成轉(zhuǎn)軸的角位移或者角速度輸出。：計(jì)算機(jī)運(yùn)動(dòng)控制卡伺服驅(qū)動(dòng)器伺服電機(jī)擺桿光電碼盤1光電碼盤2 倒立擺系統(tǒng)工作原理框圖電機(jī)編碼器和角碼器向運(yùn)動(dòng)控制卡反饋小車和擺桿位置，小車的位移可以根據(jù)光Ffl碼盤l的反饋通過(guò)換算獲得，速度信號(hào)可以通過(guò)對(duì)位移的差分得到，并同時(shí)反饋給伺服驅(qū)動(dòng)器和運(yùn)動(dòng)控制卡；擺桿的角度由光電碼盤2測(cè)量得到，而角速度信號(hào)可以通過(guò)對(duì)角度的差分得到，并同時(shí)反饋給控制卡和伺服驅(qū)動(dòng)器。控制平臺(tái)主要部分組成：(1)與IBM PC／AI機(jī)兼容的PC機(jī)，帶PCI／SCI總線插槽；(2)GT400一SV—PCI運(yùn)動(dòng)控制卡；(3)GT400．SV—PCI運(yùn)動(dòng)控制卡用戶接口軟件。倒立擺系統(tǒng)包含倒立擺本體、電控箱及出計(jì)算機(jī)和運(yùn)動(dòng)控制卡組成的控制平臺(tái)三大部分，組成了一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)。在分析它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)一定的假設(shè)，忽略一些次要的因素后，可通過(guò)機(jī)理建模方式建立其數(shù)學(xué)模型。機(jī)理建模是對(duì)系統(tǒng)各部分的運(yùn)動(dòng)機(jī)理進(jìn)行分析，根據(jù)它們所依據(jù)的基本定律，如電學(xué)中的克?；舴蚨桑W(xué)中的牛頓定律，熱力學(xué)中的熱力學(xué)定律等，即利用各個(gè)專門學(xué)科領(lǐng)域提出的物質(zhì)和能量的守恒性和連續(xù)性原理，以及系統(tǒng)設(shè)備的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)推導(dǎo)出模型，這種方法得出的數(shù)學(xué)模型稱之為理論模型或解析模型，這種建立模型的方法稱之為解析法；實(shí)驗(yàn)建模是根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)所提供的信息，進(jìn)行數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近，從而得到關(guān)于系統(tǒng)模型的參數(shù)，這種方法是實(shí)驗(yàn)方法或稱統(tǒng)計(jì)建模法，也稱系統(tǒng)辨識(shí)。第二章 一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的建立建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的前提。第四章著重介紹PID控制算法并對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行MATLAB仿真。同時(shí)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性及可觀測(cè)性。本文的具體內(nèi)容安排如下：第一章為緒論，主要介紹一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的研究背景及意義、分類、研究現(xiàn)狀、控制方法等并簡(jiǎn)單介紹了MATLAB及Simulink相關(guān)知識(shí)。通過(guò)編寫S函數(shù)，用戶可以向S函數(shù)中添加自己的算法，該算法可以用MATLAB編寫，也可以用標(biāo)準(zhǔn)C語(yǔ)言或其他匯編語(yǔ)言進(jìn)行編寫。它采用一種特殊的調(diào)用規(guī)則來(lái)實(shí)現(xiàn)用戶與Simulink內(nèi)部解法器的互換。 S函數(shù)簡(jiǎn)介 Simulink中的函數(shù)也稱為系統(tǒng)函數(shù)，簡(jiǎn)稱SFunction。因此其擴(kuò)充性很強(qiáng)，實(shí)現(xiàn)與其集成應(yīng)用的目的。Simulink是MATLAB環(huán)境下的模擬工具，Simulink為用戶提供了方便的圖形化功能模塊，以便連接一個(gè)模擬系統(tǒng)，簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)流程，減輕設(shè)計(jì)負(fù)擔(dān)。它還能在同一屏幕上進(jìn)行仿真、資料顯示和輸出波形。如果有一個(gè)基于框圖的仿真程序，則解決這樣的問(wèn)題就輕而易舉了。對(duì)于復(fù)雜的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，單純采用上述的方法有時(shí)難以完成仿真任務(wù)?？刂葡到y(tǒng)仿真研究的一種很常見(jiàn)的需求，系統(tǒng)在某些信號(hào)驅(qū)動(dòng)下，觀測(cè)系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)，從中得出期望的結(jié)論。同時(shí)Simulink還集成了Stateflow，用來(lái)建模、仿真復(fù)雜事件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的邏輯行為。Simulink提供了采用鼠標(biāo)拖放的方法建立系統(tǒng)框圖模型的圖形交互平臺(tái)。其名字有兩重含義，仿真(simu)與模塊連接(1ink)，表示該環(huán)境可以用框圖的方式對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真[14]。因此該工具很快就在控制工程界獲得了廣泛的認(rèn)可,并使仿真軟件進(jìn)入了系統(tǒng)模型的圖形組態(tài)階段[13]。這是MATLAB的一個(gè)擴(kuò)展軟件模塊。它集數(shù)值計(jì)算、圖形圖像顯示以及編程于一體, 是常用的控制系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)工具[12]。這種被控量既有角度，又有位置，且它們之問(wèn)又有關(guān)聯(lián)，具有非線性、時(shí)變、多變量耦合的性質(zhì)。倒立擺剛開(kāi)始工作時(shí)，首先使小車按擺桿的自由振蕩頻率擺動(dòng)，擺桿隨之大幅度擺動(dòng)。為了使擺桿擺動(dòng)或者達(dá)到豎直向上的穩(wěn)定，需要給小車一個(gè)控制力，使其在軌道上被往前或朝后拉動(dòng)。作用力平行于軌道的方向作用于小車，使桿繞小車上的軸在豎直平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，小車沿著水平導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)。 倒立擺的控制方法倒立擺系統(tǒng)的輸入為小車的位移(即位置)和擺桿的傾斜角度期望值，計(jì)算機(jī)在每一個(gè)采樣周期中采集來(lái)自傳感器的小車與擺桿的實(shí)際位置信號(hào)，與期望值進(jìn)行比較后，通過(guò)控制算法得到控制量，再經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)換驅(qū)動(dòng)電機(jī)實(shí)現(xiàn)倒立擺的實(shí)時(shí)控制。（12）幾種控制算法相結(jié)合的控制方式。提出最優(yōu)超平面的概念并且與核空間相結(jié)合，以一個(gè)凸二次優(yōu)化及其Wolfe對(duì)偶來(lái)構(gòu)造分類問(wèn)題，并且在此基礎(chǔ)上發(fā)展成多類分類和函數(shù)回歸問(wèn)題。其模擬生物界優(yōu)勝劣汰的進(jìn)化過(guò)程來(lái)實(shí)現(xiàn)參數(shù)的尋優(yōu)。(9)遺傳算法。(8)非線性控制理論。(7)自適應(yīng)控制理論。用云模型構(gòu)成語(yǔ)言值，用語(yǔ)言值構(gòu)成規(guī)則，形成一種定性的推理機(jī)制。不需要了解被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，憑借人的知識(shí)與直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)并借助計(jì)算機(jī)快速模擬控制經(jīng)驗(yàn)，把人的思維中的定性分析與控制理論中的定量計(jì)算相互結(jié)合，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的控制。利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠充分逼近復(fù)雜的非線性關(guān)系，學(xué)習(xí)與適應(yīng)嚴(yán)重不確定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，與其他控制方法結(jié)合實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的穩(wěn)定控制。(3)模糊控制理論：主要是確定模糊規(guī)則，克服系統(tǒng)的非線性和不確定性實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的穩(wěn)定控制。通過(guò)對(duì)倒立擺系統(tǒng)物理模型的分析，建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，然后使用狀態(tài)空間理論推導(dǎo)出狀態(tài)方程和輸出方程，應(yīng)用狀態(tài)反饋，實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的控制。通過(guò)對(duì)倒立擺物理模型的分析，建立倒立擺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)計(jì)PID控制器實(shí)現(xiàn)控制?？傊?，倒立擺系統(tǒng)是檢驗(yàn)各種控制算法、研究控制理論很有效的實(shí)驗(yàn)設(shè)備[9]。王永等通過(guò)對(duì)多級(jí)倒立擺動(dòng)力學(xué)分析，得到了任意級(jí)旋轉(zhuǎn)倒立擺的數(shù)學(xué)模型。北京師范大學(xué)李洪興教授領(lǐng)導(dǎo)的模糊系統(tǒng)與模糊信息研究中心暨復(fù)雜系統(tǒng)實(shí)時(shí)智能控制實(shí)驗(yàn)室采用變論域自適應(yīng)模糊控制理論，分別于2001年6月和2002年8月完成了四級(jí)倒立擺系統(tǒng)的仿真和實(shí)物實(shí)驗(yàn)。李祖樞等人利用擬人智能控制理論研究了二級(jí)倒