【正文】 b*(I+m*l^2)/q (M+m)*m*g*l/q b*m*g*l/q 0]。 q = (M+m)*(I+m*l^2)(m*l)^2。 g = 。 b = 。 運行后得到如圖的仿真結(jié)果： 圖 34 倒立擺狀態(tài)方程及開環(huán)階躍響應仿真結(jié)果 倒立擺傳遞函數(shù)、開環(huán)極點及開環(huán)脈沖響應也可 采用編寫 M文件的仿真，仿真程序如下： M = 。 axis([0 2 0 100])。 [Y,X] = lsim(A,B,C,D,U,T)。 T = 0::5。 0 0 1 0] D = [0。 0。 0 (m*l*b)/p m*g*l*(M+m)/p 0] B = [ 0。 0 (I+m*l^2)*b/p (m^2*g*l^2)/p 0。 p = I*(M+m)+M*m*l^2。 g = 。 b = 。 倒立擺狀態(tài)方程及開環(huán)階躍響應也可以采用編寫 M文件的仿真，仿真程序如下： M = 。 step(A,B,C,D)。0 1 0 0]。 B=[0 1 0 3]39。0 0 0 1。 A=[0 1 0 0。 擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)： ? ?? ? 220 .0 2 7 2 50 .0 1 0 2 1 2 5 0 .2 6 7 0 5s sXs s? ? ? (321) 擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為： ? ?? ? 20 .0 2 7 2 50 .0 1 0 2 1 2 5 0 .2 6 7 0 5sVs s? ? ? (322) 擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)： 32( ) 2 .3 5 6 5 5() 0 .0 8 8 3 1 6 7 2 7 .9 1 6 9 2 .3 0 9 4 2ssUs s s s? ? ? ? ? (323) 以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程： 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 10 0 1 0 0 00 0. 08 83 16 7 0. 62 93 17 0 0. 88 31 670 0 0 1 00 0. 23 56 55 27 .8 28 5 0 2. 35 65 5x xx xu?????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ???? ??? ? ? ????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ? ????? ? ? ? ????? 1 0 0 0 00 0 1 0 0xxxyu???????? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??????? (324) 以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程： 0 1 0 0 00 0 0 0 10 0 0 1 00 0 2 9 . 4 0 3x xx xu?????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ? ????? 1 0 0 0 00 0 1 0 0xxxyu???????? ? ? ? ? ??? ?? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??????? (325) 需要說明的是，在 本文 的控制器設計和程序中，采用的都是以小車的加速度作為系統(tǒng)的輸入，如果需要采用力矩控制的方法，可以參考以上把外界作用力作為輸入的各式。為了與控基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 7 制理論的表達習慣相統(tǒng)一，即 u 一般表示控制量，用 u 來代表被控對象的輸入力 F ，線性化后得到該系統(tǒng)數(shù)學模型的微分方程表達式： ? ?????????????umlxbxmMxmlm glmlI??? ?????????)(2 (39) 傳遞函數(shù)模型 對方程組（ 29）進行拉普拉斯變換，得到 : ? ?????? ????? ????? )()()()()( )()()(22222sUssmlssbXssXmMssm lXsm glssmlI (310) 注意：推導傳遞函數(shù)時假設初始條件為 0。 圖 32 小車及擺桿受力分析 應用 Newton 方法來建立系統(tǒng)的動力學方程過程如下： 分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程： 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 6 NxbFxM ??? ??? (31) 由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式： 22 ( sin )dN m x ldt ??? (32) 即： 2c os si nN m x m l m l? ? ? ?? ? ? (33) 把這個等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個運動方程： FmlmlxbxmM ????? ???? s i nc o s)( 2?????? (34) 為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面方程： 22 ( c o s )dP m g m ldt ?? ? ? (35) 即： 2sin c osP m g m l m l? ? ? ?? ? ? (36) 力矩平衡方程如下： ??? ??INlPl ??? c o ss in (37) 注意：此方程中力矩的方向，由于 ??????? s i ns i n,c o sc o s, ?????? ，因此等式前面有負號。其中， N 和 P 為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。 在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖 31 所示。計算機從運動控制卡中讀取實時數(shù)據(jù)，確定控制決策（小車運動方向、移動速度、加速度等），并由運動控制卡來實現(xiàn)該控制決策，產(chǎn)生相應的控制量，使電機轉(zhuǎn)動，通過皮帶，帶動小車運動，保持擺桿平衡。 圖 22 一級倒立擺系統(tǒng)組成框圖 系統(tǒng)是由計算機、運動控制卡、伺服機構、倒立擺本體和光電碼盤幾大部分組成的閉環(huán)系統(tǒng)。 2 一 級 倒立擺 實驗設備簡介 一級倒立擺系統(tǒng)的結(jié)構示意圖如圖 21 所示。 MATLAB 不僅流行于控制界，在生物醫(yī)學工程、語言處理、圖像信號處理、雷達工程、信號分析，以及計算機技術等行業(yè)中也都廣泛應用。reg 緊密集成，可以直接訪問 MATLAB 大量的工具來進行算法研發(fā)、仿真的分析和可視化、批處理腳本的創(chuàng)建、建模環(huán)境的定制以及信號參數(shù)和測試數(shù)據(jù)的定義。 構架在 Simulink 基礎之上的其他產(chǎn)品擴展了 Simulink 多領域建模功能，也提供了用于設計、執(zhí)行、驗證和確認任務的相應工具。reg 是用于動態(tài)系統(tǒng)和嵌入式系統(tǒng)的多領域仿真和基于模型的設計工具。為了創(chuàng)建動態(tài)系統(tǒng)模型， Simulink 提供了一個建立模型方塊圖的圖形用戶接口 (GUI) ，這個創(chuàng)建過程只需單擊和拖動鼠標操作就能完成，它提供了一種更快捷、直接明了的方式，而且用戶可以立即看到系統(tǒng)的仿真結(jié)果。 Simulink 是 MATLAB 中的一種可視化仿真工具，是一種基于 MATLAB 的框圖設計環(huán)境，是實現(xiàn)動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和分析的一個軟件包， 被廣泛應用于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、數(shù)字控制及數(shù)字信號處理的建模和仿真中。 Simulink 具有適應面廣、結(jié)構和流程清晰及仿真精細、貼近實際、效率高、靈活等優(yōu)點，并基于以上優(yōu)點 Simulink 已被廣泛應用于控制理論和數(shù)字信號處理的復雜仿真和設計。 Simulink 是 MATLAB 最重要的組件之一 ， 它提供一個動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和綜合分析的集成環(huán)境。 目前，在自動控制、圖像處理、語言處理、信號分析、振動原理、優(yōu)化設計、時序分析和系統(tǒng)建模等領域廣泛應用。截止到 2022 年，該公司先后推出了 MATLAB 、 MATLAB ，以及 MATLAB 等版本，該軟件的應用范圍越來越廣。 MATLAB/Simulink 簡介 在科學研究和工程應用中，為了克服一般語言對大量的數(shù)學運算，尤其當涉及到矩陣運算時編制程序復雜、調(diào)試麻煩等困難，美國 Math Works 軟件公司于 1967 年構思并開發(fā)了矩陣實驗室（ Matrix Laboratory ,MATLAB）軟件包。 （ 3） 智能控制方法 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 2 在倒立擺系統(tǒng)中用到的智能控制方法主要有神經(jīng)網(wǎng)絡控制、模糊控制、仿人智能控制、擬人智能控制和云模型控制等。 （ 2） 預測控制和變結(jié)構控制方法 由于線性控制理論與倒立擺系統(tǒng)多變量、非線性之間的矛盾，使人們意識到針對多變量、非線性對象，采用具有非線性特性的多變量控制解決多變量、非線性的必由之路。這類方法對于一、二級倒立擺（線性化誤差較小、模型較簡單）控制時，可以解決常規(guī)倒立擺的穩(wěn)定控制問題。 倒立擺的控制方法 （ 1） 線性理論控制方法 將倒立擺系統(tǒng)的非線性模型進行近似線性化處理，獲得系統(tǒng)在平衡點附近的線性化模型，然后再利用各種線性系統(tǒng)控制器設計方法，得到期望的控制器。對于倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，具有重要的理論意義和重要的工程實踐意義。倒立擺常規(guī)的控制算法如 LQR 在倒立擺的控制中已被廣泛采用，模糊控制作為一種智能控制的方法，在一定程度上模仿了人的控制，它不需要有準確的控制對象模型，作為一種非線性智能控制方 法，已在多變量、時變、非線性系統(tǒng)的控制中發(fā)揮了重要的作用。很多被控對象都可以抽象成為倒立擺模型，在很多領域有著廣泛的應用，如機器人，航天領域等。本文 以一 級 倒立擺為