【正文】 ，我們則獲得最優(yōu)速度. 為便于陳述局部二次擬合（主要 （a）由產(chǎn)生的時間序列圖（頂圖）和由模型（）模擬的時間序列圖（下面組圖）；（b）—（d）分別為一步，兩步，三步條件密度預測；（e）為在給定和條件下的密度. 摘自Fan，Yao和Tong（1996）是對導數(shù)估計）的結果，我們記，，. 假定帶寬和滿足，且167。顯然可以由下式來估計 . （）由（），估計可以表示為 . （）我們重新用來表示. 這個想法來自Fan，Yao和Tong（1996）. 由（），當具有零均值時，易見.因此，均值回歸的局部多項式估計可以簡單地看作估計的條件密度的均值. 在計算方面，估計二元條件密度是很麻煩的. 對帶寬和進行同時選擇也是很困難的. 一個簡單的處理方法如下. 通過標準的參照方法（）和（）來選擇. 一旦選定，問題（）就變成了一個標準的局部多項式回歸問題. 這樣，我們就可以通過在167。）和條件方差估計（167。局部數(shù)據(jù)的行為非常像局部獨立數(shù)據(jù). 這樣，（）和（）給出了在混合條件下的漸近偏倚和漸近方差的一個相合估計. 實際上，利用（）和核類似的表示，我們很容易地看出上述偏倚和方差的估計相合的. 的偏倚可以通過的元素來估計，我們記它為. 類似地，的對角元素就是的估計方差，相應地，我們記為. ，關于的水平的點置信區(qū)間大致是， （）其中是標準正態(tài)分布的分位數(shù). 估計偏倚涉及到高階導數(shù)的估計，而這在普通樣本量下通常估計得不好. 正因為這個原因，在置信區(qū)間的構造中常常忽略掉偏倚. 有人甚至討論說，參數(shù)模型的置信區(qū)間忽略了偏倚，卻也逼近得很準確. 為簡單起見，我們稱下的區(qū)間（）為點置信區(qū)間. . 帶寬選擇 如167。）. 但后者有更多的參數(shù)以減少建模偏倚，特別是在邊界區(qū)域. 這就是我們推薦適用奇數(shù)階擬合的理論背景. 這真是一個奇妙的世界！ 下面引理對導出局部多項式估計是非常有用的. 它是Mack和Silverman（1982）的結果的推廣. 令是平穩(wěn)序列，滿足混合條件，其中和. 進一步假定對某個和區(qū)間，有且，其中表示的聯(lián)保密度. 此外，我們假定167。ller（1979）的公式表示. 假定有有界支撐，記為. 則當核有有界支撐時，是右邊界點. 我們現(xiàn)在考慮在邊界點處的行為. 為此，令. 在定義和中，我們用分別代替和，這就得到了和. 類似地，在邊界定義等價核為則我們有下列結果，. 假定167。如果，且在點處是連續(xù)的，則當時，其中，是矩陣，它的第元素是是維向量，其第個元素為. 注意，由等價核的定義易見和因此，： （）當時，（）給出本身的漸近正態(tài)性. 局部多項式估計的漸近偏倚和漸近方差被自然地定義為， （）. （）對給定的權函數(shù)，理想的帶寬應極小化這就得到漸近最優(yōu)帶寬， （）其中.然而，由于這種理想帶寬依賴于未知函數(shù)，故它不是直接可用的. 我們將在167。（iv）給出. 下面屬于Masry和Fan（1997）的定理的證明將在167。ller估計和Priestley和Chao估計. 實際上，由Fan（1993a）可知，局部線性擬合在所有線性估計中是漸近最小最大的，而在所有可能的估計中幾乎是最小最大的. 這種最小最大性質(zhì)由Fan，Gasser，Gijbels，Brockmann和Engel（1995）推廣到更一般的局部多項式擬合. 局部多項式估計的性質(zhì) 整個這一節(jié)中，我們假定是平穩(wěn)序列. 令是有隨機變量生成的事件的域. 令和是它們相應的和混合系數(shù). 用表示單位向量，其位置的元素為1. 令 （）和是矩陣，它位于的元素是. 首先，我們?nèi)菀鬃C明估計能夠?qū)憺椋? （）其中有效核是核和一個多項式函數(shù)的乘積，其定義如下. （）以上表達式顯示除了“核”依賴于設計點和位置外，估計看起來就像傳統(tǒng)的核估計. 這就解釋了為什么局部多項式擬合能夠自動地適應各種設計框架和邊界估計. . 它們滿足如下矩性質(zhì). 對局部常數(shù)擬合和具有核為Epanechnikov核的局部線性擬合在內(nèi)點處（權由▲表示）和邊界點（權由●表示）分配給局部數(shù)據(jù)點的有效權. 水平實線和虛線分別是真實函數(shù)和估計的函數(shù)在點和的高度. 它們的差是在這兩個點處的偏倚. （a）NadarayaWatson估計；（b）局部線性擬合. 為清楚起見，數(shù)據(jù)（?）不包含噪聲 有效權滿足如下有限矩性質(zhì)：，其中如果，則，否則為1. 證明 由的定義 .從而得到所要的結論. ，當真實的回歸函數(shù)是階為的多項式時，的局部多項式估計的無偏倚的. 為了獲得更多有關有效核的知識，我們提供它的漸近形式. 我們首先引進一些記號. 令是矩陣，它的第元素為，其中. 定義等價核如下， （）其中是的元素. ，如果的邊緣密度在點處有連續(xù)的導數(shù)，則在對和一致地有，其中. 對高階核而言，等價核滿足如下矩條件：. 證明 注意到基本上和具有誘導核的核密度估計是相同的. 因此，對一致地有， （）把（）代入的每一個元素就立即得到，或等價地有，其中，因此，把這個式子代入的定義，我們得到.這就證明了第一個結果. . 由（），有. （）因此，使用局部多項式估計就像使用具有已知設計密度的核回歸估計一樣. 這就解釋了為什么局部多項式擬合適應于多種設計密度. 反過來，核回歸估計在的導數(shù)偏大的區(qū)域有大的偏倚，即它不能適應高偏斜設計. 為了搞清楚這一點，想象真實的回歸函數(shù)在這樣的區(qū)域內(nèi)有大的斜率. 對給定的，由于設計密度的導數(shù)是大的，故而在的一邊比另一邊有更多的點. 當使用局部平均時，由于局部數(shù)據(jù)呈現(xiàn)對稱狀態(tài)，故NadarayaWatson估計向著有更多局部數(shù)據(jù)點的那一邊產(chǎn)生偏倚. 由于局部數(shù)據(jù)多是非對稱的，故而這個問題在邊界區(qū)域更顯著，. 另一方面，如果需要，局部多項式擬合造出非對稱權以補償這類設計偏倚（（b））. 因此，它適合于各種設計密度和邊界區(qū)域. 我們現(xiàn)在給出局部多項式估計的漸近偏倚和方差表達式. 對獨立數(shù)據(jù)，我們通過在設計矩陣上加條件來獲得偏倚和方差表達式. 然而，加在上的條件將意味著幾乎是加在整個序列上. 因此，我們用漸近正態(tài)性而不是用條件期望來導出漸近偏倚和方差. 正如在167。），為比較方便，它用短虛曲線表示. 參數(shù)模型常被用來對生產(chǎn)率動態(tài)的波動進行建模，它用長的虛曲線表示. 正如人們所看到的那樣，在參數(shù)和非參數(shù)方法之間還存在本質(zhì)差異，這對參數(shù)擬合是否合適提出了疑問. 選擇帶寬預漸近代入方法由Fan和Gijbels（1995）提出，見167。）等所用方法的起源. 對給定的時間序列，多步預報能夠通過令和來完成，其中是預報步長數(shù). 對這種情形，我們用非參數(shù)方法，基于變量來估計最優(yōu)步預報，. ，我們能夠估計多步預報的條件方差和條件密度. 局部多項式擬合 局部多項式擬合是一個用途廣泛的非參數(shù)技術. 它擁有多種好的統(tǒng)計性質(zhì). 關于這些內(nèi)容可參閱Fan和Gijbels（1996）. 令是定義在（）中的回歸函數(shù)階導數(shù). 局部多項式技術可非常方便地用來估計，包括回歸函數(shù)本身. 由于回歸函數(shù)的形式?jīng)]有被指定，因而距離遠的數(shù)據(jù)點對提供了很少的信息. 因此，我們只能使用附近的局部數(shù)據(jù)點. 假定在點處有階導數(shù). 由泰勒展開，對局部鄰域的，我們有 . （）在統(tǒng)計建模方面，對周圍的局部點，我們建模為 . （）參數(shù)依賴于，故稱之為局部參數(shù). 顯然，局部參數(shù). 用局部數(shù)據(jù)擬合局部模型（）可極小化， （）其中是控制局部鄰域大小的帶寬. 作為一個說明的例子，我們?nèi)?，其中?2個月國庫券回報. 帶寬為，它是由預漸近代入法（見167。），以及Hall，Wolff和Yao（1999）估計條件分布函數(shù)（167。和Mielniczuk（1995）. 然而，對的正態(tài)假定并不是本質(zhì)的. 正如在Robinson（1997）中所證明的那樣，這個條件可以去掉. 我們在此概要地敘述用于本章的技術. 令是相對于它自身域的鞅差序列，即假定是一雙邊無窮階滑動平均過程：且是一致可積的，并滿足分式ARIMA過程滿足這三個假定. 考慮加權和，它是鞅差序列的和. 由鞅的性質(zhì)，假定這個方差存在. 下面的定理由Robinson（1997）給出. 類似的結果還可在Ibragimov和Linnik（1971）中發(fā)現(xiàn). 在上面所述的條件下，倘若，則有. 對于局部線性估計（），易見. 我們略去細節(jié). 狀態(tài)域平滑 非參數(shù)自回歸 狀態(tài)域平滑與非參數(shù)預報密切相關. 考慮一個平穩(wěn)時間序列. 為了簡單起見，我們考慮僅基于變量的預報. 基于的的最優(yōu)預報是給定時，的條件期望，它在所有的預報函數(shù)中極小化MSE.這個函數(shù)還稱為階為1的自回歸函數(shù). 當是零均值平穩(wěn)高斯過程時，這個條件均值是線性函數(shù)，條件方差是常數(shù). 這就得到一個AR（1）模型.一般地，函數(shù)不必是線性的，條件方差也不必是常數(shù). 然而，總是能夠以如下方式表示數(shù)據(jù)， （）其中. 這里，的條件均值為零，條件方差為1，即. 非參數(shù)平滑技術還能夠用于包括自回歸函數(shù)的估計以外的領域. 考慮一個雙變量序列，它可以被看作是來自平穩(wěn)過程的一個實現(xiàn). 我們的興趣是估計回歸函數(shù). 為便于對問題的理解，我們記， （）其中滿足.顯然，這個結構包括通過取而把估計的自回歸函數(shù)作為一個特定的例子. 下面是三個有用的例子. 考慮平穩(wěn)時間序列. 對給定的，我們?nèi)? 則目標函數(shù)變?yōu)?條件方差可以通過用來估計. 特別地，基本上就如同條件方差. 換句話，均值回歸函數(shù)是波動函數(shù)的平方.這就是由Stanton（1997）以及Fan和Yao（1998）所給出的波動估計的基礎. 對12個月國庫券回報用局部線性擬合估計條件方差. （a）具有Epanechnikov核和帶寬索的局部線性擬合的圖示；（b）估計條件標準差用局部線性擬合（實曲線）， Fan和Yao（1998）的基于殘差的方法（短虛曲線）和具有和的參數(shù)模型（長虛曲線） 再考慮平穩(wěn)時間序列. 我們?nèi)。菂^(qū)間上的示性函數(shù)，. 則目標函數(shù)變?yōu)?特別地，如果，我們就得到條件分布估計. 進一步，如果和，則當取值小時，基本上就如同給定時的條件密度. 這個條件密度函數(shù)對了解給定時分布的全貌是非常有用的. 特別地，自回歸函數(shù)是這個分布的中心，波動函數(shù)是這個分布的擴展. 這個思想形成了Fan、Yao和Tong（1996）估計條件密度（167。. 他們還證明了對antipersistent過程，漸近方差具有階. 局部線性估計的漸近正態(tài)性也可以被建立. 如果誤差過程是高斯的，則它的加權平均估計（）還是高斯的. 這樣，. 此外，在正態(tài)假定下，Cs246。. 對諸如時域平滑這樣的等間隔設計，正交級數(shù)方法也非常容易使用. 其基本思想是先用正交矩陣對數(shù)據(jù)進行變換，然后，在高頻點向零點有選擇地調(diào)整系數(shù)（或向零點收縮它們）. 平滑估計能夠通過tapered系數(shù)的逆變換來獲得. 常用的正交變換包括傅里葉變換和小波變換. 它們的統(tǒng)計應用可參閱Ogden（1997）、Efromovich（1999）和Vidakovic（1999）等近期出版的專著. 季節(jié)分量修正 有許多實用的修正季節(jié)分量的方法. 在此我們概要地介紹一個方法以說明其基本大意. 假定（）中的季節(jié)分量的周期是，即 . （）后一個約束是一個可識別條件. 若此約束不成立時，只要加一個常數(shù)到趨勢分量，并在季節(jié)分量修正中減去相同的常數(shù). 歸因于約束（），當是一個奇數(shù)時，趨勢能夠方便地用具有的滑動平均（）來估計. 在（）中季節(jié)分量平均掉，因而對趨勢估計沒有貢獻. 當周期是偶數(shù)時，用如下稍加修改的形式估計趨勢.季節(jié)分量能夠按如下步驟來估計. 就一個例子來說，我們假定要處理的月度數(shù)據(jù)，且周期. 在3月的季節(jié)分量的值能用在3月所得一切觀測值的移去趨勢分量后的平均來很好地近似. 這就得到估計，其中表示的整數(shù)部分，. 在上述求和中對上下限所作的限制是為了保證數(shù)據(jù)不要太接近邊界使得在趨勢估計中邊界影響達到最小. 這種初步估計可能不能精確地滿足約束（）. 但這能夠容易地通過用下式估計季節(jié)分量來作修正. 以上方法還被用于沒有趨勢分量的情形. 在這種情形，不需要移去趨勢，即令 理論概況* 問題（）的理論表述應該得到注意. 一個簡單的方式是把所得的時間序列看作是來自如下連續(xù)過程的離散化樣本路徑這種表述常常被用在金融時間序列建模中. 時間單位通常取年，每星期數(shù)據(jù)被看作是以的速度抽自連續(xù)過程. 對金融中的期權定價和風險管理，這種表述是非常有效的. 然而