【正文】 ?線性方程。然而，隱式方法計算的每一步需要求解非線性方程，所以它的計算比顯式多步方法要復(fù)雜得多。用類似的方法可得到 Adams 內(nèi)插公式表如下Adams 內(nèi)插公式表K 公式0 ????+1=????+?????+11 ????+1=????+?2(????+1+????)2 ????+1=????+?12(5????+1+8??????????1)3 ????+1=????+?24(9????+1+19?????5?????1+?????2)在求解常微分方程初值問題的數(shù)值積分法中，還有一類高階精度方法是多步方法。Adams 外插公式表K 公式0 ,????+1=????+???(????????)1 ????+1=????+?2(3??????????1)2 ????+1=????+?12(23?????16?????1+5?????2)3 ????+1=????+?24(55?????59?????1+37?????2?9?????3)仍然從積分關(guān)系式()出發(fā)，將其中的被積函數(shù) 改用以??(??,??(??))為插值結(jié)點的 k 次 Lagrange 插值多項式 近似。(??)=??39。???引進(jìn)記號(????)=??(??+1)…(??+???1)??! , (??0)=1則有????,??(????+???)=??∑???1(?1)??(?????)?????????? ()將表達(dá)式() 代入()得到????+1=????+???∑???1?????????????? ()其中系數(shù)????=(?1)??∫10(?????)????, ??=0,1,…,?? ()它們與 k 和 n 無關(guān)?！蔥????,????+1] ???????,????容易看出，當(dāng) k=0 時，()就是向前 Euler 公式。利用上述結(jié)點和近似值 作 k 次插值多項式 用它???????， ???????+1,…， ???? ????,??(??)近似() 中的被積函數(shù) ，得到近似公式??(??,??(??))????+1=????+∫????+1???? ????,??(??)???? ()將由此公式確定的 當(dāng)做 的近似值。選取 k+1 個插值結(jié)點： 。[X,Y]=Rungek(funf,x0,b,y0,h)運(yùn)行后得：X = Y1 = wcha = * 0 1 21 值值值值值值值值值值值值值值值值值值y=(x) 預(yù)估—校正算法 Adams 數(shù)值積分方法簡介及預(yù)估—校正算法 構(gòu)造高階精度格式的一個重要途徑是，將方程 改寫成如下的積分形式??39。y0=1。), %圖形說明wcha=abs(YY1), %截斷誤差自定義函數(shù)：function z=funf(x,y) z=y.^2.*exp(x)。,39。) %繪圖gridlegend(39。,X,Y1,39。end %按照龍格 庫塔方法進(jìn)行求解X,Y1=1./(1./exp(X) – 1./exp(1) + 1), %精確解plot(X,Y,39。 x=x+h。 y=y+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4)。 k3=feval(funf,x+h/2,y+h*k2/2)。 %賦初值for i=2:n k1=feval(funf,x,y)。X(i)=x0。X=zeros(n,1)。n=fix((bx0)/h)。Y1=dsolve(‘Dy=y^2*exp(x)’,’y(1)=1’,’x’) 運(yùn)行后的精確解為：Y1=1/(1/exp(x) 1/exp(1) + 1)現(xiàn)給出常用的四階 Rungekutta 方法求解常微分方程的 Matlab 主程序如下：function [X,Y]=Rungek(funf,x0,b,y0,h)x=x0。??(??0+?)假定 p=4 并取 s=3，用類似的推導(dǎo)，可建立下述常用的顯型四級 Rungekutta 方法：????+1=????+?6(??1+2??2+2??3+??4)??1=??(????,????)??2=??(????+?2,????+?2??1)??3=??(????+?2,????+?2??2)??4=??(????+?,????+???3)截斷誤差為 ，當(dāng)右端函數(shù) f 不依賴于 y 時，上述公式可簡化為??[4]?(????)=??(?5)????+1=????+?6(??(????)+4??(????+?2)+??(????+1)) Rungekutta 方法的應(yīng)用 用四級 Rungekutta 方法求初值問題 =y2 ex ，y(1)=1 在區(qū)間[1,2] 上的數(shù)值解(取??39。五年后，Heun 在其 1900 年的文章中評論 Runge 的方法時說， Runge 獲得的上述方法是歸納性的而且是令人費(fèi)解的，他主張使用更具一般性的 Gauss 求積公式∫??0+???0 ??(??)????=??∑???1??????(????)其中????=∫????(?????1)…(????????1)(???????+1)…(???????)(???????1)…(??????????1)(?????????+1)(?????????)????于是可以把一般的 Gauss 格式??1=??0+???∑???1??????(??0+?????)擴(kuò)充為??1=??(??0,??0)??2=??(??0+??2?,??0+??2???1)??3=??(??0+??3?,??0+??3???2)???1=??0+???∑???1???????? ()把()式的右端進(jìn)行二元 Taylor 展開并與 的 Taylor 展開式的對應(yīng)的系??(??0+?)數(shù)比較，適當(dāng)選取參數(shù)使方法具有盡可能高的精度。 ??39。Simpson 法則可以寫成眾所周知的形式 S=M+(TM)/3。它們是有折線構(gòu)成的，這些折線假定微分方程所確定的斜率在前面的點上已經(jīng)計算出來了。采用中點法則和梯形法則分別代替()式中的積分會??1得到??1=??0+???(??0+?2,??(??0+?2)) ()??1=??0+12?(??(??0,??0),??(??1,??1)) ()()和()是兩個隱式的方程，它們在早期發(fā)現(xiàn) Rungekutta 方法過程中扮演了一個重要角色。此時，Runge 發(fā)現(xiàn)，??1這個矩形公式的逼近程度并不高。Runge 觀察到，當(dāng)把 Euler 方法應(yīng)用到 ()型初值問題時，得到差分方程??1=??0+???(??0)事實上，這是在計算積分問題??(??0+?)=??(??0)+∫??0+???0 ??(??)???? ()時采用了左矩形法則 ∫??0+???0 ??(??)????≈???(??0)即用高為 ，