帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式的應(yīng)用畢業(yè)論文-文庫吧資料
2025-06-27 23:27本頁面
【正文】 即 因?yàn)?，所以廣義積分發(fā)散。解：因?yàn)?，故是瑕點(diǎn)。例6 討論廣義積分的斂散性。解：因?yàn)? 故 ，該級數(shù)是正項(xiàng)級數(shù)。例5 討論級數(shù)的斂散性。在級數(shù)斂散性理論中，要判定一個(gè)級數(shù)是否收斂，通常找一個(gè)較簡單的級數(shù)，再由比較判定法來判定。分析：此題是討論復(fù)合函數(shù)的無窮小量的階，且函數(shù)中含有參數(shù)，若用估猜法是行不通的，可考慮用帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式，選擇適當(dāng)?shù)恼归_項(xiàng)。解： 即 故與為同階無窮小。估計(jì)無窮小量的階，對于簡單的函數(shù)可用估猜法，但對于復(fù)雜的函數(shù)用估猜法就行不通，此時(shí)若利用帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式就能較為容易的解決此困難。其適用的題型有：1）當(dāng)時(shí)，型，當(dāng)型，型； 2）表達(dá)式容易泰勒展開的； 3）用洛必達(dá)法則較繁的。分析：此題為未定型的極限問題，但從求與題設(shè)在點(diǎn)處二階可導(dǎo)之間的關(guān)系可知，用帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式求解比用洛必達(dá)法則求解更為簡便。需要強(qiáng)調(diào)的是，展開式的項(xiàng)數(shù)的確定要考慮到分子與分母無窮小的階數(shù)，化簡表達(dá)式時(shí)要注意無窮小的計(jì)算。例1 求極限分析：此題為型不定式，且分母為，若直接用洛必達(dá)法則求極限，需連用次，計(jì)算過程會非常復(fù)雜；可考慮利用帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式將分子展開，由無窮小的性質(zhì)，分子的展開式只要保留到的四階無窮小即可。帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式是求函數(shù)極限的一個(gè)有力工具，運(yùn)用得當(dāng)會使求函數(shù)的極限變得十分簡單。2帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式的應(yīng)用帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式，只需函數(shù)在點(diǎn)存在直至階導(dǎo)數(shù)即可。在判別函數(shù)的極值與拐點(diǎn)方面，借用已有知識（函數(shù)極值的第三充分條件及運(yùn)用二階導(dǎo)數(shù)的符號判定函數(shù)的拐點(diǎn)），證明得出借助高階導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)拐點(diǎn)的充分條件定理：若在點(diǎn)及鄰域內(nèi)具有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且。在求極限方面，用帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式求不定式極限：先求出不定式的分子、分母的各個(gè)部分在點(diǎn)的帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式，根據(jù)需要取適當(dāng)?shù)捻?xiàng)（即取到分子及分母分別經(jīng)過化簡后系數(shù)不為零的項(xiàng)），分別整理出分子、分母的泰勒公式，再求出分式的泰勒公式，最后求得不定式的極限。而帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式是各種形式泰勒公式中所需條件較少，形式較簡單，且處理某些定性問題時(shí)極為簡便的泰勒公式。定理1 若在點(diǎn)及鄰域內(nèi)具有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 ；（1）若為奇數(shù)，則不是極值點(diǎn)；（2）若為偶數(shù)，則當(dāng)時(shí)，為極大值；當(dāng)時(shí)，為極小值。盡管佩亞諾型余項(xiàng)只是給出了其誤差的定性描述，無法進(jìn)行定量的計(jì)算，但它在求極限、估計(jì)無窮小量的階、判定斂散性、計(jì)算函數(shù)的極值和拐點(diǎn)及求高階導(dǎo)數(shù)中起著重要作用。1緒論泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要公式，利用泰勒公式不僅能將一些初等函數(shù)展成冪級數(shù)，進(jìn)行函數(shù)值的近似計(jì)算，而且泰勒公式還是求解高
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