【正文】 ， 本部分我們 研究 泰勒 公式 “中間點(diǎn)” ? 的漸近性問(wèn)題，主要分區(qū)間長(zhǎng)度趨于零 與 區(qū)間長(zhǎng)度趨于 無(wú)窮 進(jìn)行討論 。 因 為 0( 1, 2, )ix i n?? 令 ( ) lnf x x?? ，則 1()fx x? ?? ，21( ) 0fx x?? ??，由 ()式得1 1 11 1 1( ) ( l n ) l nn n ni i ii i if x x xn n n? ? ?? ? ? ?? ? ?=121 ln( )nx x xn?? 1111( ) ln ( )nniiiif x x??????。 顯然 ()式中等號(hào)成立充分必要條件是 : 12 nx x x?? 。 () 且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) 12 nx x x?? ，并且由此證明當(dāng) 0ix? ( 1,2, ,in? )時(shí)， 12 12n n nx x x x x xn? ? ? ?。 通過(guò) 上面兩個(gè)例子 我們討論了 泰勒公式在斂散性方面的應(yīng)用， 接下來(lái) 我們 討論 泰勒公式在判斷函數(shù)凹凸性方面的應(yīng)用。 解 : 22( 1 )(1 ) 1 ( )2!x x x o x? ??? ?? ? ? ? ?， 112233( ) 3 3 2 ( 1 ) ( 1 ) 2f x x x x x xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 23 1 9 1 1 3 1 9 1 11 + ( ) 1 + ( ) 22 8 2 8x o ox x x x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 12 33229 1 1()4 oxx? ? ? ?。 我們通過(guò)一個(gè)具體的例子來(lái)進(jìn)行說(shuō)明。 解 : xa lnxae?? 2221 1 11 + ln ln ( )2x a a onn??， 1na??2221 1 1 11 + ln ln ( )2!a a on n n??， 1na? ?2221 1 1 11 ln ln ( )2!a a on n n? ? ?， 因此 11 22211( 2) l n ( )nnna a a a onn?? ? ? ? ?， 從而有0 221lim 1lnnaan?? ?， 0na? 是關(guān)于 (1n )的2 階 .即 111 ( 2)nnn aa?? ?? ???與211n n???同收斂。為了有效地選取11pn n???中的 p 值，可以應(yīng)用泰勒公式研究通項(xiàng) 0na? (n?? )的階，據(jù)此選取恰當(dāng)?shù)?p 值使 lim1nnpan??l? ，并且保證0 l? ??? ，再由比較判定法 (極限形式 )就可判定1 nn a???的斂散性， 下面舉例說(shuō)明之。在實(shí)際應(yīng)用中較困難是如何選取恰當(dāng)?shù)?1pn n???( 0p? 中的 p 值 )？例如 (1) 若 2p? ，此時(shí)211n n???收斂，但2lim1nn an????? ； 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 11 (2) 若 1p? ，此時(shí)11n n???收斂，但 lim1nn an??0? 。 接下來(lái) 我們 討論 泰勒公式在 判別級(jí)數(shù)及 無(wú)窮積分 斂散性方面的應(yīng)用。若 zy? ， 有 ( ) ( )() nnn z x y y x zfx zy? ? ?? ?。 于是 ()nfx在 xz? 處的各階導(dǎo)數(shù) (注意到公 式 ) 為 21( ) ( ) | ( ) ( ) nn x z nf z f x n f z n z z y ???? ?? ? ? ?， 31( ) ( ) | ( ) ( 1 ) ( ) nn x z nf z f x n f z n n z z y ????? ?? ?? ? ? ? ?， … … … … ， 11 1( ) ( ) | ( 1 ) 2 ( ) ( 1 ) 2nnn n x zf z f x n n f z n n z?? ?? ? ? ? ?， () ( ) ( 1) 2 1nnf z n n? ? ?。 () 由 ()得， 1( ) ( )kkf z z z y ???， k =1,2,… ,n 時(shí) 全 都成立 。其思路根據(jù)所求行列式的特點(diǎn)，構(gòu)造相應(yīng)的行列式函數(shù)，再把這個(gè)行列式函數(shù)按泰勒公式在某點(diǎn)展開(kāi) ) 解 ：我們把行列式 nD 看成 x 的函數(shù)，記 ()nfx= nD ，則 ()nfx在 xz? 的泰勒展開(kāi)式為 2( ) ( ) ()( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ! 2 ! !n nnnn f z f z fzf x f z x z x z x zn? ??? ? ? ? ? ? ?。 例 求 n 階行列式 nD?x y y yz x y yz z x yz z z x。 泰勒公式在 計(jì)算行列式 中 的應(yīng)用 在代數(shù)學(xué)中，有關(guān)利用代數(shù)知識(shí)計(jì)算行列式的方法很多，但應(yīng)用泰勒公式法極為少 見(jiàn)，下面讓我們從泰勒公式入手， 利用泰勒展開(kāi)式計(jì)算行列式 。 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 9 3 泰勒公式 的應(yīng)用 第 2 部分我們給出了 泰勒公式 的幾個(gè)基本 形式及 泰 勒公式的 證明 ，在此 基礎(chǔ)上，我們 利 用泰勒公式來(lái)解決一些問(wèn)題，這些問(wèn)題 利用其他的方法往往比較困難，而 運(yùn)用泰勒公式 可以使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單 。 證明 :設(shè) ( ) ( ) ( )nnR x f x T x??， 0( ) ( )nnQ x x x??， 現(xiàn)在只需驗(yàn)證明0()lim 0()nxx nRxQx? ? 函數(shù) f 在點(diǎn) 0x 存在直到 n 階導(dǎo)數(shù)，又知 ()20 0 00 0 0 0 0( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )1 ! 2 ! !n nn f x f x f xT x f x x x x x x x x xn ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?易知 ( ) ( )00( ) ( )kknf x T x? ， k =0,1, n ，因?yàn)?()0 0 0( ) ( ) ( ) 0nn n nR x R x R x?? ? ?而 ( 1 )0 0 0( ) ( ) ( ) 0nn n nQ x Q x Q x??? ? ? ?， () 0( ) !nnQ x n? 因?yàn)?()0()nfx存在，所以在點(diǎn) 0x 的某鄰域 0()Ux 內(nèi) f 存在 1n? 階導(dǎo)函數(shù) ()fx，于是，濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 8 當(dāng) 0()ox U x? 且 0xx? 時(shí) ， 允 許 接 連 使 用 洛 必 達(dá) 法 則 1n? 次 ， 得 到0 0 0( 1 )( 1 )( ) ( ) ( )l i m l i m l i m( ) ( )()nn n nnx x x x x xnnnR x R x R xQ x Q xQx??? ? ????? =0( 1 ) ( 1 ) ( )0 0 00( ) ( ) ( ) ( )l i m ( 1 ) 2 ( )n n nxxf x f x f x x xn n x x???? ? ??? =0( 1 ) ( 1 ) ()000( ) ( )1 l i m [ ( ) ]!nn nxxf x f x fxn x x???? ?? =0。這樣就自然 地得到 拉格朗日 泰勒公式。 32 3 01( ) ( ) ( )3!R x f x x??????并代入 (7) 式，得 230 0 0 0 0 3 011( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ! 3 !f x f x f x x x f x x x f x x?? ?? ???? ? ? ? ? ? ?， 仿此可推得 20 0 0 01( ) ( ) ( ) ( ) ( )21f x f x f x f x x x? ??? ? ? ? ? ?() 001 ( ) ( ) ( )! nn nf x x x R xn ??， 其中 ( 1 ) 101( ) ( ) ( )( 1 ) ! nnnR x f x xn ??????， ? 介于 0x 與 x 之間。 () 3? 介于 0x 與 x 之間。 為了確定 2K ,對(duì)上式兩邊關(guān)于 x 求二次導(dǎo)數(shù)，得 0 2 0( ) ( ) 3! ( )f x f x K x x?? ??? ? ?。 () 這樣 () 式變?yōu)? 20 0 0 0 0 21( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2!f x f x f x x x f x x x R x? ??? ? ? ? ? ?。 () 2? 介于 0x 與 x 之間 。 () 1K 如何確定呢 ? 對(duì) () 式兩邊 關(guān)于 x 求導(dǎo)，得 0 1 0( ) ( ) 2 ( )f x f x K x x??? ? ? 。 ? 21 1 0( ) ( )R x K x x?? ， 1K 待定 。 則 0 0 0 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x x x R x?? ? ? ?。 證明：由拉格朗日中值定理 知 ,若 ()y f x? 在 0x 的某 鄰域 D 內(nèi)可導(dǎo)，則 0( ) ( )f x f x? ? 10( )( )f x x?? ? ,其中 1? 介于 0x 與 x 之間，即 0 1 0( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x x??? ? ?。 以上，我們給出了泰勒公式的幾種形式，下面我們從拉格朗日中值定理出發(fā)，給出不同于課本上的證明泰勒公式的方法。 定義 [1] 麥 克勞林公式 (Maclaurin 公式 ) ()fx? (0) (0)f f x?? ? ? (0) ()!n n nf x R xn ? 。 定義 [1] 帶有 Lagrange 型余項(xiàng)的泰勒公式 : 函數(shù) ()fx在含有 0x 的某個(gè)開(kāi)區(qū)間 (, )ab 內(nèi)具有直到 1n? 階導(dǎo)數(shù)，則對(duì) ( , )x ab??有 ()fx? 0()fx ? 00( )( )f x x x? ? ? 2 200()()2!fx xx?? ? 00()()!n nfx xxn ? + ()nRx， 其中 ()nRx? ( 1) 10()()( 1)!n nf xxn ?? ??? 。 泰勒公式的幾種形式 在證明泰勒公式前，我們首先給出泰勒公式的幾種不同形式。 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 5 2 泰勒公式 泰勒公式集中體現(xiàn)了微積分逼近法的精髓，在微積分學(xué)及相關(guān)的領(lǐng)域的各個(gè)方面都有著 重要的應(yīng)用。 定理 [1]拉格朗日 (Lagrange)中值定理 若函數(shù) f 滿足如下條件 :(1) f 在閉區(qū)間 [, ]ab 上連續(xù)； (2) f 在開(kāi)區(qū)間 (, )ab 內(nèi)可導(dǎo)；則在 (, )ab 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ? ,使得 ( ) ( )() f b f af ba? ?? ? ?。39。 定義 [1]若函數(shù) ()fx在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有直到 +1n 階導(dǎo)數(shù)，則在該鄰域內(nèi) ()fx的 n 階泰勒公式為 39。39。 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 4 定義 [1]若函數(shù) f 在點(diǎn) 0x 存在直到 n 階導(dǎo)數(shù)，則有 ??fx= 0( ) (( ) )nnT