【正文】 最小成本化問題為，條件為目標(biāo)成本函數(shù)，約束條件：　　目標(biāo)函數(shù)最小化的拉朗日函數(shù)為：一階條件為：　　　　　　　　　　　　　　　　　　解方程組得：　　　　　　　　　　　　　　代入生產(chǎn)函數(shù)得：　　　　　　所以　　將上式分別代入和的表達(dá)式，得條件要素需求函數(shù)為：　　　所以　　　　　　將條件要素需求函數(shù)代入成本函數(shù)得：＝　＝第六章 廠商理論第一節(jié) 完全競爭市場一．“雖然很高的固定成本會是廠商虧損的原因，但永遠(yuǎn)不會是廠商關(guān)門的原因。因此，若廠商想生產(chǎn)q單位的產(chǎn)出，必須使用q個(gè)單位的第一種要素，使用q個(gè)單位的第二種要素?！　榇_定成本最小化的解，分別討論等式約束和不等式約束的情況：　?、佼?dāng)，時(shí)，有，此時(shí)成本；　　②當(dāng)，時(shí)，有，此時(shí)，一階條件為：　　　　　　　　　　　　　　　當(dāng)時(shí)才有，此時(shí)，成本函數(shù)③同理，當(dāng)，時(shí)，成本函數(shù)④當(dāng)，時(shí)，松馳變量，一階條件為：。為兩種投入，分別為兩種投入的單價(jià)，q為產(chǎn)量。紀(jì)教授的每小時(shí)工作價(jià)值為12美元，并將修改施教授的初稿以完成此書。其中q=完成本書的頁碼數(shù)，S＝施教授將要支出的工作時(shí)間（小時(shí)）數(shù)，J＝紀(jì)教授花費(fèi)的工作小時(shí)數(shù)。八．施教授與紀(jì)教授將出版一本新的初級教科書。成本函數(shù)C＝APA＋BPB＝A＋BPB　 （PA＝1）　第一種方式生產(chǎn)：　　　　所以　　　　　　　　　將B的關(guān)系式代入成本函數(shù)得　　　　　成本最小的一階條件為，所以　　　　從中求得要素A的條件要素需求函數(shù)為： 　　　　同樣地，可求得要素B的條件要素需求函數(shù)為： 　　　　于是，成本函數(shù)為　　　　同理，采用第二種方式生產(chǎn)，可得到成本函數(shù)為　　　　　　　　　　　　顯然，要使這兩種生產(chǎn)方法對廠商無區(qū)別，只需上面兩個(gè)成本函數(shù)完全相等即可。當(dāng)K總值上升到120時(shí)，TC＝120＋10L＝120＋　TR＝PQ＝40Q　　　生產(chǎn)者獲利最大利潤的條件：MC＝MR所以　　5Q＝40　　　Q＝8七． 某廠商使用兩種要素A與B，生產(chǎn)一種產(chǎn)品Q，可以選用的生產(chǎn)函數(shù)有兩種:已知生產(chǎn)要素A的價(jià)格為1元，令生產(chǎn)要素B的價(jià)格為。當(dāng)K＝4時(shí)， TC＝100＋10L＝100＋（2） 如果Q的價(jià)格為40，生產(chǎn)者為了獲得最大利潤應(yīng)生產(chǎn)多少Q(mào)及利潤。（3） 已知固定成本FC＝1（萬元），產(chǎn)量為18時(shí)總收益為零，則總成本和總利潤函數(shù)如何？最大利潤為多少？　　　　　　當(dāng)固定成本FC＝1萬元時(shí)，　　　　　　，當(dāng)Q＝18時(shí)，TC＝　　　　　　，當(dāng)Q＝18時(shí)，TR＝0，b＝0　　　　　　總利潤π＝TR－TC＝－　　　　　　Q＝4時(shí)，有最大利潤　　　最大利潤萬元六． 令某個(gè)生產(chǎn)者的生產(chǎn)函數(shù)為，已知K＝4，其總值為100，L的價(jià)格為10。（3） 如該廠商每周純利潤要達(dá)到1096美元，需雇傭16個(gè)工人，試求該廠商固定成本為多少？設(shè)產(chǎn)品價(jià)格為P，L＝16時(shí)SVC＝480L＝48016＝7680美元TC＝SFC＋SVC　固定成本?。↙＝16）所以　　　利潤最大化條件2＝MC＝MR＝P，所以產(chǎn)品價(jià)格P＝2固定成本五． 假設(shè)利潤為總收益減去總成本后的差額，總收益為產(chǎn)量和產(chǎn)品價(jià)格的乘積，某產(chǎn)品總成本（單位：萬元）的變化率即邊際成本是產(chǎn)量（單位：百臺）的函數(shù)，總收益的變化率即邊際收益也是產(chǎn)量的函數(shù)，試求：（1） 產(chǎn)量由1萬臺增加到5萬臺時(shí)總成本與總收入各增加多少？總成本增加量萬元MR＝9－Q總收益增加萬元（2） 產(chǎn)量為多少時(shí)利潤極大？MC＝MR時(shí)，利潤最大。上面已經(jīng)做出，當(dāng)L＝12時(shí)， APL最大。（2） 廠商在短期中生產(chǎn)的話，其產(chǎn)品最低價(jià)格為多少？　　　　短期生產(chǎn)函數(shù)是：　　　　短期中總變動(dòng)成本SVC＝4012L＝480L　　　短期平均成本　　　在短期中，廠商在最低價(jià)格水平下，剛好SAVC達(dá)到最小，此時(shí)TR＝PX＝TVC＝SAVCX，即是說廠商收入剛好完全抵消變動(dòng)成本，還要承擔(dān)全部固定成本，所以，當(dāng)價(jià)格低于這價(jià)格之后，廠商會停止生產(chǎn)。所以， L從12到20這個(gè)區(qū)間，為生產(chǎn)的第二個(gè)階段。，當(dāng)MPL函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)等于零時(shí)，MPL達(dá)到最大。所以，此時(shí)，L＝12，為生產(chǎn)的第一個(gè)階段。生產(chǎn)的第一個(gè)階段：APL從零達(dá)到最大。X是每周產(chǎn)量，L是雇傭勞動(dòng)量（人），每人每周工作40小時(shí)，工資每小時(shí)為12美元?！　　〗猓?,所以　　　　　　生產(chǎn)者均衡條件　　得L＝2m　　　將L＝2m代入生產(chǎn)函數(shù)　　　得要素需求函數(shù)，所以將要素需求函數(shù)代入成本函數(shù)得：成本函數(shù)TC＝KPK＋LPL＋mPm＝8＋2L＋4m＝8＋8m所以短期可變成本，平均可變成本短期平均總成本短期邊際成本四． 一廠商用資本（K）和勞動(dòng)(L)生產(chǎn)x產(chǎn)品，在短期中資本是固定的，勞動(dòng)是可變的。二． 設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為Q=6KL，試用兩種方法求出相應(yīng)的成本函數(shù)（K與L的價(jià)格既定）。同理，資本的邊際生產(chǎn)力函數(shù)也是零次齊次函數(shù)?！　為任意正實(shí)數(shù)　　　k為常數(shù)當(dāng)k=0，上面兩式恒等?！⊥?，＜0，資本的邊際生產(chǎn)力遞減。當(dāng)k＞1時(shí)，規(guī)模收益遞增；0＜k＜1，規(guī)模收益遞減；k＝1，規(guī)模收益不變。若函數(shù)對于所有t＞0，都有成立，則稱f(x)是k階的齊次函數(shù)。要使規(guī)模報(bào)酬不變，必有，代入生產(chǎn)函數(shù)得　　λ≥0為一任意常數(shù)要使，上面兩式必然各項(xiàng)分別相等。（3） 假如L與K均按其邊際產(chǎn)量取得報(bào)酬，當(dāng)L與K取得報(bào)償后，尚有多少剩余產(chǎn)值？剩余價(jià)值是指產(chǎn)量減去L與K均按其邊際產(chǎn)量取得的報(bào)酬，所以生產(chǎn)函數(shù)為，所以，剩余價(jià)值＝七．對下面的生產(chǎn)函數(shù)?！　ˇ耍?顯然，當(dāng)λ＞1時(shí)，所以，生產(chǎn)函數(shù)規(guī)模報(bào)酬遞減。生產(chǎn)函數(shù)為齊次函數(shù)。當(dāng)總成本為160元時(shí)，C＝KPK＋LPL＝5K＋3L＝160，在K＝L的生產(chǎn)者均衡條件下，得L＝K＝20。勞動(dòng)的邊際生產(chǎn)函數(shù)資本的邊際生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)者均衡條件為，所以得K＝L當(dāng)Q＝10時(shí)，在K＝L的生產(chǎn)者均衡條件下，得L＝K＝10最低成本支出C＝KPK＋LPL＝80元（2） 求產(chǎn)量Q＝25時(shí)的最低成本支出和使用的L與K的數(shù)量。設(shè)，則，所以邊際產(chǎn)量函數(shù)對勞動(dòng)L單調(diào)遞減。（3） 考慮該生產(chǎn)函數(shù)勞動(dòng)的邊際產(chǎn)量函數(shù)的增減性。邊際技術(shù)替代率設(shè)，則，所以邊際技術(shù)替代率函數(shù)對資本K單調(diào)遞增。四． 已知生產(chǎn)函數(shù)為（1） 求出勞動(dòng)的邊際產(chǎn)量及平均產(chǎn)量函數(shù)。（3） 證明當(dāng)　　　　　　當(dāng)APPL函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)等于零時(shí)，APPL最大。當(dāng)MPPL＝10－L＝0時(shí)，總產(chǎn)量TL達(dá)到最大，即勞動(dòng)雇傭量L＝10時(shí)，總產(chǎn)量TL達(dá)到最大?！　　　　＝10時(shí)，　　　　　　　　　　（2） 分別計(jì)算當(dāng)總產(chǎn)量、平均產(chǎn)量和邊際產(chǎn)量達(dá)到極大值時(shí)廠商雇傭的勞動(dòng)。令上式的K＝10?！　″e(cuò)　　　邊際產(chǎn)出之比3／2，價(jià)格之比為5／4，可適當(dāng)增加A，減少B，使之相等。　　對（3） 假定生產(chǎn)X產(chǎn)品使用A、B兩要素，則A的價(jià)格下降必導(dǎo)致B的使用量增加。二． 試說明下列說法是否正確：（1） 假定生產(chǎn)某產(chǎn)品要用兩種要素，如果這兩種要素價(jià)格相等，則該生產(chǎn)者最好就是要用同等數(shù)量的這兩種要素投入。規(guī)模報(bào)酬遞增的廠商也可能也會面臨要素報(bào)酬遞減的現(xiàn)象。Y價(jià)格下降對X需求的總效應(yīng)＝X1－X＝20－20＝0Y價(jià)格下降對Y需求的總效應(yīng)＝Y(jié)1－Y＝20－10＝10第四章 生產(chǎn)理論一． 規(guī)模報(bào)酬的遞增、不變和遞減這三種情況與可變比例生產(chǎn)函數(shù)的報(bào)酬遞增、不變和遞減的三種情況的區(qū)別何在？“規(guī)模報(bào)酬遞增的廠商不可能也會面臨要素報(bào)酬遞減的現(xiàn)象”這個(gè)命題是否正確？為什么？　　　規(guī)模報(bào)酬的遞增、不變和遞減，指的是生產(chǎn)要素同比例變化時(shí)，生產(chǎn)規(guī)模報(bào)酬的遞增、不變和遞減。（3）Y價(jià)格下降的替代效應(yīng)使他買更多還是更少的X？收入效應(yīng)使他買更多還是更少的X？Y價(jià)格下降對X需求的總效應(yīng)使多少？對Y需求的總效應(yīng)又是多少？　　Y價(jià)格下降對X的替代效應(yīng)＝X2－X＝14－20＝－6，使他買更少的X。解：效用函數(shù)U＝XY，　約束條件M＝40＝XPX＋YPY＝X＋2Y消費(fèi)者均衡條件所以　　　得　　X＝20，Y＝10　Y價(jià)格下降到1時(shí)的替代效應(yīng)，此時(shí)總效用U＝XY＝200保持不變，約束條件M2＝XPX＋YPY＝X＋Y　（PY＝1）消費(fèi)者均衡條件所以　　　得　　X2＝14，Y2＝14　　M2＝28所以，此時(shí)，Y降格下降，Y的需求上升，從10上升到14。該君的效用水平保持不變，是因?yàn)槭杖胩岣吡?，?X商品的價(jià)格也提高了，從而導(dǎo)致貨幣的效用水平降低了（），最終能夠使消費(fèi)者調(diào)整購買兩種商品的數(shù)量，從而在均衡條件下保持總效用不變。（6） 你關(guān)于（4）和（5）的答案是否相同？假如不同，請解釋為什么某君的效用水平能保持不變。求：（1） 為使獲得的效用最大，他購買的X和Y各為多少？解：效用函數(shù)U＝XY，　約束條件M＝120＝XPX＋YPY＝2X＋3Y消費(fèi)者均衡條件所以　　　得　　X＝30，Y＝20（2） 貨幣的邊際效用和他獲得的總效用各為多少？　　　　　　　U＝600，貨幣的邊際效用λ＝10（3