六大定理互相證明總結-文庫吧資料
2025-06-22 22:00本頁面
【正文】 列有極限. 單調有界原理證明致密性定理在證明定理之前，我們要先證明一個引理：任意一個數(shù)列必存在單調子數(shù)列.證明：⑴若中存在遞增子序列，則引理已證明；⑵若中無遞增子序列，那么＞0，使＞，恒有＞.同樣在（＞）中也無遞增子序列.于是又存在＞0，使＞，恒有＜＜.如此無限進行下去便可得到一嚴格遞減子序列.引理得證.下面證明定理：由引理知，該有界單調子數(shù)列必有極限，. 單調有界原理證明區(qū)間套定理[1]由定理的條件立即知道是單調增加有上界的數(shù)列，則存在，也存在，有 （*）由定理的另一條件： ，并且由于已知及的極限都存在，則有.從而證明了兩個極限相等，：（*）的兩個不等式，即有 （…），所設區(qū)間列還有另外一個公共點，（…），故有 （…）由數(shù)列極限的性質知道： 由于，故有 .3 區(qū)間套定理 區(qū)間套定理 設一無窮閉區(qū)間列適合下面兩個條件：（1）后一個區(qū)間在前一個區(qū)間之內(nèi)，即對任一正整數(shù)，有＜，（2）當時，區(qū)間列的長度所成的數(shù)列收斂于零，即，則區(qū)間的端點所成兩數(shù)列及收斂于同一極限，并且是所有區(qū)間的唯一公共點. 區(qū)間套定理證明單調有界原理證明：設數(shù)列遞增有上界.取閉區(qū)間，使不是數(shù)列的上界，而在外僅含有數(shù)列的有限項.對分，取，而在外僅含有數(shù)列的有限項.以此方法，得區(qū)間列.由區(qū)間套定理，是所有區(qū)間的唯一公共點.顯然，在的任何鄰域內(nèi)有數(shù)列的無窮多項，即＞0，當＞時，有＜.
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