【正文】 “黑箱問(wèn)題 ” 。試用最小二乘法求 及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。 1 2 3,x x x1 ?2 ?? 3 ?4 ??1 2 3,x x x【解】 列出測(cè)量殘差方程組 y Ax = v???????????????y1 0 00 1 01 0 10 1 1?????????????A1234vvvv?????????????v11223 1 34 2 30 . 30 . 40 . 5 ( )0 . 3 ( )xxxxxx??????? ? ?? ? ?? ? ? ?矩陣形式 565 正規(guī)方程組 TTA A x = A y1 0 01 0 1 0 2 0 10 1 00 1 0 1 0 2 11 0 10 0 1 1 1 1 20 1 1T??? ? ? ???? ? ? ???? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???C A A0 . 31 0 1 0 0 . 80 . 40 1 0 1 0 . 70 . 50 0 1 1 0 . 20 . 3T??? ? ? ????? ? ? ???? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ????Ay1232 0 1 0 .80 2 1 0 .71 1 2 0 .2xxx? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?566 正規(guī)方程組解 1? T??x C A y1 0. 50 0 0. 50 0 ????????C0 .7 5 0 0 .2 5 0 0 .5 0 0 0 .8 0 .3 2 5 0 .2 5 0 0 .7 5 0 0 .5 0 0 0 .7 0 .4 2 5 0 .5 0 0 0 .5 0 0 1 .0 0 0 0 .2 0 .1 5 0? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 2 30 . 3 2 5 , 0 . 4 2 5 , 0 . 1 5 0x x x? ? ? ?即 567 標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算 代入殘差方程組，計(jì)算 1 2 3 4 0 . 0 2 5v v v v? ? ? ? ? ?22221 2 3 4 ? ? ? ? 02 543s ??1 1 1 0 . 0 4 3 3x sd? ? ? ? 2 2 2 0 . 0 4 3 3x sd? ? ? ?3 3 3 0 . 0 5 0x sd? ? ? ?568 第三節(jié) 非線性參數(shù)的最小二乘法 測(cè)量殘差方程組 ()i i iyv???x 12( , , , )tx x x?x非線性函數(shù) 取 的初始似值 x (0)x 泰勒展開(kāi) ( 0 )( 0 )() ii i j ijyvx????????j = tj = 1 xx ?1 1 2 2i i i i t t iy a a a v? ? ?? ? ? ? ? ?()i i iyy ?? ?? (0)x按線性參數(shù)最小二乘法解得 12( , , , )t? ? ??? (1 ) ( 0 )??xx ?迭代直至 滿足精度為止 ?569 第四節(jié) 組合測(cè)量問(wèn)題應(yīng)用舉例 570 【例 53】 要求檢定絲紋尺 0， 1， 2， 3刻線間的距離 。測(cè)得 1號(hào)電容值 ， 2號(hào)電容值 ， 1號(hào)和 3號(hào)并聯(lián)電容值 ， 2號(hào)和 3號(hào)并聯(lián)電容值 。 對(duì)某量 進(jìn)行測(cè)量，得到一組數(shù)據(jù) ,不存在系統(tǒng)誤差和粗大誤差，相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布 ,其標(biāo)準(zhǔn)差為 x 12, , , nx x x12, , , n? ? ?測(cè)得值 落入 的概率 ix ? ?,iix x dx?221 e x p ( )22iiiivp d x?????559 測(cè)得值 同時(shí)出現(xiàn)的概率為 12, , , nx x x211e x p ( )2( 2 )nii nii iiivP p d x????? ????? ? ? ???????? ?最可信賴值滿足 22ii iv Min? ??2iiw v M in??22()iiv x x M in? ? ???21iiw ??201iw ??權(quán)因子 最小二乘法原理 ?雖然是在正態(tài)分布下導(dǎo)出最小二乘法，實(shí)際上，按誤差或殘差平方和為最小進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷已形成一種準(zhǔn)則。用符號(hào) 或 表示。 55 第三節(jié)：測(cè)量不確定度的合成 一、合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度（ bined standard uncertainty） 當(dāng)測(cè)量結(jié)果受多種因素影響形成了若干個(gè) 不確定度分量 時(shí)，測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度就用這些分量合成后的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度 表示。 A類評(píng)定方法是采用 統(tǒng)計(jì)分析的方法評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度 。 函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為 2222 2 21212ynnf f fx x x? ? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ??使標(biāo)準(zhǔn)差為最小，確定最佳測(cè)量方案，從以下二方面考慮： 一 選擇最佳函數(shù)誤差公式 二 使誤差傳遞系數(shù)等于零或?yàn)樽钚? 53 第四章：測(cè)量不確定度 第四章 測(cè)量不確定度 第一節(jié) 測(cè)量不確定度的基本概念 第二節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定 第三節(jié) 測(cè)量不確定度的合成 第四節(jié) 測(cè)量不確定度應(yīng)用實(shí)例 54 第四章：測(cè)量不確定度 測(cè)量不確定度（ uncertainty of measurement）是測(cè)量結(jié)果 帶有的一個(gè)參數(shù)，用于表征被測(cè)量值的分散性。 51 第六節(jié) 微小誤差取舍準(zhǔn)則 微小誤差 ：測(cè)量過(guò)程包含多種誤差，有的誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果總誤差影響較小，小到一定程度，計(jì)算測(cè)量結(jié)果總誤差可不予考慮。 由相關(guān)系數(shù)定義知： D????? ???式中： —— 誤差間的協(xié)方差； —— 兩誤差的標(biāo)準(zhǔn)差。 43 12( , , . . . , )ny f x x x?1212... nnf f fy x x xx x x? ? ?? ? ? ?? ? ?（函數(shù)系統(tǒng)誤差公式） 一 . 函數(shù)系統(tǒng)誤差的計(jì)算 第一節(jié) 函數(shù)誤差 二 . 函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算 1 1 1 2 1 112... nnf f fy x x xx x x? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?2 1 2 2 2 212... nnf f fy x x xx x x? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?… 1212...N N N n Nnf f fy x x xx x x? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?可得： 122222 2 2 2112... 2 ( )n i jny x x x ij x xijn i jf f f f fx x x x x? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? 該式即為 函數(shù)隨機(jī)誤差公式 ，其中 為第 個(gè)測(cè)量值和第 個(gè) 測(cè)量值之間的 誤差相關(guān)系數(shù) , 為各測(cè)量值的誤差傳遞系數(shù) 。 研究函數(shù)誤差的實(shí)質(zhì)就是研究誤差的 傳遞性 的問(wèn)題。 第一節(jié) 函數(shù)誤差 間接測(cè)量 ：通過(guò)直接測(cè)量與被測(cè)的量之間有一定函數(shù)關(guān)系的其 他量，按照已知的函數(shù)關(guān)系式計(jì)算出被測(cè)量。 38 消除周期性系統(tǒng)誤差的方法 —— 半周期法 ?s inal ??1?? ???? ?? 1211 s in ?al ??1112 s i n)s i n ( laal ???????? ???022 1121 ???????? llll39 第三節(jié) 粗大誤差 粗大誤差的數(shù)值比較大，它會(huì)對(duì)測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生明顯的歪曲，一旦發(fā)現(xiàn)含有粗大誤差的測(cè)量值，應(yīng)將其從測(cè)量結(jié)果中剔除 一 粗大誤差的產(chǎn)生原因 1測(cè)量人員的主觀原因 2客觀外界條件的原因 二 防止與消除粗大誤差的方法 1避免人為因素的影響，反復(fù)多次檢查 2盡量采用自動(dòng)化數(shù)采系統(tǒng) 3加強(qiáng)本底環(huán)境監(jiān)測(cè) 40 三 判別粗大誤差的準(zhǔn)則 3iv ??3?1 準(zhǔn)則 測(cè)量次數(shù)充分大 若 則可以認(rèn)為它含有粗大誤差 2 t檢驗(yàn)準(zhǔn)則（羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則） 當(dāng)測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，按 t 分布的實(shí)驗(yàn)誤差分布范圍來(lái)判別粗大誤差較為合理 . 特點(diǎn)：首先剔除一個(gè)可疑的測(cè)量值，然后按 t分布檢驗(yàn)被剔除的測(cè)量值是否含有粗大誤差 . 41 第三章 誤差的合成與分配 第一節(jié) 函數(shù)誤差 第二節(jié) 隨機(jī)誤差的合成 第三節(jié) 系統(tǒng)誤差的合成 第四節(jié) 系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成 第五節(jié) 誤差分配 第六節(jié) 微小誤差取舍準(zhǔn)則 第七節(jié) 最佳測(cè)量方案的確定 42 任何測(cè)量結(jié)果都包含有一定的測(cè)量誤差，這是測(cè)量過(guò)程中各環(huán)節(jié)一系列誤差因素共同作用的結(jié)果。 （二）加修正值法 36 （三）改進(jìn)測(cè)量方法 消除恒定系統(tǒng)誤差的方法 ① 抵消或反向補(bǔ)償法 絲杠與螺母間的配合間隙等因素引起的定回誤差，往往采用往返兩個(gè)方向的兩次讀數(shù)取均值作為測(cè)量結(jié)果 ② 代替法：代替法的實(shí)質(zhì)是在測(cè)量裝置上對(duì)被測(cè)量測(cè)量后不改變測(cè)量條件，立即用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量代替被測(cè)量，測(cè)量差值 被測(cè)量＝標(biāo)準(zhǔn)差＋差值 ④ 交換法：這種方法是根據(jù)誤差產(chǎn)生原因，將某些條件交換，以消除系統(tǒng)誤差。 一 系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因 33 二 系統(tǒng)誤差的特征 在同一條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或者在條件改變時(shí)，誤差按一定規(guī)律變化。 采用近似的測(cè)量方法或計(jì)算公式引起的誤差等。 ① 測(cè)量裝置方面的因素 ② 環(huán)境方面的因素 ③ 測(cè)量方法的因素 ④ 測(cè)量人員的因素 計(jì)量校準(zhǔn)后發(fā)現(xiàn)的偏差、儀器設(shè)計(jì)原理缺陷、儀器制造和安裝的不正確等。 ip zix29 用 代替 代入等精度測(cè)量的公式得： ii xpv iv211imi xipvm? ???? 加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差： 211( 1 )imi ximxiipvmp? ??????等精度測(cè)量列的殘余誤差 等精度測(cè)量列的測(cè)量結(jié)果 已知各組測(cè)量結(jié)果的殘余誤差為： ， 將各組 單位權(quán)化得： i ii i ixp v p x p x? －ixi ixv x x?? 加權(quán)單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差： 30 七 .隨機(jī)誤差的其他分布 正態(tài)分布是隨機(jī)誤差最普遍的一種分布規(guī)律，但不是唯一的分布規(guī)律。 iipn?ixin?? ?1212 2 2 21 1 1: : ... : : : ... :mmx x xp p p ? ? ??結(jié)論：每組測(cè)量結(jié)果的權(quán)與其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差平方成反比。 ili iiv il0iilL? ??隨機(jī)誤差： 25 正態(tài)分布的隨機(jī)誤差分布密度 22 2 21 2 1...inninn?? ? ?? ?? ? ????四 .測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差 22( 2 )1()2fe??????