【正文】 可以證明，在剔除某一自變量 xi前后， M1個(gè)自變量的新回歸系數(shù)與 M個(gè)自變量的原回歸系數(shù)之間存在如下關(guān)系： 式中： cii， cij —— 為原 M元回歸方程相關(guān)矩陣中的元素。 ② 對(duì)于偏回歸平方和 Pi小的自變量 xi， 并不意味著對(duì)因變量 y的影響就不顯著 ， 但可以肯定所有偏回歸平方和 Pi最小的自變量 xi， 對(duì)因變量 y的影響最小 ， 假如用 F檢驗(yàn)法檢驗(yàn)對(duì)該自變量檢驗(yàn)結(jié)果表明又不顯著 ， 則就可以將該自變量剔除 ， 得到新的 M1元回歸方程 。 如何觀察和認(rèn)識(shí)某一特定自變量因素在總回歸方程中起的作用呢？ 我們可以利用減少或去掉某一自變量因素或某一部分自變量因素， 觀察回歸平方和 U的減少量多少 ， 即取消一個(gè)自變量后 ， 回歸平方和的減少的數(shù)值稱為 y對(duì)這個(gè)自變量 xi的偏回歸平方和 Pi（ Pi = UU′） ， Pi可用來(lái)評(píng)價(jià)該自變量因素或該部分自變量因素對(duì)因變量的影響程度或重要程度 。 計(jì)算與 F檢驗(yàn)法判定如書(shū)上表 618。 有： Q = = =最小 對(duì)于給定的 N組觀察數(shù)據(jù) ， Q是 b0、 b1， … ， bM的非負(fù) 二次式 ， 最小值一定存在 ， b0、 b1， … ， bM 應(yīng)為下列方程組的解： ??????????????Nyyy?21??????????????NMNNMMxxxxxxxxx????????112222111211111??????????????M????21??????????????M????21MM xbxbxbby ????? ?22110?? ?21????Nt tyy ? ?? ???? tMMtt xbxbby ?110 經(jīng)整理 ， 并寫(xiě)成矩陣形式： (XTX)b = XTY 或 Ab = XTY 式中： A=XTX …… （ 643） 解 （ 643） 式 ， 得回歸方程的估計(jì)回歸系數(shù) b ： b = A1(XTY ) = (XTX)1XTY …… （ 644） 令： C = A1 = (XTX)1 有： b = CXTY …… （ 645） 對(duì)于處理多元線性回歸問(wèn)題，與處理一元回歸問(wèn)題相似，這里不進(jìn)行過(guò)多的討論 。 其中： t = 1,2,… ,N。 因此，在計(jì)算回歸曲線的剩余平方和 Q時(shí)，不能用和以及 （ Q = =S－ U=lyy－ b lxy）來(lái)計(jì)算，只能按定義用 yt/ 和 、定義公式 Q = 計(jì)算。 232 2122 1 yyyyyy ????????????。 ③ 自圖上根據(jù)定差 Δx， 列出 xi， yi各對(duì)應(yīng)值 。 ③ 以 Z1和 Z2為變量畫(huà)圖 ， 如果所得圖形為直線 ， 則證明原先所選定的回歸曲線類型是適合的 。 （ 2） 觀察方法 將測(cè)量觀察得到的數(shù)據(jù)作圖 ， 并與典型曲線 （ 書(shū)上圖 66） 進(jìn)行比較 ，確定屬于哪一類函數(shù)曲線 ， 再將所選定的函數(shù)曲線類型用下述方法進(jìn)行檢驗(yàn) 。 ② 求解該相關(guān)函數(shù)中的未知參數(shù) 。 依據(jù)戴明 （ Deming） 推廣的最小二乘法原理 ， 點(diǎn) （ xt， yt′ ） 到回歸直線 的距離 dt′ 的平方和 為最小條件計(jì)算回歸系數(shù) b0、 b 的最佳估計(jì)值 。 如果測(cè)量數(shù)據(jù) x、 y兩個(gè)變量中，一個(gè)變量存在的測(cè)量誤差比另一個(gè)變量存在的測(cè)量誤差大，則在兩直線方程 、 銳角范圍內(nèi)求得的線性直線方程應(yīng)偏向于誤差大的方向，具體偏向多少，應(yīng)依據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù) x、 y兩個(gè)方向的誤差分配比例而定。 y方向沒(méi)有誤差或存在誤差可以忽略不計(jì)的條件下 ， 所有誤差都?xì)w結(jié)在 x方向 ， 測(cè)量數(shù)據(jù)的線性直線回歸方程為 。 ? = b0 + bx ? ?21????Nt tyy ② 用同一組測(cè)量數(shù)據(jù) x、 y， 又假設(shè) y方向沒(méi)有誤差或存在誤差可以忽略不計(jì)的條件下 ， 所有誤差都?xì)w結(jié)在 x方向 ， 按最小二乘法原理， 使 的平方和最小 ， 求得特定參數(shù) a0、 a， 得到 線性回歸方程 ， 并轉(zhuǎn)換成 形式的回歸直線方程 。 （ 1）分組法（平均值法） 將所測(cè)量到的自變量數(shù)據(jù) （ x， y） 分成相等或相近的兩組數(shù)據(jù) （ xi， yi） 和 （ xj， yj） ， 分別求出兩組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值 ( )、 （ ） ， 帶入回歸線性直線方程 ? = b0 + bx 得以 b0、 b為未知量的方程組： 解這方程組 ， 得到 b0、 b并帶回回歸線性直線方程 ? = b0 + bxt ，便得到該測(cè)量結(jié)果的線性直線回歸方程 。 為了檢驗(yàn)一個(gè)回歸方程是否擬合正確并滿足線性條件，可做一些重復(fù)性試驗(yàn)，獲得誤差平方和 QE和失擬平方和 QL，同樣采用 F 檢驗(yàn)法來(lái)檢驗(yàn) y 和 x 之間確實(shí)為線性關(guān)系 。通常用 F 檢驗(yàn)法進(jìn)行計(jì)量。 ε t —— 分別表示其他隨機(jī)因素影響 的總和，是一組相互獨(dú)立，并滿足 正態(tài)分布 N（ 0, σ ）的隨機(jī)變量。 （ 3） 進(jìn)行因素分析 ， 找出變量之間相互聯(lián)系或關(guān)聯(lián)的重要因素和次要因素 。 實(shí)際上由于誤差的存在 ， 確定性的關(guān)系往往通過(guò)相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)出來(lái) ， 并存在一定的不確定變量因素 （ 如：誤差 ） ， 它通常要用實(shí)驗(yàn)方法才能確定 。 1 2 3,x x x1 2 3,x x x1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 81L ? 6 ?0 1 2 3x x x1 23L LLLLL12 3456571 計(jì)算步驟 【解】 列出測(cè)量殘差方程組 L A x = v1 .0 1 2 50 .9 8 51 .0 2 02 .0 1 61 .9 8 13 .3 0 2????????? ??????????L1 0 00 1 00 0 11 1 00 1 1111????????? ??????????A123456vvvvvv????????? ????????????v? ?? ?? ?1 1 12 2 23 3 34 4 1 25 5 2 36 6 1 2 3v L xv L xv L xv L x xv L x xv L x x x??????? ? ?? ? ?? ? ? ?572 解出 ? ? 11? T T Tx C A L A A A L????10. 50 0 0. 25 0 00. 25 0 0. 50 0 0. 25 00 0. 25 0 0. 50 0C ??????? ? ????1 .0 1 50 .9 8 51 0 0 1 0 1 6 .0 6 31 .0 2 00 1 0 1 1 1 8 .0 1 42 .0 1 60 0 1 0 1 1 6 .0 3 31 .9 8 13 .0 3 2TAL??????? ? ? ???? ? ? ??? ??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???????0 .5 0 0 0 .2 5 0 0 6 .0 6 3 1 .0 2 8? 0 .2 5 0 0 .5 0 0 0 .2 5 0 8 .0 1 4 0 .9 8 30 0 .2 5 0 0 .5 0 0 6 .0 3 3 1 .0 1 3x?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?1 2 31 . 0 2 8 , 0 . 9 8 3 , 1 . 0 1 3x x x? ? ?即 計(jì)算結(jié)果 573 代入殘差方程組可得 ? ?? ?? ?1 1 12 2 23 3 34 4 1 25 5 2 36 6 1 2 31 . 0 1 5 1 . 0 2 8 0 . 0 1 30 . 9 8 5 0 . 9 8 3 0 . 0 0 21 . 0 2 0 1 . 0 1 3 0 . 0 0 72 . 0 1 6 ( 1 . 0 2 8 0 . 9 8 3 ) 0 . 0 0 51 . 9 8 1 ( 0 . 9 8 3 1 . 0 1 3 ) 0 . 0 1 53 . 0 3 2 ( 1 . 0 2 8 0 . 9 8 3 1 . 0 1 3 ) 0 . 0 0 8v L xv L xv L xv L x xv L x xv L x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?2222221 2 3 4 5 6 ? ? ? ? ? ?估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差 0 .0 0 0 5 3 6 0 .0 1 363s ???1 1 1 0 . 0 1 0x sd? ? ? ? 2 2 2 0 . 0 1 0x sd? ? ? ? 3 3 3 0 . 0 1 0x sd? ? ? ?估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差 74 第四章：測(cè)量不確定度 第六章 回 歸 分 析 第一節(jié) 回歸分析的基本概念 第二節(jié) 一元 線 性 回 歸 第三節(jié) 兩個(gè)變量都具有誤差映射時(shí)線性回歸方程的確定 第四節(jié) 一元非線性回歸 第五節(jié) 多 元 線 性 回 歸 第一節(jié) 回歸分析的基本概念 函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系 （ 1） 函數(shù)關(guān)系：能用數(shù)學(xué)表達(dá)式明確變量之間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律的相互關(guān)系 ， 即函數(shù)關(guān)系 。試用最小二乘法求 及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。 UpU 展伸不確定度由 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度 乘以 包含因子 得到，即 用展伸不確定度作為測(cè)量不確定度，則測(cè)量結(jié)果表示為 ： cukcU ku?Y y U??三、不確定度的報(bào)告 57 第四章：測(cè)量不確定度 第五章 線性參數(shù)的最小二乘法 第一節(jié) 最小二乘法的原理 第二節(jié) 正規(guī)方程 第三節(jié) 精度估計(jì) 第四節(jié) 組合測(cè)量的最小二乘法處理 558 第一節(jié) 最小二乘法原理 最小二乘法的產(chǎn)生是為了解決從一組測(cè)量值中尋找最可信賴值的問(wèn)題。 一、 A類評(píng)定方法 第二節(jié)：標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定 二、 B類評(píng)定方法 在很多情況下，我們不能用統(tǒng)計(jì)方法來(lái)評(píng)定 標(biāo)準(zhǔn)不確定度 ， 利用其他 假設(shè) ,經(jīng)驗(yàn)或資料 (本次測(cè)量以外的其他信息 )進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的 B類評(píng)定方法 。 2 2 2 2 2 21 2 1 1y k k k nD D D D D D? ??? ? ? ? ? ? ?取出部分誤差 kD2 2 2 2 21 2 1 1y k k nD D D D D? ??? ? ? ? ? ? ?若 ， 則 稱為微小誤差，可從總誤差中舍去 yy???? kD已知測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差為： 52 第七節(jié) 最佳測(cè)量方案的確定 測(cè)量結(jié)果與多個(gè)測(cè)量因素有關(guān)，采用什么方法確定各個(gè)因素，使得測(cè)量結(jié)果的誤差為最小，確定最佳測(cè)量方案。 ij? i jifx??44 若各測(cè)量值的隨機(jī)誤差是相互獨(dú)立的，且當(dāng) N適當(dāng)大時(shí)，有： 0ij? ?1 0Nim jmmijxxKN??????則誤差公式變?yōu)椋? 122222 2 2 212