【正文】 運算表分別如表 。因此，代數(shù)系統(tǒng) Zm ,+m， Zm , m都是獨異點。 (3)因為 [0]+m[i]=[i]+m[0]=[i]，所以， [0]是 Zm ,+m中的幺元。 本例題的實例見 表 2022/6/2 55 (1)由運算 +m和 m的定義，可知它們在 Zm上都是封閉的。 證明：考察代數(shù)結構 Zm , +m 和 Zm , m ， 只須證明 Zm， +m和 Zm， m都是獨異點。 證明 : 因 S 中關于 ?運算的幺元是 e， 因為 對于任意的元素a,b?S，且 a≠b時，總有 e ? a = a ≠ b= e ? b 和 a ? e = a ≠ b= b ? e 所以，在的運算表中不可能有兩行或兩列是相同的。 因此 S， *是獨異點。 2）對于任意 x， y∈ S， (x*y)*a=x*y x*(y*a)=x*y (x*y)*0=0 x*(y*0)=x*0=0 (x*y)*1=1 x*(y*1)=x*1=1 所以運算 *是可結合的。 2022/6/2 52 有代數(shù)系統(tǒng) S， *，其中 S ={a， 0， 1}，運算 *由下表定義，證明 S， *是獨異點。 都是具有幺元 1的半群，因此它們都是獨異點。 ,I+, 例如，代數(shù)系統(tǒng) R， +是一個獨異點，因為 R， +是一個半群，且 0是 R中關于運算 +的幺元。驗證 S, Δ是一個半群。這里 a， b， c都是等冪元。 0和 1都是等冪元。我們已經證明了 Nk， *k是一個半群。 2022/6/2 47 定理 設 ?S,*?是半群 ， S是有限集 ， 則必有 a?S，使得 a*a=a 證明： ?b?S， 由 *在 S上的封閉性知： b2=b*b?S b3=b2*b?S ? 2022/6/2 48 因為 S是有限集 ， 所以必有 i＜ j使 bi=bj 令 p=j–i， 則 p=j–i≥1， 而 j=p＋ i bi=bj=bp+i=bp*bi 于是下式成立： bq=bp*bq q≥i 因為 p=j–i≥1， 總可以找到 k≥1， 使得 kp≥i 對于 S中的元素 bkp， 就有 bkp=bp*bkp =bp*(bp*bkp) =b2p*bkp =b2p*(bp*bkp) =? =bkp*bkp 令 a=bkp， a*a=a 2022/6/2 49 【 習題 】 對于正整數(shù) k， Nk={0,1,2,…, k1}，設 *k是 Nk上的一個二元運算，使得 a*kb=用 k除 a 證明 只須證明運算 *在 M上是封閉的。 的子半群。 和 I, 因此，由定理 [0,1], 其次，運算 在 R上是封閉的，且是可結合的，所以 R, 的子半群。 和 I, 表示普通的乘法運算，那么 [0,1], 證明：因為 ?在 S上是可結合的，而 B?S且 ?在 B上封閉，所以 ?在 B上也是可結合的，因此， B, ? 也是 一個半群。 2022/6/2 45 二、子半群 定理 設 S,?為一半群 , B?S且 ?在 B上封閉，那么B, ? 也是 一個半群，稱為 S,?的 子半群 。 3)R中關于 *的幺元是 0。因此 R， *是半群。 4)R中哪些元素有逆元，逆元素是什么？ 2022/6/2 44 解 1) 2*3=17， 3*（ 5） =32， 7*1/2= 2)運算 *在 R上是封閉的。 2022/6/2 43 【 練習 】 設 *是實數(shù)集 R上的運算，其定義如下： a*b=a+b+2ab 1)求 2*3， 3*（ 5）和 7*1/2。所以，對于任意的 x,y,z?S，都有 xΔ(yΔz)=xΔz=z=yΔz=(xΔy)Δz 因此， S, Δ是半群。驗證 S, Δ是一個半群。 因此， Nk， *k是半群。c用 k除所得的余數(shù)，所以 r1 = r2 。ck(n3a+n4) 可見 r1和 r2都是 ac n3k) n4k = r2 0≤r2≤k1 = ack(n1 c+n2) a*k ( b *kc)=ac n2k = r1 0≤r1≤k1 = a 對于任意的 a， b， c∈ Nk ，有 (a*kb) *kc=(a 解 a)當 k=4時， *k的運算表如下： *k 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1 2022/6/2 41 b)對于任意的 a， b∈ Nk ， a*kb= a a)當 k=4時，試造出 *k的運算表。 2022/6/2 40 【 習題 】 對于正整數(shù) k， Nk={0,1,2,…, k1}，設 *k是 Nk上的一個二元運算，使得 a*kb=用 k除 a所以， Sk,+是一個半群。 2022/6/2 39 【 例 】 設集合 Sk={x|x?I∧ x≥ k},k≥ 0,那么 Sk,+是一個半群，其中 +是普通的加法運算。 半群是一種特殊的代數(shù)系統(tǒng)，它在形式語言、自動機等領域中，都有具體的應用。 6） 設 A中關于運算 ?具有幺元， a和 b互逆，當且僅當位于 a所在行和 b所在列的元素及 b所在行和 a 所在列的元素都是幺元。 4） A中關于運算 ?具有零元，當且僅當該元素所對應的行和列中的元素都與該元素相同。 2）運算 ?具有可交換性，當且僅當運算表關于主對角線是對稱的。 解 ：可以驗證， +k是一個可結合的二元運算， Nk中關于運算 +k的幺元是 0， Nk中的每一個元素都有唯一的逆元，即 0的逆元是 0，每個非零元素 x的逆元是 kx。 解 ：該代數(shù)系統(tǒng)中的幺元是 1，除了零元素 0外，所有的元素都有逆元。 【 例 】 對于代數(shù)系統(tǒng) R, 2022/6/2 34 【 例 】 試構造一個代數(shù)系統(tǒng)，使得其中只有一個元素具有逆元。 于是 (b?a)?b=e?b=b， 所以 e=c?b=c?((b?a)?b)=(c?(b?a))?b =((c?b)?a)?b=(e?a)?b=a?b 因此 ， b也是 a的右逆元 。 如果 ?是可結合的運算 ， 則在 A中任何元素的左逆元必定是該元素的右逆元 ， 且每個元素的逆元是惟一的 。 解 α是幺元； β的左逆元和右逆元都是 γ；即 β和 γ互為逆元；δ的左逆元是 γ而右逆元是 β； β有兩個左逆元 γ和 δ； δ的右逆元是 γ，但 δ沒有左逆元。 2022/6/2 32 【 例 】 設集合 S={α,β,γ,δ,δ },定義在 S上的一個二元運算 *如表 。 一個元素可以有左逆元而沒有右逆元 ， 同樣可以有右逆元而沒有左逆元 。 如果 a?A存在逆元 a–1?A， 那么稱 a為可逆元 。 如果對于 A中的元素 a存在著 A中的某個元素 b， 使得b?a=e， 那么稱 b為 a的左逆元；如果存在 A中的某個元素 b，使得 a?b=e， 那么稱 b為 a的右逆元；如果存在著 A中的某個元素 b， 它既是 a的左逆元又是 a的右逆元 ， 那么稱 b為 a的逆元 。設 e=θ，那么對于任意的 a?A，必有 a=e?a=θ?a=θ， 于是 A中的所有元素都是零元 ?，與 A中至少有兩個元素矛盾。 如果 A中存在幺元 e和零元 θ， 則 e≠θ。 2022/6/2 30 定理 設 ?是集合 A上的二元運算 ， θl為 A中關于運算 ?的左零元 ， θr為 A中關于運算 ?的右零元 ， 則 θl=θr=θ， 且 A中的零元是惟一的 。 2022/6/2 28 定理 設 ?是定義在集合 A上的二元運算 ， el為 A中關于運算 ?的左幺元 ， er為 A中關于運算 ?的右幺元 ， 則 el=er=e， 且 A中的幺元是惟一的 。試指出左幺元或右幺元。 2022/6/2 26 七 、 幺元 定義 設 ?是定義在集合 A上的二元運算 ， 如果有一個el?A， 對于任意的 a?A， 有 el ? a=a， 則稱 el為 A中關于運算 ?的左單位 元或 左幺元；如果有一個 er?A， 對于任意的 a?A，有 a ? er=a， 則稱 er為 A中關于運算 ?的 右 單位元或右幺元；如果在 A中有一個元素 ， 它既是左單位元又是右單位元 ， 則稱為 A中關于運算 ?的單位元或幺元 。 若 ?x?y(x,y?A→ x?(x?y)=x ,x? (x?y)=x) ， 則稱 ?和 ?滿足 吸收律 。 若 ?x?y?z(x,y,z?A→ x? (y? z) = (x?y) ?z), 則稱 ? 滿足 結合律 。 2022/6/2 25 總結定義 ~ 設 ?和 ?為集合 A上的 二元運算 : 若 ?x?y(x,y?A→ x?y?A) , 則稱 ?在 A上 封閉 。 易見，集合的并、交運算滿足冪等律，每一個集合都是冪等元。 2022/6/2 24 六 、 等冪律 定義 設 *是非空集合 A上的二元運算 ， 如果對于任意的a?A， 有 a?a=a， 則稱運算 *是冪等的或運算 ?滿足冪等律 。 2022/6/2 23 【 例 】 設 N為自然數(shù)集合 ， *和 °是集合 N上的二元運算 ，定義為： ?a?N， ?b?N a*b=max(a,b)， a°b=min(a,b) 驗證運算 *和 °適合吸收律 。 同理可證另一半 。如果 *對于運算 °滿足左分配律或右分配律 ， 則運算 *對于運算 °是可分配的 。 【 例 】 設 A=?0,1?， *和 °都是 A上的二元運算 ， 定義為： 0?0=1*1=0， 0*1=1*0=1 0°0=0°1=1°0=0， 1°1=1 則容易驗證 °對于運算 *是可分配的 ， 但 *對于運算 °是不可分配的 。這樣，可以令 ? ?? ???個nn aaaa ????2022/6/2 19 當運算 *滿足結合律時， an的也可以遞歸定義如下： ⑴ a1=a ⑵ an+1=an?a 由此利用數(shù)學歸納法 ， 不難證明下列的公式： ⑴ am?an= am+n ⑵ (am)n= amn 2022/6/2 20 四 、 可分配性 定義 設 *和 °是非空集合 A上的兩個二元運算 ， 如果對于任意 a,b,c?A， 有 a*(b°c)=(a*b)°(a*c) (左分配律 ) (b°c)*a=(b*a)°(c*a) (右分配律 ) 則稱運算 *對 °運算是可分配的。 當二元運算 *在 A上適合結合律時，在只有該運算符的表達式中，表示運算順序的括號常被省略。 證明運算 *是可結合的 。 實數(shù)集合上的普通加法和乘法是二元運算 ， 滿足結合律；矩陣的加法和乘法也是二元運算 ， 也滿足結合律；向量的內積 、 外積是二元運算 ， 但不滿足結合律 。 2022/6/2 17 三、可結合性 例如 R上的加法運算和乘法運算都是可結合運算， R上的減法運算和除法運算都是不可結合運算。b=b+abb，問運算 Δ是否可交換。而對于加法運算是不封閉的，因為至少有 2+22=6?A 2022/6/2 16 二、可交換性 定義 設 *是定義在集合 A上的二元運算，如果對于任意的 x,y?A，都有 x*y=y*x，則稱二元運算 *在 A上是可交換的。 【 例 】 設 A={x|x=