【正文】 設(shè) G， *是一個(gè)群，對(duì)于任意的 a， b， c∈G ，如果 有 a*b=a*c或者 b*a=c*a，則必有 b=c。那么群中任何元素x∈G ，都有 x*θ＝ θ*x＝ θ≠e ，所以，零元 θ就不存在逆元，這與 G， *是群相矛盾。 定理 1： 群的性質(zhì)： 證明 : 當(dāng)群的階為 1時(shí)，它的唯一元素視作幺元。如果 G是有限集，那么稱 G， * 為 有限群 ， G中元素的個(gè)數(shù)通常稱為該有限群的 階數(shù) ，記 為 |G|；如果 G是無(wú)限集，則稱 G， *為 無(wú)限群 。驗(yàn)證 R，★ 是一個(gè)群。 ， 300176。 ， 180176。 ， 60176。 (5) R{0}， ， (S)， ⊕ 是群。 x∈ P(B)， x1= 0≠x∈ Zn， x1= X。 (3) P(B),?是群。 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 群與子群 ?群的實(shí)例 (1) Z,+， Q,+， R,+是群； Z+,+， N,+不是群。 群論是發(fā)展比較完善的數(shù)學(xué)分支。 是半群， 后四個(gè)也是獨(dú)異點(diǎn) . 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 設(shè) S,*是獨(dú)異點(diǎn) ,對(duì)于任意 a， b∈S ，且 a， b均有逆元，則 定理 4： 半群 1）（ a1） 1=a； 2） a*b有逆元 ， 且 （ a*b） 1=b1*a1 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 設(shè) G， *是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，其中 G是非空集合， *是 G 上一個(gè)二元運(yùn)算，如果 定義 1： 群與子群 1） 運(yùn)算 *是封閉的； 2） 運(yùn)算 *是可結(jié)合的； 3） 存在幺元 e； 4）對(duì)于每一個(gè)元素 x∈G ，存在著它的逆元 x1。 為半群，也是獨(dú)異點(diǎn)。因?yàn)閷?duì)于任意的 a， b∈S且 a≠b 時(shí)，總有 e*a＝ a≠b ＝ e*b 和 a*e＝ a≠b ＝ b*e 所以，在 *的運(yùn)算表中不可能有兩行或兩列是相同的。 定義 3： 半群 例：代數(shù)系統(tǒng) R， +、 I， *、 I+， *、 R， *是獨(dú)異點(diǎn)？ 代數(shù)系統(tǒng) N一 {0}， +？ 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 半群 定理 3： 設(shè) S,*是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn)，則在關(guān)于運(yùn)算 *的運(yùn)算表中任何兩行或兩列都是不相同的。 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 半群 定理 2： 設(shè) S,*是一個(gè)半群，如果 S是一個(gè)有限集，則必有a∈S ，使得 a*a=a。通常稱 B,*是半群 S,*的子半群。 而 代數(shù)系統(tǒng) I+， 和 S， / ，（ 和 /分別是普通的減法和除法） 都不是半群。 2） 運(yùn)算 *是可結(jié)合的 ， 即對(duì)任意的 x， y， z∈S ， 滿足 (x*y)*z=x*(y*z) 則稱代數(shù)系統(tǒng) S,*為 半群 。 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 一個(gè)代數(shù)系統(tǒng) S,*，其中 S是非空集合， *是 S上的一個(gè)二元運(yùn)算。 定義 1： 半群 半群是一種特殊的代數(shù)系統(tǒng)，它在形式語(yǔ)言、自動(dòng)機(jī)等領(lǐng)域中有具體的應(yīng)用。 ?x, y, z?Q, （ x≠1）有 x ° y=x ° z ? x+yxy=x+zxz ? (yz) =x(yz) ?y=z 故 ° 運(yùn)算滿足左消去律。 例 設(shè) ° 運(yùn)算為 Q 上的二元運(yùn)算， ?x, y?Q, x°y = x+yxy, (1) 指出 °運(yùn)算的性質(zhì) . (2) 求 ° 運(yùn)算的幺元、零元和元素的逆元 . 例題分析 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 給定 x，設(shè) x 的逆元為 y, 則有 x ° y = 0 成立，即 x+yxy = 0 ? (x ? 1) 因此當(dāng) x ? 1時(shí)， 是 x 的逆元 . 1xyx? ?(2) 設(shè) °運(yùn)算的幺元和零元分別為 e 和 ?，則 ?x 有 x°e = x 成立，即 x+exe = x ? e = 0 由于 ° 運(yùn)算可交換，所以 0 是幺元 . ?x 有 x ° ? = ? 成立，即 x+?x ? = ? ? x x ? = 0 ? ? = 1 °運(yùn)算不滿足冪等律：因?yàn)?2?Q，但 2 ° 2 = 2+22?2 =0≠ 2。 ?x, y?Q, x ° y = x+yxy = y+xyx = y ° x, 即有 ° 運(yùn)算可交換。 設(shè) A中有幺元， a和 b互逆，當(dāng)且僅當(dāng)位于 a所在行， b所 在列的元素以及 b所在行， a所在列的元素都是幺元。= y’ * e = y’ *(x * y) = ( y’ * x) * y = e * y = y 所以 y 是 x 惟一的逆元 . x 若存在逆元，則只有惟一的逆元，記作 x?1。如 果 *是可結(jié)合的運(yùn)算，那么，這個(gè)代數(shù)系統(tǒng)中任何一個(gè) 元素的左逆元必定也是該元素的右逆元，且每個(gè)元素 的逆元是唯一的。如果對(duì)于 A中的一個(gè)元 素 a存在著 A中的某個(gè)元素 b，使得 b*a=e，那么稱 b為 a的 左逆元 ；如果 a*b=e成立，那么稱 b為 a的 右逆元 ；如果一 個(gè)元素 b，它既是 a的左逆元又是 a的右逆元，那么就稱 b 是 a的一個(gè) 逆元 。 設(shè) θ ＝ e，那么對(duì)于任意的 x∈A ，必有 x＝ e*x＝ θ *x＝ θ ＝ e 于是， A中的所有元素都是相同的，這與 A中含有多個(gè)元素相矛盾。如果該代數(shù)系統(tǒng)存在幺元 e和零元 θ ，則 θ ≠e 。 定義 7： 運(yùn)算及其性質(zhì) 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 實(shí)例分析 集合 運(yùn)算 幺元 零元 Z, Q, R 普通加法 + 普通乘法 ? P(B) 并 ? 交 ? 對(duì)稱差 ? 0 無(wú) 1 0 ? B B ? ? 無(wú) 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 設(shè) *是定義在集合 A上的一個(gè)二元運(yùn)算，且在 A中有關(guān) 于運(yùn)算 *的左零元 θ l和右零元 θ r,那么 θ l =θ r=θ ,且 A 中的零元是唯一的。 類(lèi)似地可以證明關(guān)于零元的惟一性定理。 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 設(shè) *是定義在集合 A上的一個(gè)二元運(yùn)算，且在 A中有關(guān) 于運(yùn)算 *的左幺元 el和右幺元 er，則 el=er=e，且 A中的幺 元是唯一的。 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 運(yùn)算及其性質(zhì) 集合 運(yùn)算 交換律 結(jié)合律 冪等律 Z, Q, R 普通加法 + 有 有 無(wú) 普通乘法 ? 有 有 無(wú) P(B) 并 ? 有 有 有 交 ? 有 有 有 相對(duì)補(bǔ) ? 無(wú) 無(wú) 無(wú) 對(duì)稱差 ? 有 有 無(wú) 實(shí)例分析 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 運(yùn)算及其性質(zhì) 集合 運(yùn)算 分配律 吸收律 Z, Q, R 普通加法 + 與乘法 ? ? 對(duì) + 可分配 無(wú) + 對(duì) ? 不分配 P(B) 并 ? 與交 ? ? 對(duì) ? 可分配 有 ? 對(duì) ? 可分配 交 ? 與對(duì)稱差 ? ? 對(duì) ? 可分配 無(wú) ? 對(duì) ? 不分配 實(shí)例分析 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 設(shè) A,*，若存在一個(gè)元素 el∈A ，對(duì)于任意元素 x∈A都有 el*x=x，則稱 el為 A中關(guān)于運(yùn)算 *的 左幺元 ；若存在一個(gè)元素 er∈A ，對(duì)于任意元素 x∈A 都有 x*er=x，則稱 er為 A中關(guān)于運(yùn)算 *的 右幺元 ；若存在一個(gè)元素 e∈A ，它既是左幺元又是右幺元，則稱 e為 A中關(guān)于運(yùn)算 *的 幺元 。 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu)