主成分分析ppt課件(2)-文庫吧資料
2025-05-11 22:03本頁面
【正文】 *1 1 . 4 7 0 % .2p? ??* * * *1 1 1 2, 1 . 4 0 . 7 0 7 0 . 8 3 8 .Y X Y X?? ? ? ? ??樣本主成分 ? 設 為取自 的一個容量為 的簡單隨機樣本，則樣本協(xié)方差矩陣及樣本相關矩陣分別為 其中 12( , , , ) , 1 , 2 , , .Ti i i i px x x x i n??12( , , , ) TpX X X X? n11( ) ( ) ( ) ,1nTi j p p k kkS s x x x xn??? ? ? ?? ?()( ) ,ijij p pii jjsRrss?????????()1211( , , , ) , , 1 , 2 , , ,nTpj ijix x x x x x j pn?? ? ??11 ( ) ( ) , , 1 , 2 , , .1niji j k i k jks x x x x i j pn?? ? ? ?? ?樣本主成分 ? 設 是樣本協(xié)方差矩陣，其特征值為 相應的正交單位化特征向量為 ，這里 。 12( , ) TX X X?144 10 0????????1 0 .40 .4 1???? ??????例 ? 解 如果從 出發(fā)作主成分分析，易求得其特征值和相應的正交單位化特征向量為 的兩個主成分分別為 第一主成分的貢獻率為 ?11221 0 0 . 1 6 , ( 0 . 0 4 0 , 0 . 9 9 9 ) ,0 . 8 4 , ( 0 . 9 9 9 , 0 . 0 4 0 ) .TTee??? ? ?? ? ?X1 1 22 1 20. 04 0 0. 99 9 ,0. 99 9 0. 04 0 .Y X XY X X????1121 0 0 . 1 6 9 9 . 2 %101??? ???例 ? 與 ， 的相關系數(shù)分別是 我們可以看到，由于 的方差很大，它完全控制了提取信息量占 ％的第一主成分（ 在 中的系數(shù)為 ），淹沒了變量 的作用。 ?* , 1 , 2 , , ,iiiiiXX i p????? ()( ) , ( )i i ii iE X V a r X????標準化變量的主成分 ? 這時， 的協(xié)方差矩陣便是 的相關矩陣 ，其中 利用 的相關矩陣 作主成分分析，可以得到如下結論： 12( , , , ) TpX X X X?()ij p p?? ??** ( , )( ) .ijij i jii jjCo v X XE X X????? ()X ?* * * *12( , , , ) TpX X X X?標準化變量的主成分 ? 設 為標準化的隨機向量，其協(xié)方差矩陣（即 的相關矩陣）為 ，則 的第 個主成分為 并且 其中 為 的特征值， 為相應于特征值 的正交單位化特征向量 。若用 求主成分，則優(yōu)先照顧了方差大的變量，有時會造成很不合理的結果。 解 易求得 的特征值及相應的正交單位化特征向量分別為 1 2 3( , , ) TX X X X?1 2 02 5 00 0 2?????? ? ?????X?1122335 . 8 3 , (0 . 3 8 3 , 0 . 9 2 4 , 0 ) ,2 . 0 0 , (0 , 0 , 1 ) ,0 . 1 7 , (0 . 9 2 4 , 0 . 3 8 3 , 0 ) .TTTeee???? ? ?????例 ? 因此 的主成分為 如果我們只取第一主成分，則貢獻率為 若取前兩個主成分，則累計貢獻率為 X1 1 1 22 2 33 3 1 20 .3 8 3 0 .9 2 4 ,0 .9 2 4 0 .3 8 3 .TTTY e X X XY e X XY e X X X? ? ???? ? ?5 . 8 3 73%5 . 8 3 2 . 0 0 0 . 1 7 ???5 . 8 3 2 . 0 0 98%5 . 8 3 2 . 0 0 0 . 1 7? ???例 ? 進一步可求得前兩個主成分與各原始變量的相關系數(shù) 同理，可求得 即 與 ， 高度相關而與 不相關； 與 ，以概率 1呈完全線性關系。由此知，當 時，滿足 ， 且使 達到最大。令 則 并且當 時，等號成立。 第二主成分 ： 依次類推 …… 1Y2Y1 2 1 222( , ) 01TTC o v Y Y l lll? ? ? ??? ???22TY l X?22TY l X?總體主成分的求法 ? 設 是 的協(xié)方差矩陣， 的特征值及相應的正交單位化特征向量分別為 及 ，則 的第 個主成分為 其中 。 1l 1()Var Y1l11 1Tll? 1l 1()Var Y1l 11TY l X
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