【正文】 ypnpn?? ?????? tgttgndpd ?????21)(整理得 ： , . . . )2,1,0( ?? nnt pd ??由于 出現(xiàn)在第一次峰值時間，取 n=1，有： dnpt ????? ???21pt0,)si n (11)(2??????ttety dtn???????? 21 1 ?? ?tg其中 0)c o s ()s i n ( ????? ??????? pddpdn tt0 1 0 5 10 15 20 25 ?rnpntt??drt ??? ??dpt ??????????????s i n11)s i n (11)(2121 22???????????eetyp⒊ 最大超調(diào)量 ： %?m ax)()( ytyty p ?得將峰值時間 代入 dpt ???0,)si n (11)( 2 ????? ? ttety dtn ?????21s in ?? ????n?21 ?? ?nj21 ?? ?? njn????211)( ??????? ety p%1 0 0)1)((%1 0 0)( )()(% ????? ??? pp tyy yty?故： %100% 21 ?? ?? ???? e%100%10021 ???? ??????????c t gee nn最大超調(diào)量僅與阻尼系數(shù)有關(guān)。 ? ?? ?cos????? 21)( ????? tgtg －而21 ?????????????ndrt)1(21???? ????? ?tg??????? 22 11 ????nntg??n?21 ?? ?nj21 ?? ?? njn????⒉ 峰值時間 ：當(dāng) 時， pt ptt ? 0)(39。 ?1???0 2 4 6 8 1 0 1 200 . 20 . 40 . 60 . 811 . 21 . 41 . 61 . 82? ? ?? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ?? ?? ? n ty ( t )（一）衰減振蕩瞬態(tài)過程 ： )10( ?? ?0,)11s i n (11)(2122??????? ??ttgtety ntn???????⒈ 上升時間 ：根據(jù)定義，當(dāng) 時， 。其阻尼系數(shù)、特征根、極點(diǎn)分布和單位階躍響應(yīng)形式如下表所示： 單位階躍響應(yīng) 極點(diǎn)位置 特征根 阻尼系數(shù) 單調(diào)上升 兩個互異負(fù)實(shí)根 單調(diào)上升 一對負(fù)實(shí)重根 衰減振蕩 一對共軛復(fù)根 (左半平面） 等幅周期振蕩 一對共軛虛根 無阻尼,0?? njs ???2,1欠阻尼,1?? ?o 22,1 1 ???? ???? nn js臨界阻尼，1?? )(2,1 重根ns ???過阻尼，1?? 122,1 ??? ???? nns ?可以看出：隨著 的增加， y(t)將從無衰減的周期運(yùn)動變?yōu)橛兴p的正弦運(yùn)動，當(dāng) 時 y(t)呈現(xiàn)單調(diào)上升運(yùn)動 (無振蕩 )。 )( tyt2 準(zhǔn) 確 解tteety2 6 7 3 0 7 0 7 )(?????1 近 似 解tety2 6 1)(???121021,2ppn?????? ??)())(()()(122212psppspssRsYnn????????當(dāng)阻尼系數(shù) ?遠(yuǎn)大于 1，即 –p1p2時，在兩個衰減的指數(shù)項中，后者衰減的速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于前者，即此時二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)主要由前者來決定，或者說主要由極點(diǎn) –p1決定，因而過阻尼二階系統(tǒng)可以由具有極點(diǎn) p1的一階系統(tǒng)來近似表示。 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 500 . 10 . 20 . 30 . 40 . 50 . 60 . 70 . 80 . 91S t e p R e s p o n s eT i m e ( s e c )Amplitude1??⒋ 當(dāng) 時， 極點(diǎn)為 ： 122,1 ???? ???? nnp即特征方程為： )]1() ] [1([2 2222 ????????? ????????? nnnn ssss)]1() ] [1([)()(222??????????????nnnsssRsYssssY nnn 1)]1() ] [1([)(222?????????????????????????????????????)1()1(1211)(2)1(2)1(222??????????? tt nn eety)1)(1(22122TsTsss nn ????? ???特征方程還可為： 因此過阻尼二階系統(tǒng)可以看作兩個時間常數(shù)不同的慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，其單位階躍響應(yīng)為 : )1)(1(1)1)(1(1)()(212121??????sTsTTsTsTTsRsY于是閉環(huán)傳函為： 這里 ， 21 TT ?212 1TTn ??)1(1)1(111)1)(1(1)(2212112121TsTTTTsTTTsssTsTsY???????????212121211)( TtTteTT TeTT Tty???????)1(121 ?????? nT)1(122 ?????? nT式中 過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)還可以寫為 ： 0)(121)(21221???????tpepety tptpn ，??122,1 ????? ???? nnp其中 ： ? 由于 p1和 p2均為負(fù)實(shí)數(shù)，所以過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由兩個衰減的指數(shù)項組成。 輸入階躍信號和階躍響應(yīng)之間的誤差 ： 0)1()(1)()()( ??????? ? ttetytytrte ntn ，?? 隨著時間的增加，誤差越來越小，到穩(wěn)態(tài)時誤差變?yōu)榱?。?dāng)穩(wěn)態(tài)時，即當(dāng) 時，有 ，表示欠阻尼二階系統(tǒng)能夠完全跟蹤輸入單位階躍信號，沒有穩(wěn)態(tài)誤差。因此，系統(tǒng)特征根的負(fù)實(shí)部決定了系統(tǒng)階躍響應(yīng)衰減的快慢，而其虛部決定了階躍響應(yīng)的振蕩頻率。 ? 二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的振蕩頻率等于系統(tǒng)特征根虛部的大小，而幅值與系統(tǒng)特征根負(fù)實(shí)部的大小有關(guān)。 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 1 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 200 . 20 . 40 . 60 . 81S t e p R e s p o n s eT i m e ( s e c )Amplitude2?n?2222222121)(nnnnnnssssssssY ??????????????????2222 )()(221nnnnnssss ????????????????222 )1()(1nnnnsss ???????????????222222 )1()()1()(1nnnnnnssss ??????????????????????⒉ 當(dāng) 時， 系統(tǒng)極點(diǎn)為 ： 10 ??? 22,1 1 ???? ???? nn jp 稱為阻尼振蕩頻率 。 n?n?]12[]1)([)( 22211sssLssLty nnn ?????????????0 2 4 6 8 1 0 1 2012? ? ?? n ty ( t ) 典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 輸入階躍信號和階躍響應(yīng)之間的誤差 ： 0c o s)(1)()()( ?????? tttytytrte n ，? 誤差曲線呈現(xiàn)等幅振蕩形式。 1??⒋ 當(dāng) 時，特征方程有一對不等的實(shí)根，稱為 過阻尼 系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過程。 0??⒉ 當(dāng) 時，特征方程有一對實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根，稱為 欠阻尼 系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為衰減的振蕩過程。它的階躍響應(yīng)有振蕩和非振蕩兩種情況。 T稱為二階系統(tǒng)的時間常數(shù)。 典型二階系統(tǒng)的微分方程 ： 0)()(2)(222 ???? ttrtydtdyTdttydT ，? 典型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 稱為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)， 稱為 阻尼系數(shù) ， 稱為 無阻尼振蕩圓頻率 或 自然頻率。它在控制工程中的應(yīng)用極為廣泛。 反饋加深對系統(tǒng)的響應(yīng)還有什么影響？ )1(310)( 30 tety ???由此可知：反饋加深還將使輸出幅值減小。 )(sC s100)(sR 解： ①由系統(tǒng)方塊圖求出閉環(huán)傳遞函數(shù)： 10101 0 01 0 011 0 0)()()(?????????sssssRsYs由閉環(huán)傳遞函數(shù)知時間常數(shù) T= 所以： ts=3T= （ ??5） ② 若要求 ts≤ 秒，求此時的反饋系數(shù)。 例 1： 已知一階系統(tǒng)的方塊圖如圖所示。 由： 得： ? 延遲時間 td ： 延遲時間定義為輸出響應(yīng)第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的 50%所需的時間。 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)－－線性系統(tǒng)的特點(diǎn) 結(jié)論一： 一階系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，等于一階系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。 ? 系統(tǒng)的輸入量和輸出量之間的位置誤差為： 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位置誤差為： )1()()()( 2 TteTTttytrte ??????????? ????? )]1([l i m)(l i m 2 Tttt eTTtte 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)－－特點(diǎn) )( t? 0// ?? tTe Tt ，)(1 t 01 / ?? ? te Tt ，t0/????tTeTtTt，2/2t0)1(2//22?????teTTttTt，輸出響應(yīng)輸入信號 輸出響應(yīng)輸入信號? 單位脈沖信號與單位階躍信號的一階導(dǎo)數(shù)、單位斜坡信號的二階導(dǎo)數(shù)和單位加速度信號的三階導(dǎo)數(shù)相等。 321y ( t )0ty ( t ) = t2/ 2 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng) 321y ( t )0t