【正文】 yst=P0/mω 2的兩倍， 然后逐漸衰減，最 后停留在靜力平衡 位置。 如果升載很長(zhǎng)， tr4T,則 β 接近于 1,即相當(dāng)于靜荷載情況。其動(dòng)力系數(shù)的反應(yīng)譜如下： 0 Ttr β tr P0 動(dòng)力系數(shù)反應(yīng)譜 動(dòng)力系數(shù) β 介于 1與 2之間。 )c o s1()( uyuy st ???uyuv st ?? s in)( ?sin cos ) ( 0 0 ? ? ? ? ? t v t y t y )(s i ns i n)(c o s)c o s1()( utuyutuyty stst ????? ????)c o s)(( c o s tuty st ?? ???或者直接由 Duhamel積分作 ????? dtPmty t )(s i n)(1)( 0 ??????? dtPmty u )(s i n1)( 0 0 ???)c os)(( c os20 tutm P ??? ??? )2(s i n2s i n2 utuy st ?? ??另解：短時(shí)荷載可認(rèn)為由兩個(gè)突加荷載疊加而成。 tm Sty ?? ?? s i n)( )(s i n ??? ?? tmStPSmv ???? 002)任意荷載 P(t)的動(dòng)力反應(yīng) P(t) t τ ???? dPdS )(?τ 時(shí)刻的微分沖量對(duì) t瞬時(shí) (t τ )引起的動(dòng)力反應(yīng) : )(s i n)( ??? ?? ?? tm dPdy初始靜止?fàn)顟B(tài)的單自由度體系在任意荷載作用下的位移公式 : ????? dtPmty t )(s i n)(1)( 0 ???(Duhamel 積分 ) 初始位移 y0和初始速度 v0不為零在任意荷載作用下的位移公式 : ??????? dtPmtvtyty t )(s i n)(1s i nc os)( 000 ?????t 3)幾種典型荷載的動(dòng)力反應(yīng) (1）突加荷載 ??????0,0,0)(0 tPttP當(dāng)當(dāng)P(t) t P ????? dtPmty t )(s i n)(1)( 0 ??????? dtPmty t )(s i n1)( 0 0 ?? ? )c o s1()c o s1(20 tytmPst ??? ????yst=P0δ=P0 /mω2 y st y(t) ωt 0 π 2π 3π 質(zhì)點(diǎn)圍繞靜力平衡位置作簡(jiǎn)諧振動(dòng) 2)]([ m a x ??styty?(2）短時(shí)荷載 ??????????ututPttP,00,0,0)( 0P(t) t P u 階段 Ⅰ( 0tu)：與突加荷載相同。 由動(dòng)量定理： mtPmSv ???000 ?yΔt cos sin ) ( 0 0 ? ? ? ? ? t v t y t y tmSty ?? s i n)( ?Δt τ t t39。 2m EI m k Psinθt 2m 解： 1)求 ω kEIl212148321 ???? ???EIlEIlEIl19 2519 248333????13 1921 ???? smlEIm ??2)求 β 1 22 ??? ???mEIlPPy 35333m a x 1925 ??????????? ???3)求 ymax， Mmax mkNlPM .)(41m a x ?????? ?如何求最大位移和最大彎矩？ 動(dòng)荷載不作用于質(zhì)點(diǎn)時(shí)的計(jì)算 PP1112*???m tP ?sin )(ty)(s i n)( 1112 ymtPty ????? ???)(tym ???tP ?sin12?=1 11?=1 tPtytym ???? s i n)(1)(111211????令 tPtytym ?? s i n)(1)( *11????tm Pty ??? s i n)( 2*????? 11*2*Pm PA ?????? 111112 P? ?? P12??sty?styP 仍是位移動(dòng)力系數(shù) ?是內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)嗎 ? ?運(yùn)動(dòng)方程 穩(wěn)態(tài)解 振幅 [列幅值方程求內(nèi)力幅值 ] tAty ?s i n)( ?EIPlllPlEIy st34856522211 ?????解 : ?? ?例 12求圖示體系振幅、動(dòng)彎矩幅值圖 . tAty ?? s i n)( 2????tmAtI ?? s i n)( 2?tPtP ?s i n)( ?同頻同步變化 m tP ?sinEI l/2 l/2 )(tyP Am 2?A34/1122 ??? ???EIPlyAst3365?? ?P sty=1 11?2/Pll1122441???AmAmAI ???P485?P P485Pl965Pl4829動(dòng)彎矩幅值圖 解 : 例 13求圖示體系右端的質(zhì)點(diǎn)振幅 ? ? 0oMkmPA41032 ?? ?m tP ?sinl m k ??EIl l A P 2?mA231 ?mA Ak32o 設(shè)體系在 t=0時(shí)靜止，然后有瞬時(shí)沖量 S作用 。 當(dāng)動(dòng)荷載作用在單自由度體系的質(zhì)點(diǎn)上時(shí)，由于體系上各 截面的內(nèi)力、位移都與質(zhì)點(diǎn)處的位移成正比，故各截面的最大動(dòng)內(nèi)力和最大動(dòng)位移可采用統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù)， 只需將干擾力幅值乘以動(dòng)力系數(shù)按靜力方法來(lái)計(jì)算即可。 ?當(dāng) θ/ω 1時(shí) ,β 的絕對(duì)值隨 θ/ω 的增大而減小。稱為 “ 共振 ” 。 ?當(dāng) θ/ω →1 時(shí) ,β →∞ 。（由于阻尼的存在） 按自振頻率振動(dòng) 按荷載頻率振動(dòng) 平穩(wěn)階段： tyy st ???s i n1122??最大動(dòng)位移（振幅）為 ： 22m a x 11][???? styy22m a x11][??????styy動(dòng)力系數(shù) β為 ： 1 0 2 3 1 2 3 ? ? ? 重要的特性： ?當(dāng) θ/ω →0 時(shí) ,β →1 ，荷載變化得很慢，可當(dāng)作靜荷載處理。 單自由度體系的 受迫 振動(dòng) 最大靜位移 yst（是把荷載幅值當(dāng)作靜荷載作用時(shí)結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生 的位移）。 m 受迫振動(dòng)（強(qiáng)迫振動(dòng)）： 結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用下的振動(dòng)。 (2)ξ =1（臨界阻尼）情況 ) 1 ( 2 ? 177。（ 振與不振的分界點(diǎn) ） ?? mc 2? mkmc r 22 ?? ?rcc?? 阻尼比 ,反映阻尼情況的基本參數(shù)。求結(jié)構(gòu)的阻尼比 ξ 和阻尼系數(shù) c。屋蓋系統(tǒng)和柱子的質(zhì)量均集中在橫梁處共計(jì)為 m ， 加一水平力 P=，測(cè)得側(cè)移 A0=，然后突然卸載使結(jié)構(gòu)發(fā)生水平自由振動(dòng)。 ? ? ? ? ? l 0 2 2 2 ? ? ? ? ??l l ) ( ? l t Ce t y 設(shè)解為 ： 特征方程為 ： (1)ξ1 （低阻尼）情況 21 ??????l ????? rri 其中? ?tCtCey rrt ???? s i nc o s 21 ?? ????????? ??? ? tyvtyeyrrrt ??????? s i nc os 000c 02 2 ??? yyy ??? ???令 低阻尼體系的自振圓頻率 000220020)()s i n (yvytgyvyataeyrrrt???????????????????aeξωt t y t y 低阻尼 y t曲線 無(wú)阻尼 y t曲線 ① 阻尼對(duì)自振頻率的影響 . ????? 而隨 ????? ,1 2r 當(dāng) ξ ， 則存在ω r/ω 1。 其他阻尼力也可化為等效粘滯阻尼力來(lái)分析。 (2）與質(zhì)點(diǎn)速度平方成正比（如質(zhì)點(diǎn)在流體中運(yùn)動(dòng)受到的阻力）。 振動(dòng)的衰減和能量的耗散都通過(guò)非彈性力來(lái)考慮，由于對(duì)非彈性力的描述不同，目前主要有兩種阻尼理論： *粘滯阻尼理論 —— 非彈性力與變形速度成正比 ： *滯變阻尼理論 yctR ???)(關(guān)于阻尼，有兩種定義或理解： (1）使振動(dòng)衰減的作用； (2）使能量耗散。 共振時(shí)的振幅較大但為有限值。 自由振動(dòng)的振幅逐漸衰減。 簡(jiǎn)諧荷載作用下有可能出現(xiàn)共振。非彈性力起著減小振幅的作用，使振動(dòng)衰減，因此，為了進(jìn)一步了解結(jié)構(gòu)的振動(dòng)規(guī)律，就要研究阻尼。 A B C D EI=? l /2 l /2 l mm ?1 mm312 ?k B C k 1m2m?. . A1 . . A2 lk??1I?2I 解：?jiǎn)巫杂啥润w系，以 ?表示位移參數(shù)的幅值 , 各質(zhì)點(diǎn)上所受的力為： ??? 221211 lmAmI ?????????lmlmAmI?????222222212331?建立力矩平衡方程 0??BM0232 21 ?????? llklIlI ???02321221 22 ?????? llkllmllm ?????化簡(jiǎn)后得 km ?2?mk?? ?阻尼對(duì)振動(dòng)的影響 實(shí)驗(yàn)證明，振動(dòng)中的結(jié)構(gòu)，不僅產(chǎn)生與變形成比例的彈性內(nèi)力，還產(chǎn)生非彈性的內(nèi)力， 非彈性力起阻尼作用 。 它們的幅值產(chǎn)生于 1)s in ( ?? ?? t 時(shí)，其值分別為： Ay ?? 2?Ay ????? 2?mAI ?? 既然在運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)質(zhì)體都處于平衡狀態(tài)，在幅值出現(xiàn)時(shí)間也一樣，于是可 在幅值處建立運(yùn)動(dòng)方程 ，此時(shí)方程中將不含時(shí)間 t，結(jié)果把 微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程 了，使計(jì)算得以簡(jiǎn)化。 ?如果讓振動(dòng)體系沿振動(dòng)方向發(fā)生單位位移時(shí)，所有剛節(jié)點(diǎn) 都不能發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)（如橫梁剛度為 ∞ 剛架 )計(jì)算剛度系數(shù)方便。 解法 1：求 k θ=1/h MBA=kh = MBC k l h m I→ ∞ EI B A C lhEIlEI 33 ?? ?lmhEImk23???23lhEIk ??1 h 解法 2：求 δ EIlhhlhEI 33221 2???21131m l hEIm????例 求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率。 l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 m m m 解： 1）求 δ EIl4831 ??P=1 3l/16 5l/32 P=1 l/2 EIlllllEIl7687)325216322(61 321 ???????EIl76 87 32 ?? EIl19 233 ??311481mlEIm????322 77681mlEIm????3331921mlEIm????據(jù)此可得 ： ω1? ω2 ? ω3= 1 ? ? 2 結(jié)構(gòu)約束越強(qiáng) ,其剛度越大 ,剛度越大 ,其自振動(dòng)頻率也越大。 m l A,E,I H?E,I 1 HH m ??1?E,A 1 V?VV m ??1?? I I EI1=? m h 1??k 26hEI26hEI26hEI26hEI例 。 例 1. 計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的頻率和周期。 （ 3）兩個(gè)外形相似的結(jié)構(gòu)，如果周期相差懸殊，則動(dòng)力性能相差很大。干擾力只影響振幅 。 計(jì)算時(shí)可根據(jù)體系的具體情況，視 δ 、 k、 Δ st 三參數(shù)中哪一個(gè)最便于計(jì)算來(lái)選用。 k——使質(zhì)點(diǎn)沿振動(dòng)方向發(fā)生單位位移時(shí)，須在質(zhì)點(diǎn)上沿振動(dòng)方向施加的力 。其中 A和 ?可由下式確定 ). . . . . . . . . (. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .122gvytgvyA????????????????????????振幅 相位角 )...