【正文】 低 2行。將上式用矩陣表示時，可以寫成53第 11章差錯控制編碼與 H ? AT = 0T對比，可以看出監(jiān)督矩陣為54第 11章差錯控制編碼 由此例可見，卷積碼的監(jiān)督矩陣 H是一個有頭無尾的半無窮矩陣。u 監(jiān)督矩陣 H現(xiàn)在仍從上面的實例開始分析。一個線性碼完全由一個監(jiān)督矩陣 H或生成矩陣 G所確定。這里的編碼約束長度 nN等于 9。碼率則仍定義為 k / n。一般說來，對于卷積碼， k 和 n 的值是比較小的整數(shù)。所以一個碼組中的監(jiān)督碼元監(jiān)督著 N個信息段。通常它更適用于前向糾錯，因為對于許多實際情況它的性能優(yōu)于分組碼，而且運算較簡單。 u 目前多采用軟件運算實現(xiàn)上述編解碼運算。 從 R(x)中減去 E(x)，便得到已經(jīng)糾正錯碼的原發(fā)送碼組T(x)。 按余式 r(x)，用查表的方法或通過某種計算得到錯誤圖樣 E(x)；例如，通過計算校正子 S和查表，就可以確定錯碼的位置。 用生成多項式 g(x)除接收碼組 R(x)，得出余式 r(x)。因為只有存在上述一一對應(yīng)的關(guān)系時，才可能從上述余式唯一地決定錯誤圖樣，從而糾正錯碼。不可檢錯誤中的誤碼數(shù)必定超過了這種編碼的檢錯能力。這時的錯碼就不能檢出了。當傳輸中未發(fā)生錯誤時，接收碼組與發(fā)送碼組相同，即 R(x) = T(x)，故接收碼組 R(x)必定能被 g(x)整除；若碼組在傳輸中發(fā)生錯誤，則 R(x) ? T(x)， R(x)被 g(x)除時可能除不盡而有余項，即有因此，就以余項是否為零來判別接收碼組中有無錯碼。45第 11章差錯控制編碼u 循環(huán)碼的解碼方法p 解碼要求：檢錯和糾錯。 （ 2）用 g(x)除 xn k m(x)，得到商 Q(x)和余式 r(x)，即例如，若選定 g(x) = x4 + x2 + x + 1，則 上式相當于44第 11章差錯控制編碼216。當 n – k = 7 – 3 = 4時， xn k m(x) = x4 (x2 + x) = x6 + x5，它相當于 1100000。這一運算實際上是在信息碼后附加上 (n – k)個 “0”。 43第 11章差錯控制編碼p 編碼步驟：216。不過，選用的生成多項式不同，產(chǎn)生出的循環(huán)碼碼組也不同。例如， (x7 + 1)可以分解為為了求 (7, 3)循環(huán)碼的生成多項式 g(x)，需要從上式中找到一個 (n – k) = 4次的因子。因此，上式可以化成將 T(x)和 T?(x)表示式代入上式，經(jīng)過化簡后得到上式表明， 生成多項式 g(x)應(yīng)該是 (xn + 1)的一個因子 。39第 11章差錯控制編碼u 如何尋找任一 (n, k)循環(huán)碼的生成多項式 由上式可知，任一循環(huán)碼多項式 T(x)都是 g(x)的倍式 ，故它可以寫成T(x) = h(x)?g(x) 而生成多項式 g(x)本身也是一個碼組，即有 T ?(x) = g(x) 由于碼組 T ?(x)是一個 (n – k)次多項式，故 xk T ?(x)是一個 n次多項式。不過，將它作線性變換，不難化成典型陣。由此表可見，唯一的一個 (n – k) = 4次碼多項式代表的碼組是第二碼組 0010111，與它相對應(yīng)的碼多項式（即生成多項式） g(x) = x4 + x2 + x + 1。一旦確定了 g(x)，則整個 (n, k)循環(huán)碼就被確定了。因此它們可以用來構(gòu)成此循環(huán)碼的生成矩陣 G。36第 11章差錯控制編碼u 循環(huán)碼的生成矩陣 Gp 在循環(huán)碼中，一個 (n, k)碼有 2k個不同的碼組?，F(xiàn)給定 i = 3，則其對應(yīng)的碼組為 0101110，它正是表中第 3碼組。因為原已假定 T(x)是循環(huán)碼的一個碼組，所以 T? (x)也必為該碼中一個碼組。34第 11章差錯控制編碼u 循環(huán)碼的碼多項式p 在循環(huán)碼中，若 T(x)是一個長為 n的許用碼組，則 xi?T(x)在按模 xn + 1運算下，也是該編碼中的一個許用碼組，即若則 T ?(x)也是該編碼中的一個許用碼組。例如， x3被 (x3 + 1)除，得到余項 1。 在碼多項式運算中也有類似的按模運算。一般說來，若一個整數(shù) m可以表示為式中， Q － 整數(shù)，則在模 n 運算下，有m ? p (模 n)即，在模 n 運算下，一個整數(shù) m等于它被 n 除得的余數(shù)。 在整數(shù)運算中，有模 n運算。因此我們并不關(guān)心 x的取值。例如，表中的第 2碼組向右移一位即得到第 5碼組；第 6碼組向右移一位即得到第 7碼組。30第 11章差錯控制編碼l 循環(huán)碼n 循環(huán)碼原理u 循環(huán)性 ：循環(huán)性是指任一碼組循環(huán)一位（即將最右端的一個碼元移至左端，或反之）以后，仍為該碼中的一個碼組。由于線性碼具有封閉性，所以兩個碼組 (A1和 A2)之間的距離（即對應(yīng)位不同的數(shù)目）必定是另一個碼組 (A1 + A2)的重量（即 “1”的數(shù)目）。這一性質(zhì)的證明很簡單。29第 11章差錯控制編碼u 線性分組碼的性質(zhì)p 封閉性： 是指一種線性碼中的任意兩個碼組之和仍為這種碼中的一個碼組。S和錯碼 E之間有確定的線性變換關(guān)系。假設(shè)這時該式的右端為 S，即B ? H T = S將 B = A + E代入上式，可得S = (A + E) H T = A ? H T + E ? H T由于 A ? HT = 0，所以S = E ? H T式中 S稱為校正子。這樣的錯碼是不可檢測的。28第 11章差錯控制編碼p 校正子 S當接收碼組有錯時， E ? 0，將 B當作 A代入公式 (A ? H T = 0)后，該式不一定成立。 B – A = E 可以改寫成 B = A + E例如，若發(fā)送碼組 A = [1000111]，錯碼矩陣 E = [0000100]，則接收碼組 B = [1000011]。216。此矩陣的 n個元素就是碼組中的 n個碼元，所以發(fā)送的碼組就是 A。 26第 11章差錯控制編碼p 錯碼矩陣和錯誤圖樣 216。由典型生成矩陣得出的碼組 A中，信息位的位置不變，監(jiān)督位附加于其后。25第 11章差錯控制編碼我們將 Q的左邊加上 1個 k ? k階單位方陣，就構(gòu)成 1個矩陣 G G稱為 生成矩陣 ，因為由它可以產(chǎn)生整個碼組，即有或者因此，如果找到了碼的生成矩陣 G，則編碼的方法就完全確定了。我們將具有 [P Ir]形式的 H矩陣稱為 典型陣 。例如， H的第一行 1110100表示監(jiān)督位 a2是由 a6 a5 a4之和決定的。 H矩陣的性質(zhì)： 1) H的行數(shù)就是監(jiān)督關(guān)系式的數(shù)目，它等于監(jiān)督位的數(shù)目 r。 只要監(jiān)督矩陣 H給定，編碼時監(jiān)督位和信息位的關(guān)系就完全確定了。例如， HT是 H的轉(zhuǎn)置，即 HT的第一行為 H的第一列， HT的第二行為 H的第二列等等。 19第 11章差錯控制編碼n 線性分組碼的一般原理u 線性分組碼的構(gòu)造p H矩陣上面 (7, 4)漢明碼的例子有現(xiàn)在將上面它改寫為上式中已經(jīng)將 “?”簡寫成 “+”。例如，若接收碼組為 0000011，按上述公式計算可得： S1 = 0， S2 = 1， S3 = 1。監(jiān)督位 a a1和 a0應(yīng)根據(jù)信息位的取值按監(jiān)督關(guān)系來確定，即監(jiān)督位應(yīng)使上 3式中 SS2和 S3的值為 0（表示編成的碼組中應(yīng)無錯